Zahlen als Zusammensetzungen verstehen.
A learning web app for early mathematics instruction, for creating, recording,
Decomposing and assembling sets in the number range up to 10.
Link zur iOS-App kommt in Kürze (aktuell bei Apple in der Prüfung)
Webapp: dismantle.urff.app
Target audience: Initial instruction, grade 1, including support and learning therapy
Number range: up to 10
What is it about?
A number is more than just a place in the number sequence. Seven, for example, can be...
They can be seen as a whole, but also as a composition of 5 and 2, 4 and 3, or 6 and 1. Those who understand such relationships can use numbers flexibly, determine missing parts, and increasingly derive addition and subtraction problems from known number relationships, instead of counting each result anew.
The Disassemble unterstützt Kinder dabei, dieses Teile-Ganzes-Verständnis als wichtige Grundlagev schrittweise aufzubauen. Im Mittelpunkt steht ein in Fünfer strukturierter Zehnerstreifen. Plättchen werden gelegt, Mengen auf einen Blick erfasst, durch einen verschiebbaren Trennstrich in zwei Teile zerlegt und wieder zu einem Ganzen zusammengesetzt. Die App verbindet dabei vier Zugänge:
- die Handlung am virtuellen Material (Hinzulegen und Wegnehmen, Strich verschieben)
- the structured quantity image,
- the linguistic description and
- The symbolic representation using numbers and mathematical symbols.
All child-directed instructions and feedback are spoken. This allows the app to be used even by children who cannot yet read. Number selection, task scope, speaking pace, and practice options can be adjusted to the individual learning level in the teacher's area. Among other things, the children can…
- Place the quantities in the strip of ten and assign them to the corresponding digits.,
- Increasingly grasping quantities without counting, using the five- and ten-structure.,
- to divide a whole into two parts and find different decompositions of the same number,
- to recognize that the parts can change while the whole remains the same,
- to determine the missing part of a whole and a known part,
- mentally fill in hidden quantities,
- switch between material, quantity image, number trio and symbolic notation,
- To understand addition as combining and subtraction as determining a part,
- Recognize exchange and inverse tasks as a related family of tasks and
- increasingly confident and fluent use the understood number decompositions in three games.
The app is primarily designed for early elementary education, the transition from preschool to primary school, and individualized support. It can also be used in special education schools, inclusive learning groups, learning therapy, or at home.
Didactic concept
1. The part-whole concept as the basis of arithmetic
Das Teile-Ganzes-Konzept bezeichnet die Einsicht, dass eine Menge oder Zahl auf verschiedene Weise in Teile zerlegt und aus diesen Teilen wieder zusammengesetzt werden kann. Dabei bleibt das Ganze erhalten, solange lediglich seine Aufteilung verändert wird. So ist 7 das Ganze; 5 und 2 sind Teile davon. Ebenso sind 4 und 3 Teile desselben Ganzen.
Diese Einsicht ist für ein relationales Zahlverständnis zentral. Zahlen werden nicht nur als aufeinanderfolgende Positionen – „sechs, sieben, acht“ – verstanden, sondern als miteinander verbundene Größen. Das Teile-Ganzes-Konzept bildet eine wesentliche Grundlage für Zahlbegriff, Addition, Subtraktion und spätere Rechenstrategien (Lenz und Wittmann 2023).
Implementation in the app: Punkte auf einem Zehnerstreifen zeigen stets die Menge ein Ganzes, die durch den roten Trennstrich in zwei sichtbare Teile gegliedert wird. Der Strich kann verschoben werden, ohne dass Plättchen hinzukommen oder verschwinden. So wird die Invarianz des Ganzen unmittelbar erfahrbar: Ein Teil wird um eins größer, während der andere um eins kleiner wird.
2. Structured quantity recording instead of rigid counting.
Größere Anzahlen lassen sich sicherer erfassen, wenn sie in überschaubare Teilmengen gegliedert sind. Der Zehnerstreifen nutzt deshalb die Power of Five: Nach dem fünften Platz ist die Struktur deutlich markiert. Acht kann so als „fünf und drei“ oder als „zwei weniger als zehn“ gesehen werden. Die einzelnen Plättchen bleiben sichtbar, sollen aber zunehmend nicht mehr einzeln abgezählt werden.
