Zahlen als Zusammensetzungen verstehen.
Eine Lern-App für den mathematischen Anfangsunterricht zum Legen, Erfassen,
Zerlegen und Zusammensetzen von Mengen im Zahlenraum bis 10.
Webapp zum Ausprobieren: zerlegen.urff.app
Zielgruppe: Anfangsunterricht, Klasse 1, inklusive Förderung und Lerntherapie
Zahlenraum: bis 10
Worum geht es?
Eine Zahl ist mehr als ein Platz in der Zahlwortreihe. Die Sieben kann zum Beispiel
als ganze Menge gesehen werden, gleichzeitig aber auch als Zusammensetzung aus 5 und 2, 4 und 3 oder 6 und 1. Wer solche Teile-Ganzes-Beziehungen versteht, kann Zahlen flexibel nutzen, fehlende Teile bestimmen und Plus- und Minusaufgaben zunehmend aus bekannten Zahlbeziehungen ableiten, statt jedes Ergebnis neu abzuzählen.
Die App Zerlegen unterstützt Kinder dabei, dieses Teile-Ganzes-Verständnis als wichtige Grundlage aufzubauen und zu vertiefen. Als Veranschaulichungsmittel wird ein in Fünfer strukturierter Zehnerstreifen verwendet. Plättchen werden gelegt, Mengen auf einen Blick erfasst, durch einen verschiebbaren Trennstrich in zwei Teile zerlegt und wieder zu einem Ganzen zusammengesetzt. Die App verbindet dabei vier Zugänge:
- die Handlung am virtuellen Material (Hinzulegen und Wegnehmen, Strich verschieben)
- das strukturierte Mengenbild mit Trennstrich,
- die sprachliche Beschreibung und
- die symbolische Darstellung mit Zahlen und Rechenzeichen.
Alle kindgerichteten Aufträge und Rückmeldungen werden gesprochen. Dadurch kann die App bereits von Kindern genutzt werden, die noch nicht lesen können. Zahlenauswahl, Aufgabenumfang, Sprechtempo und Übungsangebot lassen sich im Lehrkraftbereich an den jeweiligen Lernstand anpassen. Die Kinder können unter anderem …
- Anzahlen im Zehnerstreifen legen und passende Ziffern zuordnen,
- Mengen mithilfe der Fünfer- und Zehnerstruktur zunehmend ohne Abzählen erfassen,
- ein Ganzes in zwei Teile zerlegen und verschiedene Zerlegungen derselben Zahl finden,
- erkennen, dass sich die Teile verändern können, während das Ganze gleich bleibt,
- zu einem Ganzen und einem bekannten Teil den fehlenden Teil bestimmen,
- verdeckte Mengen gedanklich ergänzen,
- zwischen Material, Mengenbild, Zahlentrio und symbolischer Schreibweise wechseln,
- Addition als Zusammensetzen und Subtraktion als Bestimmen eines Teils verstehen,
- Tausch- und Umkehraufgaben als zusammengehörige Aufgabenfamilie erkennen und
- verstandene Zahlzerlegungen in drei Spielen zunehmend sicher und flüssig nutzen.
Die App ist vor allem für den Anfangsunterricht konzipiert, für den Übergang vom Elementar- in den Primarbereich und für die individuelle Förderung in jedem Alter geeignet. Sie kann in der Grund- und Förderschule, in inklusiven Lerngruppen, in der Lerntherapie oder zu Hause eingesetzt werden.
Didaktische Konzeption
1. Das Teile-Ganzes-Konzept als Grundlage des Rechnens
Das Teile-Ganzes-Konzept bezeichnet die Einsicht, dass eine Menge oder Zahl auf verschiedene Weise in Teile zerlegt und aus diesen Teilen wieder zusammengesetzt werden kann. Dabei bleibt das Ganze erhalten, solange lediglich seine Aufteilung verändert wird. So ist 7 das Ganze; 5 und 2 sind Teile davon. Ebenso sind 4 und 3 Teile desselben Ganzen.
