{"id":550,"date":"2025-10-04T17:41:14","date_gmt":"2025-10-04T17:41:14","guid":{"rendered":"https:\/\/urff.app\/?p=550"},"modified":"2026-09-05T17:01:11","modified_gmt":"2026-09-05T17:01:11","slug":"computergestuetzte-handlungen-beim-mathematischen-lernen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/urff.app\/es\/computergestuetzte-handlungen-beim-mathematischen-lernen\/","title":{"rendered":"Herramientas virtuales como continuaci\u00f3n de experiencias concretas: reflexiones sobre el dise\u00f1o did\u00e1ctico de actividades con apoyo inform\u00e1tico"},"content":{"rendered":"<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>Christian Urff 2025<\/em> (texto actualizado a una versi\u00f3n de <em><a href=\"https:\/\/www.lernsoftware-mathematik.de\/?p=953\">2011<\/a><\/em>)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-large-font-size\">Introducci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Mathematische Arbeitsmittel sind zentrale Lehr- und Lernwerkzeuge, mit denen sich handelnd grundlegende mathematische Zusammenh\u00e4nge erforschen lassen (Krauthausen, 2012, 2022). Im Gegensatz zu gegenst\u00e4ndlichen Arbeitsmitteln, die Lernende mit den eigenen H\u00e4nden manipulieren k\u00f6nnen (z.B. Objekte verschieben, umlegen, umdrehen), sind die \u201erealen\u201c Handlungsm\u00f6glichkeiten bei virtuellen Arbeitsmitteln auf digitale Interaktionen beschr\u00e4nkt. Bei klassischen Desktop-Computern und Notebooks erfolgen Interaktionen prim\u00e4r \u00fcber Mausklicks oder Tastatureingaben, w\u00e4hrend Touchscreens in Tablets durch Multi-Touch-Gesten direkte haptische R\u00fcckmeldungen erm\u00f6glichen (Agostinho et al., 2015). \u00dcber AR-Brillen ist neuerdings auch die Eingabe mit nat\u00fcrlichen Handgesten (Finger aufeinanderlegen, drehen usw.) m\u00f6glich.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Con las herramientas virtuales, las acciones reales las realiza la computadora y se representan visualmente: el usuario inicia la acci\u00f3n. Esto se ilustra claramente con el ejemplo de una cuadr\u00edcula virtual de veinte cuadrados: las fichas se pueden voltear virtualmente, pero no mediante un giro f\u00edsico real. En su lugar, el software ejecuta la operaci\u00f3n de volteo con un clic o un gesto t\u00e1ctil y muestra una animaci\u00f3n de la acci\u00f3n. Me refiero a estas operaciones ejecutadas por la computadora pero iniciadas por el usuario como\u00a0<strong>acciones virtuales o basadas en computadora<\/strong> (Urff, 2010). Computergest\u00fctzte Handlungen zeichnen sich dadurch aus, dass die Handlungsinitiierung durch den Benutzer erfolgt, ein wesentlicher Teil der Ausf\u00fchrung allerdings durch den Computer \u00fcbernommen wird.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-large-font-size\">Relaci\u00f3n entre acciones virtuales y f\u00edsicas<\/h3>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">Restricciones y requisitos<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Inicialmente, se podr\u00eda argumentar que las posibilidades concretas de acci\u00f3n, y por ende, las experiencias de acci\u00f3n, son significativamente limitadas en las acciones virtuales. Esto es cierto si solo se consideran las experiencias t\u00e1ctiles-h\u00e1pticas (Moyer-Packenham y Bolyard, 2016). El ni\u00f1o no puede sentir f\u00edsicamente una aleta virtual, no puede olerla, y el acto de girarla no est\u00e1 directamente vinculado a un movimiento motor de la propia aleta.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Diese Einschr\u00e4nkung ist der entscheidende Grund, warum virtuelle Arbeitsmittel wenn irgend m\u00f6glich als\u00a0<strong>Continuaci\u00f3n y expansi\u00f3n<\/strong>\u00a0Las herramientas de aprendizaje virtualizadas deben utilizarse para complementar, y no para reemplazar, el uso de materiales de aprendizaje f\u00edsicos (Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020a). Esto es especialmente cierto en la educaci\u00f3n primaria y preescolar, ya que las experiencias primarias desempe\u00f1an un papel crucial en el desarrollo de la comprensi\u00f3n durante esta etapa del desarrollo. Es probable que un ni\u00f1o solo pueda interpretar correctamente una operaci\u00f3n de volteo virtualizada en el ordenador si ya ha volteado una ficha f\u00edsica o ha observado esta acci\u00f3n con una herramienta f\u00edsica.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Aktuelle Forschung zeigt, dass die Kombination von konkreten und virtuellen Arbeitsmitteln (sogenannte \u201eBlended Manipulatives\u201c) besonders effektiv sein kann (Ahmad et al., 2024; Yakubova et al., 2024). Die Reihenfolge und Vernetzung \u2013 erst konkret-physisch, dann virtuell \u2013 bleibt dabei didaktisch bedeutsam. Doch warum sollten \u00fcberhaupt erg\u00e4nzend zu konkreten Arbeitsmitteln auch noch virtuelle Handlungsm\u00f6glichkeiten angeboten werden?