Bei richtigen Lösungen hebt die App passende Fünfer- oder Zehnerbeziehungen visuell hervor und benennt sie sprachlich. Bei Fehlern zählt sie größere Mengen bewusst nicht einfach vor. Stattdessen pulsiert die Menge als Gruppe und die Aufmerksamkeit wird auf die Struktur gelenkt. Nur bei sehr kleinen Anzahlen, für die ein Fünfer- oder Zehneranker wenig hilfreich wäre, wird punktweise unterstützt. Diese Gestaltung greift die mathematikdidaktische Forderung auf, Mengen strukturiert wahrzunehmen und Zahlbeziehungen für die Ablösung vom zählenden Rechnen zu nutzen. Sie verhindert das Zählen nicht technisch – das wäre weder möglich noch sinnvoll –, macht aber wiederholt andere, langfristig tragfähigere Sichtweisen zugänglich.
3. Handeln, Bild, Sprache und Symbol verknüpfen
Das Verschieben eines Trennstrichs allein führt noch nicht automatisch zu einem mathematischen Verständnis. Entscheidend ist, dass das Kind die Handlung mit dem Mengenbild, den beteiligten Zahlen und einer passenden sprachlichen Beziehung verknüpft. Deshalb verwendet die App konsequent Formulierungen wie:
„"Seven is broken down into three and four."“
„"Three and four together make seven."“
„"Seven minus four equals three."“
Das Ganze ist durchgängig blau, die Teile sind rot gekennzeichnet. Dieselbe Rollenzuordnung erscheint am Zehnerstreifen, im Zahlentrio, im Zahlenhaus und in den Aufgabenfamilien. Die Farbe soll nicht als Merkschema an die Stelle des Denkens treten, sondern die Aufmerksamkeit auf die mathematische Rolle einer Zahl lenken: Ist sie in
This situation, all of it or part of it?
Die verschiedenen Übungen verlangen gezielt Darstellungswechsel: vom sichtbaren Streifen zu den Teilzahlen, vom Zahlentrio zum Material, vom verdeckten Teil zur Ergänzung und schließlich vom strukturierten Bild zur Gleichung.
4. Find all decompositions, order them, and describe their relationships.
In the exercise „"Divide the crowd"“ suchen Kinder nicht nur irgendeine Zerlegung, sondern alle Zerlegungen einer gewählten Zahl. Gefundene Zerlegungen werden geordnet in einem Zahlenhaus gesammelt. Dadurch kann aus dem Probieren ein systematisches Vorgehen entstehen. Das systematische Finden und Ordnen ist wichtig, weil Kinder dadurch Beziehungen zwischen den Zerlegungen erkennen können. Die App stellt dafür eine dynamische Umgebung bereit; das Beschreiben und Begründen im Unterrichtsgespräch bleibt Aufgabe der Kinder und der Lehrkraft.
Decompositions with zero can be enabled or disabled in the teacher area.
When activated, it becomes visible that "0 and 7" also represent a possible decomposition of seven.
is.
5. Addition and subtraction as related relationships
The app introduces plus and minus based on the part-whole concept. When
Add to that Two parts are assembled to form a whole. Take away
The other part of the whole is being sought.
In the exercise „"In and out again"“ The child initially adds a lot and
Then it removes exactly that part again. The removed tiles
They do not disappear without a trace, but remain as pale "ghost tiles".„
This is evident. The original whole, the removed part, and the remaining part can all be reconstructed simultaneously. The inverse relationship between addition and subtraction becomes tangible and visible through these actions.
The exercise „"Task family"“ then combines a disassembly with the
associated equations:
3 + 4 = 7 4 + 3 = 7
7 − 4 = 3 7 − 3 = 4
Jede gelöste Zeile wird am Material nachvollzogen. Bei Minusaufgaben steht das Ganze immer vorn. Dadurch soll die Aufgabenfamilie nicht zu einem bloßen Umstellen dreier Ziffern werden, sondern in der gemeinsamen Teil-Ganzes-Beziehung verankert bleiben.