Diese Einsicht ist für ein relationales Zahlverständnis zentral. Zahlen werden nicht nur als aufeinanderfolgende Positionen – „sechs, sieben, acht“ – verstanden, sondern als miteinander verbundene Größen. Das Teile-Ganzes-Konzept bildet eine wesentliche Grundlage für Zahlbegriff, Addition, Subtraktion und spätere Rechenstrategien (Lenz & Wittmann, 2023).
Interventionsstudien berichten positive Lernwirkungen einer gezielten Teile-Ganzes-Förderung im Kindergarten und im Anfangsunterricht. In einer Kindergartenstudie zeigte ein explizites Teil-Teil-Ganzes-Curriculum größere Lernzuwächse als ein vorwiegend auf Zählen und Beziffern gerichtetes Angebot (Fischer, 1990). Eine weitere Studie fand nach einer Förderung mit sichtbar gemachten Zahlbeziehungen bessere Additions- und Subtraktionsleistungen (Kullberg et al., 2020). In einer experimentellen Untersuchung führte die Förderung von Zerlegungsstrategien zu einer höheren Lösungsrate, flexibleren Strategien und seltenerem Zählen (Cheng, 2012).
Umsetzung in der App: Punkte auf einem Zehnerstreifen zeigen stets die Menge als ein Ganzes, die durch den roten Trennstrich in zwei sichtbare Teile gegliedert wird. Der Strich kann verschoben werden, ohne dass Plättchen hinzukommen oder verschwinden. So wird die Invarianz des Ganzen unmittelbar erfahrbar: Ein Teil wird um eins größer, während der andere um eins kleiner wird.
2. Strukturierte Mengenerfassung
Größere Anzahlen lassen sich sicherer erfassen, wenn sie in überschaubare Teilmengen gegliedert sind. Der Zehnerstreifen nutzt deshalb die Kraft der Fünf: Nach dem fünften Platz ist eine Markierung. Acht kann so als „fünf und drei“ oder als „zwei weniger als zehn“ gesehen werden. Bei richtigen Lösungen hebt die App passende Fünfer- oder Zehnerbeziehungen visuell hervor und benennt sie sprachlich. Bei Fehlern zählt sie größere Mengen bewusst nicht einfach vor. Stattdessen pulsiert die Menge als Gruppe und die Aufmerksamkeit wird auf die Struktur gelenkt. Nur bei sehr kleinen Anzahlen, für die ein Fünfer- oder Zehneranker wenig hilfreich wäre, wird punktweise unterstützt. Diese Gestaltung greift die mathematikdidaktische Forderung auf, Mengen strukturiert wahrzunehmen und Zahlbeziehungen für die Ablösung vom zählenden Rechnen zu nutzen. Sie verhindert das Zählen nicht technisch – das wäre weder möglich noch sinnvoll –, macht aber wiederholt andere, langfristig tragfähigere Sichtweisen zugänglich.
3. Handeln, Bild, Sprache und Symbol verknüpfen
Das Verschieben eines Trennstrichs allein führt noch nicht automatisch zu einem mathematischen Verständnis. Entscheidend ist, dass das Kind die Handlung mit dem Mengenbild, den beteiligten Zahlen und einer passenden sprachlichen Beziehung verknüpft und gedanklich nachvollzieht. Deshalb verwendet die App konsequent Formulierungen wie:
„Sieben ist zerlegt in drei und vier.“
„Drei und vier sind zusammen sieben.“
„Sieben minus vier ist gleich drei.“
Das Ganze ist durchgängig blau, die Teile sind rot gekennzeichnet. Dieselbe Rollenzuordnung erscheint am Zehnerstreifen, im Zahlentrio, im Zahlenhaus und in den Aufgabenfamilien. Die Farbe soll nicht als Merkschema an die Stelle des Denkens treten, sondern die Aufmerksamkeit auf die mathematische Rolle einer Zahl lenken: Ist sie in
dieser Situation das Ganze oder ein Teil?