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-large-font-size\">Potencial did\u00e1ctico de las acciones asistidas por ordenador<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Werden die visuell-auditiven und interaktiven Erfahrungsm\u00f6glichkeiten virtueller Handlungen genauer in den Blick genommen, bieten computergest\u00fctzte Handlungen als Fortf\u00fchrung realer Handlungen durch die technologischen M\u00f6glichkeiten einige didaktische Potenziale, die physisch-konkrete Handlungserfahrungen erweitern k\u00f6nnen:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">1. Alivio cognitivo y cambio mediante la ejecuci\u00f3n automatizada de acciones.<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Durch die \u00dcbernahme der Handlungsausf\u00fchrung durch den Computer bleiben mehr kognitive Ressourcen f\u00fcr das eigentliche mathematische Lernen verf\u00fcgbar (Sweller, 2020; Paas &amp; van Merri\u00ebnboer, 2020). Die Entkopplung von Handlungsimpuls und -ausf\u00fchrung kann die nicht lernrelevante motorische und kognitive Belastung des Kindes verringern (Skulmowski &amp; Xu, 2022). Mit der Cognitive Load Theory gesprochen, entspricht dies dem Prinzip der Reduktion der\u00a0<strong>carga cognitiva extra\u00f1a<\/strong>, es decir, cargas cognitivas que no son necesariamente relevantes para el aprendizaje (Castro-Alonso, 2020).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ejemplo de campo de c\u00e1lculo:<\/strong>\u00a0W\u00e4hrend bei einem gegenst\u00e4ndlichen Zwanzigerfeld Pl\u00e4ttchen von Hand auf das Feld geschoben werden m\u00fcssen und das Kind mit dieser motorischen Bewegung besch\u00e4ftigt ist, erfolgt dies am Computer automatisiert. Beim virtuellen Zwanzigerfeld wird durch einen Klick oder Touch automatisch eine Einf\u00fcgebewegung eines oder mehrerer Pl\u00e4ttchen animiert. Das Kind muss sich nicht um die korrekte Ausf\u00fchrung der Pl\u00e4ttchenbewegung k\u00fcmmern \u2013 was zumindest mit gen\u00fcgend Prim\u00e4rerfahrung f\u00fcr die mathematische Konzeptbildung irrelevant ist \u2013, sondern kann die Einf\u00fcgeoperation und ihre Auswirkungen beobachten und die Aufmerksamkeit auf die Ver\u00e4nderung auf der symbolischen Ebene richten (die Summe vergr\u00f6\u00dfert sich) und dadurch experimentierend potenziell besser die Zusammenh\u00e4nge gedanklich nachvollziehen, da mehr kognitive Ressourcen f\u00fcr die Beobachtung der Auswirkung der Handlung zur Verf\u00fcgung stehen. Gut gestaltete virtuelle Arbeitsmittel haben also im Zusammenspiel mit geeigneten Aufgabenstellungen durch solche Teilautomatisierungen das Potenzial, die kognitive Belastung zu reduzieren und das operative Durchdringen der Lernsituation zu erleichtern, da das Experimentieren mit verschiedenen Handlungsoptionen im Sinne von \u201eWas passiert mit &#8230;, wenn &#8230;?\u201c deutlich erleichtert wird.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">2. Control conceptual de la ejecuci\u00f3n de acciones<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si bien las acciones sobre equipos de trabajo f\u00edsicos permiten no solo acciones matem\u00e1ticamente significativas (por ejemplo, colocar una ficha), sino tambi\u00e9n acciones que no tienen equivalente matem\u00e1tico-conceptual (por ejemplo, fichas superpuestas, colocaciones incorrectas, representaciones no coincidentes), las acciones asistidas por computadora pueden limitarse a acciones matem\u00e1ticas conceptualmente consistentes (Moyer et al., 2002; Bouck &amp; Park, 2018).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dadurch werden nur diejenigen Operationen als Handlungen angeboten, die f\u00fcr den Lernenden zur Erarbeitung und Entdeckung der didaktisch bedeutsamen Struktureigenschaften und damit f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis wichtig sind. Andere, bei analogen Arbeitsmitteln aufgrund der physikalischen Eigenschaften trotzdem m\u00f6gliche Handlungen werden begrenzt. Beispielsweise wird beim virtuellen Zwanzigerfeld gew\u00e4hrleistet, dass:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Nunca se pueden colocar m\u00e1s de 20 fichas en el campo,<\/li>\n\n\n\n<li>Los mosaicos rojos siempre est\u00e1n estructurados de manera coherente y, por lo tanto, son m\u00e1s f\u00e1ciles de entender (si la estructuraci\u00f3n autom\u00e1tica est\u00e1 activada).<\/li>\n\n\n\n<li>La estructuraci\u00f3n 5 y 10 se tiene en cuenta autom\u00e1ticamente y<\/li>\n\n\n\n<li>La representaci\u00f3n ic\u00f3nica y simb\u00f3lica siempre coinciden.