6. Understanding-oriented feedback
A wrong answer isn't just marked "wrong". The app draws attention to the issue.
zurück auf das Material: Eine relevante Teilmenge pulsiert, ein fehlender Bereich wird sichtbar oder eine Fünfer-/Zehnerbeziehung wird hervorgehoben. Die Lösung wird dabei nicht vorschnell genannt. Das Kind kann weiterdenken und erneut handeln.
Für die Lernstandsübersicht zählt nur der erste Versuch einer Aufgabe. Danach wird die Aufgabe dennoch bis zur richtigen Lösung weitergeführt. So erhält die Lehrkraft einen vorsichtigen Hinweis darauf, was bereits selbstständig gelingt, ohne dass Fehler dem Kind den Zugang zum erfolgreichen Abschluss versperren. Die Übersicht ist eine förderorientierte Beobachtungshilfe, aber kein standardisierter Test und keine Grundlage für Benotung.
7. Automate only after understanding.
Die Spiele wie „"Numbers in love"“, „Building houses“ and „"Family bubbles"“ These games serve to reinforce previously understood decompositions and problem families. Numbers and structured quantity images alternate; matching pieces must be found, added, or assigned to a problem family. The games should only be used once a child can explain the relevant decomposition using the material. Speed and points can promote confidence and fluency, but they do not replace understanding. Therefore, game results are intentionally not included in the competency grid for the exercises.
Overview of the training areas
| Learning focus | Suitable exercises | Central question |
|---|---|---|
| Quantities are laid down and recorded | Lege die Menge · Finde die Menge · Blitzblick · Feld und Legen | „"How do you see the number without counting each tile individually?"“ |
| Change quantities | Add the quantity · Add and then remove it | „"What is added? What remains when the same part is taken away again?"“ |
| Examine disassemblies by action | Teile die Menge · Teile und finde die Zahlen · Verschieben und Vorhersagen · Zerlege in drei Teile | „In welche zwei Teile ist das Ganze zerlegt? Wie findest du alle Möglichkeiten? Wie verändern sich die Teile, wenn ich den Strich verändere“ |
| Determine parts and whole | Wholes and parts · How many are hidden? · Quick look with parts | „"Which part is known? Which part is missing? What is the whole?"“ |
| Internalize ideas | Break down the number | „"Can you first determine the missing part in your head and then check it on the strip?"“ |
| Understanding operational relationships | Task family | „"What addition and subtraction problems belong to these three numbers?"“ |
| Explore freely | experimental environment | „"What changes when the line is moved – and what stays the same?"“ |
| Consolidate and automate | Verliebte Zahlen · Häuser bauen · Familien-Blasen · Treppenhaus · Zahlen-Waage · Wackelhaus · Paare-Finder · Bushaltestelle | „"Which decompositions and task families can you already confidently identify?"“ |
Didactic guidelines for teaching
Before first use
Die App sollte nicht ohne gemeinsame inhaltliche Einführung als beliebiges Lernspiel gestartet werden. Lassen Sie zunächst an realem Material und in Alltagssprache erkunden, was „zerlegen“ bedeutet: Eine Tafel Schokolade kann in Teile zerlegt werden; sechs Plättchen können in vier und zwei Plättchen zerlegt werden. Wichtig ist die sprachliche Begleitung wie:
„"Six is the whole. Four and two are parts of it. Together they make six again."“
Nutzen Sie den Zehnerstreifen und seine Fünfermarkierung gezielt mit der angebotenen Struktur. Lassen Sie Kinder beschreiben, woran sie eine Menge schnell erkennen. Hierfür eignen sich hier ebenfalls Blitzblickübungen und ein Stift als Zerlegungsstrich, der verschoben werden kann.
Recommended learning scenarios
Je nach Lernstand können Phasen wiederholt, verkürzt oder parallel angeboten werden.