Die verschiedenen Übungen verlangen bewusst Darstellungswechsel: vom sichtbaren Streifen zu den Teilzahlen, vom Zahlentrio zum Material, vom verdeckten Teil zur Ergänzung und schließlich vom strukturierten Bild zur Gleichung.
4. Alle Zerlegungen finden, ordnen und Beziehungen beschreiben
In der Übung „Teile die Menge“ suchen Kinder nicht nur irgendeine Zerlegung, sondern alle Zerlegungen einer gewählten Zahl. Gefundene Zerlegungen werden geordnet in einem Zahlenhaus gesammelt. Dadurch kann aus dem Probieren ein systematisches Vorgehen entstehen. Das systematische Finden und Ordnen ist wichtig, weil Kinder dadurch Beziehungen zwischen den Zerlegungen erkennen können. Die App stellt dafür eine dynamische Umgebung bereit; das Beschreiben und Begründen im Unterrichtsgespräch bleibt Aufgabe der Kinder und der Lehrkraft. Zerlegungen mit Null können im Lehrkraftbereich ein- oder ausgeschaltet werden. Sind
sie aktiviert, wird sichtbar, dass auch „0 und 7“ eine mögliche Zerlegung der Sieben
ist.
5. Addition und Subtraktion als zusammengehörige Beziehungen
Die App bezieht Plus und Minus und ihr Zusammenspiel aus dem Teile-Ganzes-Verständnis heraus ein. Beim Dazulegen werden zwei Teile zu einem Ganzen zusammengesetzt. Beim Wegnehmen ist der andere Teil des Ganzen gesucht. In der Übung „Dazu und wieder weg“ legt das Kind zunächst eine Menge dazu und
nimmt anschließend genau diesen Teil wieder weg. Die weggenommenen Plättchen
verschwinden dabei nicht spurlos, sondern bleiben als blasse „Geisterplättchen“
erkennbar. So sind das ursprüngliche Ganze, der weggenommene Teil und der verbleibende Teil gleichzeitig rekonstruierbar. Die Umkehrbeziehung zwischen Addition und Subtraktion wird an diesen Handlungen erfahrbar und sichtbar. Ebenso finden sich Übungen in der App, bei denen nicht dazugelegt oder weggenommen werden muss, sondern der abgedeckte Teil bestimmt werden muss.
Die Übung „Aufgabenfamilie“ verbindet eine Zerlegung anschließend mit den
zugehörigen Gleichungen:
3 + 4 = 7 4 + 3 = 7
7 − 4 = 3 7 − 3 = 4
Jede gelöste Zeile wird am Material nachvollzogen. Bei Minusaufgaben steht das Ganze immer vorn. Dadurch soll die Aufgabenfamilie nicht zu einem bloßen Umstellen dreier Ziffern werden, sondern in der gemeinsamen Teil-Ganzes-Beziehung verankert bleiben.
6. Verstehensorientierte Rückmeldung
Eine falsche Antwort wird nicht mit „falsch“ quittiert. Die App lenkt den Blick bei Fehlern
zurück auf das Material: Eine relevante Teilmenge pulsiert, ein fehlender Bereich wird sichtbar oder eine Fünfer-/Zehnerbeziehung wird hervorgehoben oder ein sprachlicher Impuls wird hinzugefügt. Die Lösung wird dabei nicht vorschnell genannt. Das Kind kann weiterdenken und erneut handeln. Für die Lernstandsübersicht zählt nur der erste Versuch einer Aufgabe. Danach wird die Aufgabe dennoch bis zur richtigen Lösung weitergeführt. So erhält die Lehrkraft einen vorsichtigen Hinweis darauf, was bereits selbstständig gelingt, ohne dass Fehler dem Kind den Zugang zum erfolgreichen Abschluss versperren. Die Übersicht ist eine förderorientierte Beobachtungshilfe, aber kein standardisierter Test und keine Grundlage für Benotung.