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Este <strong>estructuraci\u00f3n conceptual<\/strong> El andamiaje conceptual mediante herramientas digitales favorece el aprendizaje, especialmente en ni\u00f1os con dificultades de aprendizaje (Park et al., 2022; Yakubova et al., 2024). En particular, cuando falta una comprensi\u00f3n profunda, las acciones incorrectas pueden dar lugar a malentendidos fundamentales. Por ejemplo, si un error de colocaci\u00f3n en un cuadrado f\u00edsico de veinte hace que las representaciones ic\u00f3nicas y simb\u00f3licas se desalineen (p. ej., hay 14 fichas en el cuadrado, pero el n\u00famero 15 est\u00e1 junto a ellas), los ni\u00f1os suelen intentar justificar esta discrepancia posteriormente, a veces construyendo modelos mentales err\u00f3neos en el proceso. Las herramientas virtuales pueden prevenir mejor estos malentendidos al permitir \u00fanicamente operaciones conceptualmente correctas y garantizar autom\u00e1ticamente la coherencia en todos los niveles de representaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">3. Representaci\u00f3n sincronizada en m\u00faltiples niveles de representaci\u00f3n<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La ejecuci\u00f3n asistida por computadora de la acci\u00f3n permite sincronizar acciones en m\u00faltiples niveles de representaci\u00f3n (Krauthausen, 2012, 2022). Esto permite\u00a0<strong>redes din\u00e1micas<\/strong>\u00a0Las diferentes formas de representaci\u00f3n son un elemento central para una comprensi\u00f3n matem\u00e1tica profunda (Moyer-Packenham &amp; Bolyard, 2016).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ejemplo:<\/strong>&nbsp;Si un sumando en el campo de c\u00e1lculo se reduce en uno, entonces:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>el n\u00famero correspondiente se reduce (nivel simb\u00f3lico),<\/li>\n\n\n\n<li>la suma se reduce en uno,<\/li>\n\n\n\n<li>Al mismo tiempo, en el nivel ic\u00f3nico, se retira una ficha del campo de veinte y<\/li>\n\n\n\n<li>La cantidad total visible se reduce en un elemento.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Durch diese gest\u00fctzte Ausf\u00fchrung und dynamische Visualisierung wird die Handlungserfahrung \u00fcber mehrere Darstellungsebenen hinweg gekoppelt. Dies erm\u00f6glicht Lernchancen, die f\u00fcr die Entwicklung eines umfassenden Verst\u00e4ndnisses grundlegender mathematischer Operationen bedeutsam sein k\u00f6nnen. Besonders f\u00fcr Kinder, die diese \u00dcbertragung zwar grunds\u00e4tzlich selbst vornehmen k\u00f6nnten, bei denen sie aber noch fehleranf\u00e4llig ist, bestehen hier besondere Lernchancen. Sie k\u00f6nnen durch die Handlungen ihr mentales Modell der Zusammenh\u00e4nge zwischen den Darstellungen ausbauen, validieren, ver\u00e4ndern und korrigieren \u2013 wenn entsprechende Aufgabenstellungen dies anregen (beispielsweise: \u201eWas passiert mit dem Zwanzigerfeld, wenn ich f\u00fcnf rote Pl\u00e4ttchen dazulege? \u00dcberlege erst selbst und pr\u00fcfe dann.\u201c). Allerdings muss diese vernetzte synchrone Darstellung im Umfang und der Ausgestaltung der visuellen Elemente gut ausbalanciert sein, denn durch die Vernetzung gleichzeitig \u00fcber mehrere Darstellungsebenen hinweg k\u00f6nnen auch zus\u00e4tzliche kognitive Belastungen entstehen. Weniger ist hier oft mehr: Eine Reduktion auf jeweils wenige gleichzeitig miteinander verkn\u00fcpfte Darstellungen ist deshalb empfehlenswert.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">4. Realizaci\u00f3n de acciones did\u00e1cticamente valiosas que no son objetivamente posibles<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De particular inter\u00e9s es la visualizaci\u00f3n de procesos de acci\u00f3n que ilustran conceptos centrales en la educaci\u00f3n matem\u00e1tica, pero que no pueden realizarse en absoluto o solo con un esfuerzo desproporcionadamente alto utilizando ayudas did\u00e1cticas f\u00edsicas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Beispiel \u201eKraft der F\u00fcnf\u201c:<\/strong>\u00a0W\u00e4hrend es am gegenst\u00e4ndlichen Zwanzigerfeld nicht ohne weiteres gelingt, Mengen in F\u00fcnferportionen simultan auf das Feld zu legen, ist dies virtuell gut m\u00f6glich (Krauthausen, 1995, 2012). Beim virtuellen Zwanzigerfeld k\u00f6nnen F\u00fcnfer- und Einerportionen eingef\u00fcgt werden. Dadurch kann das Kind anschaulich erfahren, dass es effektiver ist (und weniger \u201eKlicks\u201c ben\u00f6tigt), sechs Wendepl\u00e4ttchen aus einem F\u00fcnfer und einem Einzelpl\u00e4ttchen zusammenzulegen, anstatt sechsmal einzelne Pl\u00e4ttchen einzuf\u00fcgen.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ejemplo de un sistema de cien cuadrados y valor posicional:<\/strong>\u00a0Aqu\u00ed, por ejemplo, se pueden insertar cantidades en conjuntos de diez o como unidades, lo que hace que la notaci\u00f3n del valor posicional sea claramente tangible en diferentes niveles de representaci\u00f3n. Algunas aplicaciones (p. ej., www.lernsoftware-mathematik.de\/zahlen) incluso pueden visualizar din\u00e1micamente el proceso de agrupaci\u00f3n y desagregaci\u00f3n, por ejemplo, agrupando autom\u00e1ticamente diez unidades en una decena.