- Building quantity representations: Start with "Lay out the set", "Find the set"„
and a slow, "flash" approach. Start by choosing just a few numbers, such as 4, 5, and 6. - Disassembly as an action: Use the experimental environment and
„"Divide the quantity." Ask about the whole and its two parts. - Systematizing decompositions: Find all decompositions of a number and
Arrange the numbers in the number house. Compare adjacent floors. - Identify missing parts: Switch to "Whole and Parts", "How many are there
hidden?“ and „flash of parts“. - Internalize ideas: Insert "Decompose the number". The material
It now appears primarily for monitoring and feedback. - Combine plus and minus: Bearbeiten Sie „Dazu und wieder weg“ und danach die „Aufgabenfamilie“.
- Secure and automate: Nutzen Sie die Spiele und alle weiteren Übungen, wenn die Beziehungen verstanden und sprachlich beschrieben werden können.
Für die meisten Kinder sind kurze, regelmäßige Einheiten von etwa 10 bis 15 Minuten sinnvoller als seltene lange Übungsphasen.
Conversation starters
Suitable questions include, for example:
- „"What is the whole here? What are the parts?"“
- „"How did you see the crowd so quickly?"“
- „"Where do you see the five? How many more will be added?"“
- „"What happens to the left part if you move the line one place?"“
- „"What changes? What stays the same?"“
- „"Have you found all the dissections yet? How can you be sure of that?"“
- „"Which decomposition is the exchange decomposition for this?"“
- „"Which addition problem matches the picture? Which subtraction problem?"“
- „"Why does the whole number have to be at the front in a subtraction problem?"“
- „"Can you predict the answer before you check it on the strip?"“
Entscheidend ist, dass Kinder nicht nur Ergebnisse nennen, sondern Beziehungen beschreiben und begründen. Die Sprachausgabe der App bietet dafür ein Sprachmodell. Das mathematische Gespräch mit anderen Kindern oder der Lehrkraft kann sie jedoch nicht ersetzen.
What teachers can observe
| observation | Possible interpretation and next impulse |
|---|---|
| The child counts each tile individually. | Focus on the five-part structure: "Show me the five first. What else do you see?"„ |
| A displaced decomposition is interpreted as a new whole. | Invarianz thematisieren und das Ganze vor und nach dem Verschieben vergleichen: „Was hat sich verändert? Was ist gleich geblieben?“ |
| Decompositions are repeated unsystematically. | Zerlegungen, auch auf Papier, dokumentieren und danach die Aufgabe geben: „Ordne die gefundenen Zerlegungen sinnvoll? Wie hast du geordnet?“ Evtl. auch bereits eine Ordnung weiterführen oder Ergänzen lassen. Veränderungen versprachlichen. |
| The child can only find the missing part by completely recounting. | Bekannten Teil markieren und vom Fünfer- oder Zehneranker aus ergänzen lassen. Relationen nutzen (eins mehr, eins weniger, Tauschbeziehungen) |
| 3 + 4 and 4 + 3 are treated as completely separate problems. | Compare both pulse sequences on the same strip and describe the exchange relationship. |
| In the case of a minus sign, partial numbers are randomly swapped. | Clarify roles: The whole is at the forefront; the removed and remaining parts complement each other to form the whole. |
| Symbolic tasks can be accomplished, but a suitable representation cannot. | Return to the number trio and switch to the strip of ten; have the equation demonstrated using the material. |
Die kindbezogene Lernstandsübersicht der App zeigt für jede Zahl, welche Bereiche noch nicht, bereits teilweise oder wiederholt sicher bearbeitet wurden. Sie eignet sich zur Planung weiterer Lernangebote durch die Lehrkraft und als Rückmeldung über den Lernstand. Einzelne Fehlversuche, Zeitwerte oder farbige Anzeigen sollten jedoch nie isoliert interpretiert werden; aussagekräftig werden sie erst zusammen mit der Beobachtung von Handlungen und Erklärungen.