7. Automatisieren erst nach dem Verstehen
Die Spiele wie „Verliebte Zahlen“, „Häuser bauen“ und „Familien-Blasen“ dienen der Festigung bereits verstandener Zerlegungen und Aufgabenfamilien. Zahlen und strukturierte Mengenbilder wechseln sich ab; passende Teile müssen gefunden, ergänzt oder einer Aufgabenfamilie zugeordnet werden. Die Spiele sollten erst eingesetzt werden, wenn ein Kind die betreffende Zerlegung am Material erklären kann. Tempo und Punkte können Sicherheit und flüssigen Abruf fördern, ersetzen aber keine Einsicht. Deshalb fließen Spielergebnisse bewusst nicht in das Kompetenzraster der Übungen ein.
Die Übungsbereiche im Überblick
| Lernschwerpunkt | Geeignete Übungen | Zentrale Frage |
|---|---|---|
| Mengen legen und erfassen | Lege die Menge · Finde die Menge · Blitzblick · Feld und Legen | „Wie siehst du die Zahl, ohne jedes Plättchen einzeln zu zählen?“ |
| Mengen verändern | Lege die Menge dazu · Dazu und wieder weg | „Was kommt dazu? Was bleibt, wenn derselbe Teil wieder weggenommen wird?“ |
| Zerlegungen handelnd untersuchen | Teile die Menge · Teile und finde die Zahlen · Verschieben und Vorhersagen · Zerlege in drei Teile | „In welche zwei Teile ist das Ganze zerlegt? Wie findest du alle Möglichkeiten? Wie verändern sich die Teile, wenn ich den Strich verändere?“ |
| Teile und Ganzes bestimmen | Ganzes und Teile · Wie viele sind versteckt? · Blitzblick mit Teilen | „Welcher Teil ist bekannt? Welcher Teil fehlt? Was ist das Ganze?“ |
| Vorstellungen verinnerlichen | Zerlege die Zahl | „Kannst du den fehlenden Teil erst im Kopf bestimmen und anschließend am Streifen prüfen?“ |
| Operationsbeziehungen verstehen | Aufgabenfamilie | „Welche Plus- und Minusaufgaben gehören zu diesen drei Zahlen?“ |
| Frei erkunden | Experimentierumgebung | „Was verändert sich beim Verschieben des Strichs – und was bleibt gleich?“ |
| Festigen und automatisieren | Verliebte Zahlen · Häuser bauen · Familien-Blasen · Treppenhaus · Zahlen-Waage · Wackelhaus · Paare-Finder · Bushaltestelle | „Welche Zerlegungen und Aufgabenfamilien erkennst du schon sicher?“ |
Einsatz im Mathematikunterricht
Vor der ersten Nutzung
Die App sollte nicht ohne gemeinsame inhaltliche Einführung als beliebiges Lernspiel gestartet werden. Lass zunächst an realem Material und in Alltagssprache erkunden, was „zerlegen“ bedeutet: Eine Tafel Schokolade kann in Teile zerlegt werden; sechs Plättchen können in vier und zwei Plättchen zerlegt werden. Wichtig ist die sprachliche Begleitung wie:
„Sechs ist das Ganze. Vier und zwei sind Teile davon. Zusammen sind es wieder sechs.“
Nutze den Zehnerstreifen und seine Fünfermarkierung gezielt mit der angebotenen Struktur. Lass die Kinder beschreiben, woran sie eine Menge schnell erkennen. Hierfür eignen sich ebenfalls Blitzblickübungen und ein Stift als Zerlegungsstrich, der verschoben werden kann.
Empfohlene Lernszenarien
Je nach Lernstand können Phasen wiederholt, verkürzt oder parallel angeboten werden.