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si bien estas acciones son te\u00f3ricamente posibles con materiales f\u00edsicos, requerir\u00edan recursos cognitivos considerables. Agrupar unidades en decenas requiere primero identificar diez unidades, agruparlas e intercambiarlas con una varilla de diez. Para cuando se completa esta acci\u00f3n, es probable que el ni\u00f1o haya perdido de vista el concepto de valor posicional.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">5. Apoyo adaptativo y rutas de aprendizaje diferenciadas<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Adem\u00e1s del entorno puramente experimental, las herramientas virtuales tambi\u00e9n pueden incluir ofertas de soporte y diferenciaci\u00f3n, como:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Tareas sustanciales<\/strong>Se refiere a tareas que fomentan la exploraci\u00f3n e investigaci\u00f3n independientes de las conexiones. Estas tareas (por ejemplo, en forma de preguntas de investigaci\u00f3n) pueden ofrecerse dentro de la aplicaci\u00f3n o externamente. Una buena herramienta de aprendizaje (virtual) es tan adecuada para el aprendizaje orientado a la comprensi\u00f3n como las tareas que la acompa\u00f1an.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Notas y comentarios:<\/strong>\u00a0Es k\u00f6nnen w\u00e4hrend des Erkundungsprozesses unmittelbare R\u00fcckmeldungen zu durchgef\u00fchrten Handlungen angeboten werden \u2013 entweder auf Anforderung oder auch proaktiv durch das digitale Lernsystem. Dies kann visuell oder textuell-sprachlich geschehen, beispielsweise durch visuelle Hinweise (z.B. aufblinkende Pl\u00e4ttchenmenge, Hinzuf\u00fcgen von visuellen Strukturierungsmerkmalen am Material) oder eine anregende Frage (\u201eProbier doch mal &#8230;\u201c, \u201e\u00dcberlege &#8230;\u201c) zum passenden Zeitpunkt im Lernprozess. Auch <a href=\"https:\/\/urff.app\/es\/mehr-als-antworten-forschungsbasierte-anforderungen-an-ki-gestuetzte-lernbegleitung-im-mathematikunterricht\/\" data-type=\"post\" data-id=\"576\">Apoyo al aprendizaje con apoyo de IA<\/a> kann hier eine sinnvolle Erg\u00e4nzung sein, um Lehrkr\u00e4fte w\u00e4hrend der Exploration mit dem virtuellen Arbeitsmittel zu entlasten und zu erg\u00e4nzen. <\/li>\n\n\n\n<li><strong>Descomposici\u00f3n de representaciones y operaciones complejas:<\/strong>\u00a0Las operaciones complejas pueden descomponerse en pasos individuales, lo que facilita su comprensi\u00f3n y manipulaci\u00f3n. Tambi\u00e9n es posible descomponer representaciones complejas en subrepresentaciones interconectadas.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Niveles de dificultad ajustables:<\/strong>\u00a0Die Elemente und Funktionen virtueller Arbeitsmittel k\u00f6nnen je nach Lernstand selbst angepasst werden oder sich in einem adaptiven Lernsystem automatisch an den Lernstand und Lernverlauf des Kindes anpassen.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Documentaci\u00f3n de rutas de aprendizaje<\/strong> durch die\u00a0Aufzeichnung und Wiedergabe von Handlungen. Die fl\u00fcchtige Darstellung der Experimentierhandlungen kann f\u00fcr eine sp\u00e4tere Analyse und Besprechung in eine nichtfl\u00fcchtige Sammlung von Dokumentationseinheiten (statisch &#8211; Bild oder Text) oder Handlungssequenzen (dynamisch &#8211; Video oder Beschreibung) umgewandelt werden. Durch permanent zur Verf\u00fcgung stehende Werkzeuge wie eine Bildschirmaufnahme, Screenshots, Notizen oder Tonaufnahmen ist dies auch m\u00f6glich, wenn das Arbeitsmittel dies nicht selbst anbietet (wie beispielsweise in der App \u201eRechenfeld\u201c). Durch die Sammlung von Dokumentationseinheiten sind nachgelagerte Lernprozesse wie beispielsweise die Strukturierung der Sammlung, die Darstellung der Ergebnisse, Strategieerkundungen und auch Diagnosem\u00f6glichkeiten f\u00fcr die Lehrkraft m\u00f6glich (Wollring, 2008).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Estas opciones permiten personalizar las herramientas virtuales para satisfacer las necesidades de aprendizaje de los estudiantes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-large-font-size\">Desarrollos y tecnolog\u00edas actuales para ampliar las experiencias de acci\u00f3n virtual<\/h3>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">Tecnolog\u00eda t\u00e1ctil y aprendizaje incorporado<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ger\u00e4te mit Multi-Touch-Funktion erm\u00f6glichen direktere haptische Interaktionen als die klassische Maussteuerung. Deshalb sind Ger\u00e4te mit Touch-Technologie mittlerweile sehr beliebt im schulischen Kontext, insbesondere in der Primarstufe. Fingertracing und Wischgesten k\u00f6nnen als\u00a0biologically primary knowledge\u00a0genutzt werden und somit die kognitive Belastung reduzieren (Agostinho et al., 2015; Ginns et al., 2015). Beispielsweise kann die Skalierung auf einem virtuellen Zahlenstrahl durch eine intuitive Geste des Wischens oder des Zoom-In\/Out mit zwei Fingern schnell und dynamisch ver\u00e4ndert werden. Solche Handlungsm\u00f6glichkeiten sind mit analogen, statischen Medien nicht umsetzbar.