Theoretical and empirical foundation
The didactic concept is based in particular on the following findings:
- Number decompositions reveal number relationships. Das Teile-Ganzes-Konzept umfasst die Einsicht, dass eine Zahl verschieden zerlegt und aus ihren Teilen wieder zusammengesetzt werden kann. Es bildet eine Grundlage für die Deutung von Addition, Subtraktion und operativen Aufgabenbeziehungen
(Lenz & Wittmann, 2023). - Structured quantity diagrams support non-counting approaches. Fünfer- und Zehnerstrukturen ermöglichen es, größere Mengen als gegliederte Einheiten wahrzunehmen. Mahiko fasst die Bedeutung verstandener Zerlegungen bis 10 für das spätere Rechnen über den Zehner zusammen und warnt zugleich davor, zu früh von der Materialhandlung zur bloßen Additionsübung überzugehen
(Mahiko/DZLM). - Action, order, and language belong together. PIKAS empfiehlt, Zerlegungen mit unterschiedlichem Material durchzuführen, verschiedene Möglichkeiten zu ordnen
and to accompany the actions linguistically (PIKAS). - Intervention studies report positive learning effects from targeted part-whole support. In einer Kindergartenstudie zeigte ein explizites Teil-Teil-Ganzes-Curriculum größere Lernzuwächse als ein vorwiegend auf Zählen und Beziffern gerichtetes Angebot (Fischer, 1990). Eine weitere Studie fand nach einer Förderung mit sichtbar gemachten Zahlbeziehungen bessere Additions- und
Subtraction operations (Kullberg et al., 2020In an experimental study, promoting decomposition strategies led to a higher solution rate, more flexible strategies, and less frequent counting (Cheng, 2012).
Diese Befunde begründen die Auswahl der mathematischen Inhalte und didaktischen Prinzipien. Sie sind jedoch no proof of effectiveness for the app itself. Welche Lernwirkungen die konkrete digitale Lernumgebung unter schulischen Bedingungen erzielt, wird in einer begleitenden Studie mit Vor-, Nach- und Follow-up-Erhebung untersucht. Bei Interesse an einer Teilnahme gerne melden bei christian.urff@ph-weingarten.de
Role of the app in the classroom
The Disassembly is no substitute for real-world action or mathematical discussions. Die besondere Stärke der App liegt darin, mathematische Beziehungen dynamisch und konsistent sichtbar zu machen, Aufgaben gezielt zu variieren, sprachliche Modelle anzubieten und individuelle Übungswege zu ermöglichen. Der größte didaktische Nutzen entsteht, wenn die digitale Tätigkeit mit Legen, Zeichnen, Sprechen, Begründen und gemeinsamem Reflektieren verbunden wird. Die App eignet sich daher besonders …
- as a guided learning environment for the introduction of number decompositions,
- for short, regular exercise phases,
- for partner work and mathematical discussions,
- zur gezielten Förderung bei Schwierigkeiten mit Zahlbeziehungen oder zählendem Rechnen und
- for securing and automating already understood disassemblies.
Literature and further materials
PIKAS inclusive: Basic task and advanced tasks „Decomposing numbers“
Cheng, Z.-J. (2012). Teaching young children decomposition strategies to solve additional problems: An experimental study. The Journal of Mathematical Behavior,
31(1), 29–47. DOI
Fischer, FE (1990). A part-part-whole curriculum for teaching numbers in the kindergarten. Journal for Research in Mathematics Education, 21(3), 207–215.
DOI
Gerster, H.-D. & Schultz, R. (2004). Difficulties in acquiring mathematical concepts in early education.
Full text
Kullberg, A., Björklund, C., Brkovic, I. & Runesson Kempe, U. (2020). Effects of learning addition and subtraction in preschool by making the first ten numbers and their relationships visible with finger patterns. Educational Studies in Mathematics,
103, 157–172. DOI
Lenz, K. & Wittmann, G. (2023). To develop the part-whole concept in early mathematics instruction: What learning opportunities do textbooks offer for first grade? Journal for Mathematics Didactics.
DOI