Zerlegen – urff.app

Zahlen als Zusammensetzungen verstehen.
一款用于早期数学教学的学习型网络应用程序，用于创建、记录……,
对 10 以内的集合进行分解和组装。.

Link zur iOS-App kommt in Kürze (aktuell bei Apple in der Prüfung)

目标受众： 一年级初始教学，包括支持和学习治疗
数值范围： 最多 10

它讲的是什么？

数字不仅仅是数列中的一个位置。例如，7 可以是……
它们既可以看作一个整体，也可以看作是由 5 和 2、4 和 3 或 6 和 1 组成的。理解这种关系的人可以灵活地使用数字，确定缺失的部分，并越来越多地从已知的数字关系中推导出加减法问题，而不是重新计算每个结果。.

该应用程序拆卸 unterstützt Kinder dabei, dieses Teile-Ganzes-Verständnis als wichtige Grundlagev schrittweise aufzubauen. Im Mittelpunkt steht ein in Fünfer strukturierter Zehnerstreifen. Plättchen werden gelegt, Mengen auf einen Blick erfasst, durch einen verschiebbaren Trennstrich in zwei Teile zerlegt und wieder zu einem Ganzen zusammengesetzt. Die App verbindet dabei vier Zugänge:

die Handlung am virtuellen Material (Hinzulegen und Wegnehmen, Strich verschieben)
结构化数量图像，,
语言描述和
使用数字和数学符号的符号表示法。.

所有面向儿童的指令和反馈均以语音形式呈现。这使得即使是还不会阅读的儿童也能使用该应用程序。教师可以在设置区域根据孩子的学习水平调整数字选择、任务范围、语速和练习选项。此外，孩子们还可以……

将数量填入十位数的纸条中，并将它们分配给相应的数字。,
越来越多地掌握无需计数的数量概念，使用五和十的结构。,
将一个整体分成两部分，并找出同一个数的不同分解方式。,
要认识到部分可以改变而整体保持不变，,
确定整体中缺失的部分和已知部分，,
在脑海中估算隐藏的数量，,
在材料、数量图像、数字三元组和符号表示法之间切换，,
要理解加法是合并，减法是求一部分，,
将交换任务和逆任务视为一类相关的任务，
在三场游戏中，越来越自信、越来越流畅地运用已知的数字分解。.

这款应用主要面向小学低年级教育、学前班到小学的过渡阶段以及需要个性化支持的儿童。它也可用于特殊教育学校、融合学习小组、学习治疗或家庭教学。.

教学概念

1. 部分-整体概念作为算术的基础

Das Teile-Ganzes-Konzept bezeichnet die Einsicht, dass eine Menge oder Zahl auf verschiedene Weise in Teile zerlegt und aus diesen Teilen wieder zusammengesetzt werden kann. Dabei bleibt das Ganze erhalten, solange lediglich seine Aufteilung verändert wird. So ist 7 das Ganze; 5 und 2 sind Teile davon. Ebenso sind 4 und 3 Teile desselben Ganzen.

Diese Einsicht ist für ein relationales Zahlverständnis zentral. Zahlen werden nicht nur als aufeinanderfolgende Positionen – „sechs, sieben, acht“ – verstanden, sondern als miteinander verbundene Größen. Das Teile-Ganzes-Konzept bildet eine wesentliche Grundlage für Zahlbegriff, Addition, Subtraktion und spätere Rechenstrategien (Lenz und Wittmann 2023).

应用内实现： Punkte auf einem Zehnerstreifen zeigen stets die Menge ein Ganzes, die durch den roten Trennstrich in zwei sichtbare Teile gegliedert wird. Der Strich kann verschoben werden, ohne dass Plättchen hinzukommen oder verschwinden. So wird die Invarianz des Ganzen unmittelbar erfahrbar: Ein Teil wird um eins größer, während der andere um eins kleiner wird.

2. 结构化的数量记录，而不是僵化的计数。

Größere Anzahlen lassen sich sicherer erfassen, wenn sie in überschaubare Teilmengen gegliedert sind. Der Zehnerstreifen nutzt deshalb die 五的力量: Nach dem fünften Platz ist die Struktur deutlich markiert. Acht kann so als „fünf und drei“ oder als „zwei weniger als zehn“ gesehen werden. Die einzelnen Plättchen bleiben sichtbar, sollen aber zunehmend nicht mehr einzeln abgezählt werden.

Bei richtigen Lösungen hebt die App passende Fünfer- oder Zehnerbeziehungen visuell hervor und benennt sie sprachlich. Bei Fehlern zählt sie größere Mengen bewusst nicht einfach vor. Stattdessen pulsiert die Menge als Gruppe und die Aufmerksamkeit wird auf die Struktur gelenkt. Nur bei sehr kleinen Anzahlen, für die ein Fünfer- oder Zehneranker wenig hilfreich wäre, wird punktweise unterstützt. Diese Gestaltung greift die mathematikdidaktische Forderung auf, Mengen strukturiert wahrzunehmen und Zahlbeziehungen für die Ablösung vom zählenden Rechnen zu nutzen. Sie verhindert das Zählen nicht technisch – das wäre weder möglich noch sinnvoll –, macht aber wiederholt andere, langfristig tragfähigere Sichtweisen zugänglich.