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">Inteligencia artificial y sistemas adaptativos<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Moderne virtuelle Arbeitsmittel k\u00f6nnen durch KI-basierte Systeme adaptive Lernpfade erm\u00f6glichen, die sich automatisch an den Lernstand und die Bed\u00fcrfnisse einzelner Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler anpassen (Haryana et al., 2022). Solche Systeme k\u00f6nnen die kognitive Belastung dynamisch regulieren und optimale Lernbedingungen schaffen. Die Forschung steht hier allerdings noch am Anfang. Es gibt noch viele offene Fragestellungen insbesondere dazu, wie generative KI sinnvoll integriert werden sollte, um das Lernen zu unterst\u00fctzen und nicht zu ersetzen bzw. zu verhindern.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">Realidad aumentada y virtual<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">AR- und VR-Technologien er\u00f6ffnen neue M\u00f6glichkeiten f\u00fcr r\u00e4umlich-physische virtuelle Handlungsm\u00f6glichkeiten, die Bewegung und Lernen integrieren, indem sie dreidimensionale Manipulationen virtueller Objekte und bewegtes Lernen erm\u00f6glichen (Altmeyer et al., 2024). Besonders f\u00fcr das r\u00e4umliche Vorstellungsverm\u00f6gen bieten solche Technologien vielversprechende Potenziale. Auch embodied learning-Ans\u00e4tze, bei denen k\u00f6rperliche Bewegungen das mathematische Verst\u00e4ndnis integriert f\u00f6rdern, beispielsweise durch die Vermischung realer Erfahrungen mit virtuellen Erfahrungen, sind durch AR- und VR-Technologien m\u00f6glich.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Beispiel AR Zahlenstrahl: In der App AR Zahlenstrahl k\u00f6nnen Kinder Handlungen an einem virtuellen Zahlenstrahl vornehmen. Dieser Zahlenstrahl kann direkt auf eine Bezugsfl\u00e4che des Umfeldes projiziert werden und potenziell unendlich fortgef\u00fchrt werden. Durch die eigene erfahrbare Bewegung vorw\u00e4rts und r\u00fcckw\u00e4rts am virtuellen AR-Zahlenstrahl k\u00f6nnen M\u00e4chtigkeit der Mengen, Verortung auf dem Zahlenstrahl und L\u00e4ngenverh\u00e4ltnisse in der realen Umgebung (z.B. Schulflur, Schulhof) miteinander in Bezug gesetzt werden.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-large-font-size\">Reflexi\u00f3n cr\u00edtica y l\u00edmites<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A pesar del potencial descrito, sigue siendo necesaria una mirada cr\u00edtica a las posibilidades de acci\u00f3n virtual, especialmente en lo que respecta a su dise\u00f1o e integraci\u00f3n en entornos de aprendizaje sustanciales.<\/p>\n\n\n\n<h5 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">No todas las herramientas virtuales son autom\u00e1ticamente efectivas.<\/h5>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Forschungsergebnisse zur Effektivit\u00e4t virtueller Arbeitsmittel sind nicht einheitlich. Eine aktuelle Studie zeigt beispielsweise, dass konkrete Arbeitsmittel in bestimmten Bereichen (wie Bruchrechnung) zu besseren Lernergebnissen f\u00fchren k\u00f6nnen als virtuelle Arbeitsmittel (Al Mutawah et al., 2024). Solche Ergebnisse sind jedoch nicht \u00fcbertragbar auf Arbeitsmittel bzw. die Technologie an sich. \u00c4hnlich wie es Kriterien f\u00fcr die Auswahl und den Einsatz von gegenst\u00e4ndlichen Veranschaulichungsmitteln gibt, sollte der Einsatz weniger an der Technologie, sondern an fachdidaktischen Kriterien ausgerichtet werden. Die\u00a0<strong>Calidad del dise\u00f1o<\/strong>\u00a0El uso de la herramienta virtual es crucial (Moyer-Packenham y Bolyard, 2016), as\u00ed como su integraci\u00f3n en entornos de aprendizaje y preguntas adecuadamente dise\u00f1ados.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h5 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">Peligro de sobrecarga cognitiva<\/h5>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Parad\u00f3jicamente, los entornos de aprendizaje digital mal dise\u00f1ados tambi\u00e9n pueden generar una mayor carga cognitiva, por ejemplo, a trav\u00e9s de animaciones innecesarias, elementos que distraen o interfaces de usuario demasiado complejas (Skulmowski y Xu, 2022).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h5 class=\"wp-block-heading has-medium-font-size\">Importancia del docente<\/h5>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Virtuelle Arbeitsmittel ersetzen nicht die professionelle fachdidaktische Begleitung durch die Lehrkraft. Ganz im Gegenteil: Virtuelle Arbeitsmittel entfalten ihr Potenzial dann, wenn ihre Nutzung durch entsprechende Aufgabenstellungen, Vor- und Nachbereitung und Lernumgebungen gerahmt ist. Untersuchungen zeigen, dass die Art und Weise, wie Lehrkr\u00e4fte virtuelle Arbeitsmittel einsetzen, entscheidend f\u00fcr den Lernerfolg ist (Larkin, 2016). Die\u00a0<strong>competencia did\u00e1ctica de las matem\u00e1ticas<\/strong>\u00a0El profesor sigue siendo central.