- Mengenbilder aufbauen: Beginne mit „Lege die Menge“, „Finde die Menge“
und langsamem „Blitzblick“. Wähle zunächst wenige Zahlen, etwa 4, 5 und 6. - Zerlegen als Handlung verstehen: Nutze die Experimentierumgebung und
„Teile die Menge“. Frage nach dem Ganzen und den beiden Teilen. - Zerlegungen systematisieren: Lass alle Zerlegungen einer Zahl finden und
im Zahlenhaus ordnen. Vergleiche benachbarte Stockwerke. - Fehlende Teile bestimmen: Zunächst in der Experimentierumgebung gemeinsam abgedeckte Teile nichtzählend bestimmen, dann in „Ganzes und Teile“, „Wie viele sind
versteckt?“ und „Blitzblick mit Teilen“ vertiefen - Vorstellungen verinnerlichen: Setze beispielsweise „Zerlege die Zahl“ ein. Das Material
erscheint nun vor allem zur Kontrolle und Rückmeldung. - Plus und Minus verknüpfen: „Dazu und wieder weg“ und danach die „Aufgabenfamilie“.
- Sichern und automatisieren: Nutze die Spiele und alle weiteren Übungen, wenn die Beziehungen verstanden und sprachlich beschrieben werden können.
Für die meisten Kinder sind kurze, regelmäßige Einheiten von etwa 10 bis 15 Minuten sinnvoller als seltene lange Übungsphasen.
Gesprächsimpulse
Geeignete Fragen sind zum Beispiel:
- „Was ist hier das Ganze? Was sind die Teile?“
- „Wie hast du die Menge so schnell gesehen?“
- „Wo siehst du die Fünf? Wie viele kommen noch dazu?“
- „Was passiert mit dem linken Teil, wenn du den Strich um einen/zwei/… Platz / Plätze verschiebst?“
- „Was verändert sich? Was bleibt gleich?“
- „Hast du schon alle Zerlegungen gefunden? Wie kannst du das sicher wissen?“
- „Welche Zerlegung ist die Tauschzerlegung dazu?“
- „Welche Plusaufgabe passt zum Bild? Welche Minusaufgabe?“
- „Warum muss bei der Minusaufgabe das Ganze vorne stehen?“
- „Kannst du die Lösung vorhersagen, bevor du sie am Streifen prüfst?“
Entscheidend ist, dass Kinder nicht nur Ergebnisse nennen, sondern Beziehungen beschreiben und begründen. Die Sprachausgabe der App bietet dafür ein Sprachmodell. Das mathematische Gespräch mit anderen Kindern oder der Lehrkraft kann sie jedoch nicht ersetzen.
Beobachtungen und Impulse
| Beobachtung | Mögliche Deutung und nächster Impuls |
|---|---|
| Das Kind zählt jedes Plättchen einzeln. | Fünferstruktur fokussieren: „Zeig mir zuerst die fünf. Was siehst du außerdem?“ |
| Eine verschobene Zerlegung wird als neues Ganzes gedeutet. | Invarianz thematisieren und das Ganze vor und nach dem Verschieben vergleichen: „Was hat sich verändert? Was ist gleich geblieben?“ |
| Zerlegungen werden unsystematisch wiederholt. | Möglichst viele Zerlegungen, auch auf Papier, dokumentieren und danach die Aufgabe geben: „Ordne die gefundenen Zerlegungen sinnvoll. Wie hast du geordnet?“ Evtl. auch bereits eine Ordnung vorgeben und weiterführen lassen. Veränderungen versprachlichen. |
| Das Kind findet den fehlenden Teil nur durch vollständiges Neuzählen. | Bekannten Teil markieren und vom Fünfer- oder Zehneranker aus ergänzen lassen. Relationen nutzen (eins mehr, eins weniger, Tauschbeziehungen) |
| 3 + 4 und 4 + 3 werden als völlig getrennte Aufgaben behandelt. | Beide Pulsfolgen am selben Streifen vergleichen und die Tauschbeziehung beschreiben und mit Unterstützung der Übung „Umdrehen und Tauschen“ vertiefen. |
| Bei Minus werden Teilzahlen beliebig vertauscht. | Forscherauftrag geben: „Warum steht das Ganze bei Minus immer vorne?“ Das Ganze steht vorn; weggenommener und verbleibender Teil ergänzen sich zum Ganzen. |
| Symbolische Aufgaben gelingen, eine passende Darstellung aber nicht. | Zurück zum Zahlentrio und Zehnerstreifen wechseln; die Gleichung am Material zeigen lassen. |
Die kindbezogene Lernstandsübersicht der App zeigt für jede Zahl, welche Bereiche noch nicht, bereits teilweise oder wiederholt sicher bearbeitet wurden. Sie eignet sich zur Planung weiterer Lernangebote durch die Lehrkraft und als Rückmeldung über den Lernstand auch für die Kinder. Einzelne Fehlversuche, Zeitwerte oder farbige Anzeigen sollten jedoch nie isoliert interpretiert werden; aussagekräftig werden sie erst zusammen mit der Beobachtung von Handlungen und Erklärungen.