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-large-font-size\">Conclusi\u00f3n y perspectiva<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Con un dise\u00f1o adecuado, las actividades virtuales pueden crear oportunidades de acci\u00f3n y experiencia en el aprendizaje matem\u00e1tico que ofrecen un potencial did\u00e1ctico significativo en comparaci\u00f3n con las actividades que utilizan herramientas no virtuales (Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020b). Se consideran\u00a0<strong>adici\u00f3n y continuaci\u00f3n significativas<\/strong>\u00a0Las acciones virtuales no deben considerarse un sustituto de las acciones del mundo real. Como base para la interpretaci\u00f3n y la aplicaci\u00f3n significativa, las acciones virtuales suelen requerir experiencias primarias y an\u00e1logas con materiales de trabajo tangibles. Las condiciones clave para el uso exitoso de herramientas y acciones virtuales son:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Fundamentaci\u00f3n did\u00e1ctica-sujeta:<\/strong>\u00a0Die Ausgestaltung virtueller Handlungen an Arbeitsmitteln sollte sich an bew\u00e4hrten mathematikdidaktischen Konzepten und Prinzipien orientieren.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Calidad del dise\u00f1o:<\/strong>\u00a0Eine sorgf\u00e4ltige Gestaltung der virtuellen Arbeitsmittel nach Erkenntnissen des Lernens mit Multimedia und fachdidaktischen Prinzipien ist unabdingbar (Urff, 2014).<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Interacci\u00f3n de lo f\u00edsico y lo digital<\/strong> (Duo of artefacts): Virtuelle Handlungen bauen auf Erfahrungen mit gegenst\u00e4ndlichen Arbeitsmitteln auf und k\u00f6nnen auch sinnvoll gemeinsam als \u201eDuo of Artifacts\u201c eingesetzt werden (Bonow, 2020).<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Profesionalizaci\u00f3n docente:<\/strong>\u00a0Los docentes necesitan habilidades para el uso reflexivo de los medios digitales con el fin de aprovechar las posibilidades espec\u00edficas de los materiales y acciones de aprendizaje digitales y no simplemente usarlos como un reemplazo de los medios anal\u00f3gicos.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En el dise\u00f1o de herramientas de trabajo virtuales y ofertas de acci\u00f3n se aplican los siguientes principios de dise\u00f1o desde una perspectiva did\u00e1ctica-sujeta (cf. Urff, 2012):<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Gestalte virtuelle Arbeitsmittel so, dass der Nutzer bei der Ausf\u00fchrung von Handlungen entlastet wird von nicht f\u00fcr die mathematische Konzeptbildung relevanten Aktivit\u00e4ten. Dadurch werden m\u00f6glichst viele kognitive Ressourcen f\u00fcr das mathematische Erkunden verf\u00fcgbar.<\/li>\n\n\n\n<li>Versuche \u00fcber virtuelle Handlungsangebote und Visualisierungen m\u00f6glichst gut die zu f\u00f6rdernden mathematischen (Denk-)Operationen abzubilden.<\/li>\n\n\n\n<li>Dise\u00f1ar recursos virtuales para que la conexi\u00f3n entre diferentes representaciones sea comprensible para los ni\u00f1os.<\/li>\n\n\n\n<li>Posibilitar acciones que no son o son muy dif\u00edciles de lograr con herramientas de trabajo concretas.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La digitalizaci\u00f3n y el consiguiente avance en la educaci\u00f3n ofrecen oportunidades, pero no deben conducir a una euforia tecnol\u00f3gica acr\u00edtica. El objetivo no es reemplazar las herramientas tradicionales, sino ampliar el repertorio did\u00e1ctico.\u00a0<strong>expandirse sabiamente<\/strong>\u00a0(Krauthausen, 2022). Zuk\u00fcnftige Forschung und Praxis sollten deshalb weiterhin immer kritisch untersuchen, unter welchen Bedingungen welche Kombinationen von konkreten und virtuellen Arbeitsmitteln f\u00fcr welche Lernziele und Zielgruppen optimal sind.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-large-font-size\">literatura<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Agostinho, S., Tindall-Ford, S., Ginns, P., Howard, SJ, Leahy, W. y Paas, F. (2015). Ayudando al aprendizaje: Trazado de gr\u00e1ficos de temperatura con el dedo en un iPad.&nbsp;<em>Revista de psicolog\u00eda educativa<\/em>,&nbsp;<em>27<\/em>(3), 427-443. https:\/\/doi.org\/10.1007\/s10648-015-9315-5<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Ahmad, K., Khalid, M. y Khan, S. (2024). El efecto de la instrucci\u00f3n combinada manipulativa, concreta y virtual, en el rendimiento matem\u00e1tico de estudiantes de primaria.&nbsp;<em>Revista Canadiense de Educaci\u00f3n en Ciencias, Matem\u00e1ticas y Tecnolog\u00eda<\/em>,&nbsp;<em>24<\/em>(4), 515-532. https:\/\/doi.org\/10.1007\/s42330-024-00336-y<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Al Mutawah, M., Thomas, R. y Khine, MS (2024). Impacto del uso de materiales manipulativos virtuales y concretos en el aprendizaje de fracciones por parte de los estudiantes.&nbsp;<em>Educaci\u00f3n coherente<\/em>,&nbsp;<em>11<\/em>(1), Art\u00edculo 2379712. https:\/\/doi.org\/10.1080\/2331186X.2024.2379712<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Altmeyer, K., Kapp, S., Thees, M., Malone, S., Kuhn, J. y Br\u00fcnken, R. (2024). El impacto de las diferencias individuales en el aprendizaje con realidad aumentada. En F. Krieglstein et al. (ed.),&nbsp;<em>Teor\u00eda de la carga cognitiva: tendencias emergentes e innovaciones<\/em> (p\u00e1gs. 112-128). MDPI.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Bonow, J. (2020). Tri\u00e1ngulos aritm\u00e9ticos anal\u00f3gicos y digitales: El potencial de combinar herramientas did\u00e1cticas en entornos inclusivos. En S. Ladel, C. Schreiber, R. Rink y D. Walter (Eds.), Investigaci\u00f3n sobre y con medios digitales: Hallazgos para la ense\u00f1anza de matem\u00e1ticas en primaria (pp. 55-70). WTM \u2013 Editorial de textos y medios cient\u00edficos.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Bouck, E.C., y Park, J. (2018). Revisi\u00f3n sistem\u00e1tica de la literatura sobre materiales manipulativos matem\u00e1ticos para apoyar a estudiantes con discapacidades.&nbsp;<em>Educaci\u00f3n y tratamiento de los ni\u00f1os<\/em>,&nbsp;<em>41<\/em>(1), 65-106.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Bouck, E. C., Satsangi, R., &amp; Park, J. (2020a). The concrete-representational-abstract approach for students with learning disabilities: An evidence-based practice synthesis.&nbsp;<em>Remedio y Educaci\u00f3n Especial<\/em>, 39(4), 211-228. <a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1177\/074193251772171\">https:\/\/doi.org\/10.1177\/0741932518792611<\/a>2<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Bouck, E., Park, J., &amp; Stenzel, K. (2020b). Virtual manipulatives as assistive technology to support students with disabilities with mathematics.&nbsp;<em>Prevenci\u00f3n del fracaso escolar: Educaci\u00f3n alternativa para ni\u00f1os y j\u00f3venes<\/em>,&nbsp;<em>64<\/em>, 1\u20139.&nbsp;<a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1080\/1045988X.2020.1762157\">https:\/\/doi.org\/10.1080\/1045988X.2020.1762157<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Castro-Alonso, J.C. (2020). \u00daltimas tendencias para optimizar el aprendizaje basado en computadora: Directrices de la teor\u00eda de la carga cognitiva.&nbsp;<em>Las computadoras en el comportamiento humano<\/em>,&nbsp;<em>112<\/em>, Art\u00edculo 106458. https:\/\/doi.org\/10.1016\/j.chb.2020.106458<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Ginns, P., Hu, F.T., Byrne, E., y Bobis, J. (2015). Aprendizaje mediante el seguimiento de ejemplos resueltos.&nbsp;<em>Psicolog\u00eda cognitiva aplicada<\/em>,&nbsp;<em>3<\/em>0(2), 160-169. <a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1002\/acp.3171\">https:\/\/doi.org\/10.1002\/acp.3656<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Haryana, MRA, Rambli, DRA, Sulaiman, S. y Sunar, MS (2022). Medios de aprendizaje de realidad virtual con materiales innovadores para mejorar los resultados de aprendizaje individuales basados en la teor\u00eda de la carga cognitiva.&nbsp;<em>Revista internacional de educaci\u00f3n en gesti\u00f3n<\/em>,&nbsp;<em>20<\/em>(3), Art\u00edculo 100657. https:\/\/doi.org\/10.1016\/j.ijme.2022.100657<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Krauthausen, G. (1995). Die \u201eKraft der F\u00fcnf\u201c und das denkende Rechnen. In G. N. M\u00fcller &amp; E. C. Wittmann (Hrsg.),&nbsp;<em>Contando con los ni\u00f1os<\/em>&nbsp;(pp. 87-108). Grupo de Trabajo de Educaci\u00f3n Primaria.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Krauthausen, G. (2012).&nbsp;<em>Medios digitales en las clases de matem\u00e1ticas de primaria<\/em>. Espectro Springer.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Krauthausen, G. (2022). Sobre el debate sobre la digitalizaci\u00f3n en la educaci\u00f3n matem\u00e1tica de primaria. En AS Steinweg (ed.),&nbsp;<em>La educaci\u00f3n matem\u00e1tica hoy y ma\u00f1ana: desaf\u00edos y perspectivas<\/em>&nbsp;(p\u00e1gs. 25-40). Editorial de la Universidad de Bamberg. https:\/\/doi.org\/10.20378\/irb-55799<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Larkin, K. (2016). Educaci\u00f3n matem\u00e1tica y materiales manipulativos: \u00bfCu\u00e1les, cu\u00e1ndo, c\u00f3mo?&nbsp;<em>Aula de matem\u00e1ticas de primaria australiana<\/em>,&nbsp;<em>21<\/em>(1), 12-17.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Moyer, PS, Bolyard, JJ y Spikell, MA (2002). \u00bfQu\u00e9 son los manipuladores virtuales?&nbsp;<em>Ense\u00f1ando matem\u00e1ticas a los ni\u00f1os<\/em>,&nbsp;<em>8<\/em>(6), 372-377.