Forschungsprojekt zur App
Welche Lernwirkungen die konkrete digitale Lernumgebung unter schulischen Bedingungen erzielt, soll in einer begleitenden Studie mit Vor-, Nach- und Follow-up-Erhebung untersucht werden. Dies lässt sich recht unkompliziert durchführen (Lernstandserhebungen lassen sich direkt in der App durchführen). Bei Interesse an einer Teilnahme gerne melden bei christian.urff@ph-weingarten.de
Rolle der App im Unterricht
Die App Zerlegen ersetzt weder echtes Handlungsmaterial noch mathematische Gespräche. Die besondere Stärke der App liegt darin, mathematische Beziehungen dynamisch und konsistent sichtbar zu machen, Aufgaben gezielt zu variieren, sprachliche Modelle anzubieten und individuelle Übungswege zu ermöglichen. Der größte didaktische Nutzen entsteht, wenn die digitale Tätigkeit mit Legen, Zeichnen, Sprechen, Begründen und gemeinsamem Reflektieren verbunden wird. Die App eignet sich daher besonders …
- als angeleitete Lernumgebung bei der Einführung von Zahlzerlegungen,
- für kurze regelmäßige Übungsphasen (auch zu Hause),
- für Partnerarbeit und mathematische Gespräche,
- zur gezielten Förderung bei Schwierigkeiten mit Zahlbeziehungen oder zählendem Rechnen und
- zur Sicherung und Automatisierung bereits verstandener Zerlegungen.
Literatur und weiterführende Materialien
PIKAS inklusiv: Basisaufgabe und vertiefende Aufgabenstellungen „Zahlen zerlegen“
Cheng, Z.-J. (2012). Teaching young children decomposition strategies to solve addition problems: An experimental study. The Journal of Mathematical Behavior,
31(1), 29–47. DOI
Fischer, F. E. (1990). A part-part-whole curriculum for teaching number in the kindergarten. Journal for Research in Mathematics Education, 21(3), 207–215.
DOI
Gerster, H.-D. & Schultz, R. (2000). Schwierigkeiten beim Erwerb mathematischer Konzepte im Anfangsunterricht. Bericht zum Forschungsprojekt „Rechenschwäche – Erkennen, Beheben, Vorbeugen“. Pädagogische Hochschule Freiburg.
Volltext
Kullberg, A., Björklund, C., Brkovic, I. & Runesson Kempe, U. (2020). Effects of learning addition and subtraction in preschool by making the first ten numbers and their relations visible with finger patterns. Educational Studies in Mathematics,
103, 157–172. DOI
Lenz, K. & Wittmann, G. (2023). Zur Erarbeitung des Teile-Ganzes-Konzepts im mathematischen Anfangsunterricht: Welche Lerngelegenheiten bieten Schulbücher für die erste Klasse? Journal für Mathematik-Didaktik.
DOI