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Moyer-Packenham, P.S., y Bolyard, J.J. (2016). Revisitando la definici\u00f3n de un manipulador virtual. En P.S. Moyer-Packenham (Ed.),&nbsp;<em>Perspectivas internacionales sobre la ense\u00f1anza y el aprendizaje de las matem\u00e1ticas con manipulativos virtuales<\/em>&nbsp;(p\u00e1gs. 3-23). Saltador. https:\/\/doi.org\/10.1007\/978-3-319-32718-1_1<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Paas, F., y van Merri\u00ebnboer, JJG (2020). Teor\u00eda de la carga cognitiva: m\u00e9todos para gestionar la carga de la memoria de trabajo en el aprendizaje de tareas complejas.&nbsp;<em>Direcciones actuales en la ciencia psicol\u00f3gica<\/em>,&nbsp;<em>29<\/em>(4), 394-398. https:\/\/doi.org\/10.1177\/0963721420922183<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Park, J., Bryant, D.P. y Shin, M. (2022). Efectos de las intervenciones con manipuladores virtuales para estudiantes con dificultades de aprendizaje: Una s\u00edntesis de una investigaci\u00f3n de caso \u00fanico.&nbsp;<em>Revista de discapacidades del aprendizaje<\/em>,&nbsp;<em>55<\/em>(4), 325-337. https:\/\/doi.org\/10.1177\/00222194211006336<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Skulmowski, A., y Xu, K.M. (2022). Comprensi\u00f3n de la carga cognitiva en el aprendizaje digital y en l\u00ednea: Una nueva perspectiva sobre la carga cognitiva extr\u00ednseca.&nbsp;<em>Revista de psicolog\u00eda educativa<\/em>,&nbsp;<em>34<\/em>(1), 171-196. https:\/\/doi.org\/10.1007\/s10648-021-09624-7<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Sweller, J. (2020). Teor\u00eda de la carga cognitiva y tecnolog\u00eda educativa.&nbsp;<em>Investigaci\u00f3n y desarrollo de tecnolog\u00eda educativa<\/em>,&nbsp;<em>68<\/em>(1), 1-16. https:\/\/doi.org\/10.1007\/s11423-019-09701-3<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Urff, C. (2014).&nbsp;<em>Medios de aprendizaje digitales para promover habilidades matem\u00e1ticas b\u00e1sicas.<br>An\u00e1lisis te\u00f3ricos, estudios de casos emp\u00edricos e implementaci\u00f3n pr\u00e1ctica a partir del desarrollo de herramientas de trabajo virtual<\/em>. El hombre y el libro<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Urff, C. (2012). Recursos virtuales en la ense\u00f1anza de matem\u00e1ticas en primaria. En S. Ladel y C. Schreiber (eds.): Aprendizaje, ense\u00f1anza e investigaci\u00f3n en primaria (volumen 1) (pp. 59-82). Franzbecker<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Urff, C. (2010). Potentiale und Perspektiven computergest\u00fctzter Lernf\u00f6rderung beim Erwerb grundlegender mathematischer Kompetenzen. <em>Zeitschrift f\u00fcr Heilp\u00e4dagogik<\/em>, 61(4), 141\u2013150.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Wollring, B. (2008). Kennzeichnung von Lernumgebungen f\u00fcr den Mathematikunterricht in der Grundschule. In Kasseler Forschergruppe (Hrsg.), <em>Lernumgebungen auf dem Pr\u00fcfstand. Zwischenergebnisse aus den Forschungsprojekten<\/em> (S. 9\u201326). Kassel University Press.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">Lecturas complementarias<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size wp-block-paragraph\">Nicht im Text zitiert, aber thematisch einschl\u00e4gig.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Bouck, E.C., Park, J., Sprick, J., Shurr, J., Bassette, L. y Whorley, A. (2017). Uso del enfoque virtual-representacional-abstracto para apoyar a estudiantes con discapacidad intelectual en matem\u00e1ticas.&nbsp;<em>Enfoque en el autismo y otras discapacidades del desarrollo<\/em>,&nbsp;<em>3<\/em>3(4). https:\/\/doi.org\/<a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1177\/1088357618755696\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">10.1177\/1088357618755696<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-tiny-font-size wp-block-paragraph\">Krauthausen, G., y Scherer, P. (2010).&nbsp;<em>Abordar la heterogeneidad: diferenciaci\u00f3n natural en la ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas en la escuela primaria<\/em>. Materiales del IPN. <a href=\"http:\/\/www.sinus-an-grundschulen.de\/fileadmin\/uploads\/Material_aus_SGS\/Handreichung_Krauthausen-Scherer.pdf\">http:\/\/www.sinus-an-grundschulen.de\/fileadmin\/uploads\/Material_aus_SGS\/Handreichung_Krauthausen-Scherer.pdf<\/a><\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Christian Urff 2025 (aktualisierter Text zu einer Version von 2011) Einleitung Mathematische Arbeitsmittel sind zentrale Lehr- und Lernwerkzeuge, mit denen sich handelnd grundlegende mathematische Zusammenh\u00e4nge erforschen lassen (Krauthausen, 2012, 2022). Im Gegensatz zu gegenst\u00e4ndlichen Arbeitsmitteln, die Lernende mit den eigenen H\u00e4nden manipulieren k\u00f6nnen (z.B. 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