3. Handeln, Bild, Sprache und Symbol verknüpfen

Das Verschieben eines Trennstrichs allein führt noch nicht automatisch zu einem mathematischen Verständnis. Entscheidend ist, dass das Kind die Handlung mit dem Mengenbild, den beteiligten Zahlen und einer passenden sprachlichen Beziehung verknüpft. Deshalb verwendet die App konsequent Formulierungen wie:

„七可以分解成三和四。“
„三加四等于七。“
„七减四等于三。“

Das Ganze ist durchgängig blau, die Teile sind rot gekennzeichnet. Dieselbe Rollenzuordnung erscheint am Zehnerstreifen, im Zahlentrio, im Zahlenhaus und in den Aufgabenfamilien. Die Farbe soll nicht als Merkschema an die Stelle des Denkens treten, sondern die Aufmerksamkeit auf die mathematische Rolle einer Zahl lenken: Ist sie in
这种情况，是指全部情况还是其中一部分？

Die verschiedenen Übungen verlangen gezielt Darstellungswechsel: vom sichtbaren Streifen zu den Teilzahlen, vom Zahlentrio zum Material, vom verdeckten Teil zur Ergänzung und schließlich vom strukturierten Bild zur Gleichung.

4. 找出所有分解，对它们进行排序，并描述它们之间的关系。

在练习中 „分化人群“ suchen Kinder nicht nur irgendeine Zerlegung, sondern alle Zerlegungen einer gewählten Zahl. Gefundene Zerlegungen werden geordnet in einem Zahlenhaus gesammelt. Dadurch kann aus dem Probieren ein systematisches Vorgehen entstehen. Das systematische Finden und Ordnen ist wichtig, weil Kinder dadurch Beziehungen zwischen den Zerlegungen erkennen können. Die App stellt dafür eine dynamische Umgebung bereit; das Beschreiben und Begründen im Unterrichtsgespräch bleibt Aufgabe der Kinder und der Lehrkraft.

可以在教师区域启用或禁用零分解。
激活后，可以看到„0 和 7“也代表了 7 的一种可能分解形式。
是。.

5. 加法和减法之间的关系

该应用程序基于部分与整体的概念引入了加号和减号。当
再加上 两部分组装成一个整体。外带
整体的另一部分正在寻找。.

在练习中 „进进出出“ 孩子最初添加了很多，
然后它又把那部分完全移除。被移除的瓷砖
它们不会消失得无影无踪，而是像苍白的„幽灵瓷砖“一样留存下来。“
这一点显而易见。原本的整体、被移除的部分以及剩余的部分都可以同时被重建。通过这些操作，加法和减法之间的逆关系变得具体而清晰可见。.

练习 „任务族“ 然后将反汇编与
相关方程：

3 + 4 = 7 4 + 3 = 7
7 − 4 = 3 7 − 3 = 4

Jede gelöste Zeile wird am Material nachvollzogen. Bei Minusaufgaben steht das Ganze immer vorn. Dadurch soll die Aufgabenfamilie nicht zu einem bloßen Umstellen dreier Ziffern werden, sondern in der gemeinsamen Teil-Ganzes-Beziehung verankert bleiben.

6. 以理解为导向的反馈

错误的答案不仅仅会被标记为„错误“。该应用程序还会提醒用户注意这个问题。
zurück auf das Material: Eine relevante Teilmenge pulsiert, ein fehlender Bereich wird sichtbar oder eine Fünfer-/Zehnerbeziehung wird hervorgehoben. Die Lösung wird dabei nicht vorschnell genannt. Das Kind kann weiterdenken und erneut handeln.

Für die Lernstandsübersicht zählt nur der erste Versuch einer Aufgabe. Danach wird die Aufgabe dennoch bis zur richtigen Lösung weitergeführt. So erhält die Lehrkraft einen vorsichtigen Hinweis darauf, was bereits selbstständig gelingt, ohne dass Fehler dem Kind den Zugang zum erfolgreichen Abschluss versperren. Die Übersicht ist eine förderorientierte Beobachtungshilfe, aber kein standardisierter Test und keine Grundlage für Benotung.

7. 只有在理解之后才能实现自动化。

Die Spiele wie „《恋爱中的数字》“, „建造房屋“ 和 „家庭泡泡“ 这些游戏旨在巩固之前理解的分解概念和问题类型。数字和结构化的数量图像交替出现；玩家需要找到匹配的元素，并将它们添加到相应的问题类型中。只有当孩子能够运用材料解释相关的分解概念后，才能使用这些游戏。速度和分数可以提升孩子的自信心和流畅度，但它们并不能取代理解。因此，游戏结果特意不纳入练习的能力评估体系中。.

训练区域概览

学习重点	合适的练习	中心问题
数量已确定并记录	Lege die Menge · Finde die Menge · Blitzblick · Feld und Legen	„如何在不逐个计数的情况下看到总数？“
更改数量	添加数量 · 添加后再移除	„增加了什么？当同一部分被再次移除后，还剩下什么？“
通过动作检查拆卸过程	Teile die Menge · Teile und finde die Zahlen · Verschieben und Vorhersagen · Zerlege in drei Teile	„In welche zwei Teile ist das Ganze zerlegt? Wie findest du alle Möglichkeiten? Wie verändern sich die Teile, wenn ich den Strich verändere“
确定部分和整体	整体和部分 · 隐藏了多少部分？ · 快速查看各部分	„哪些部分是已知的？哪些部分是缺失的？整体是什么？“
内化想法	分解数字	„你能先在脑子里确定缺失的部分，然后再在试卷上核对一下吗？“
了解运营关系	任务系列	„这三个数字可以表示成哪些加减法题？“
自由探索	实验环境	„当这条线移动时，哪些方面会发生变化，哪些方面保持不变？“
整合并自动化	Verliebte Zahlen · Häuser bauen · Familien-Blasen · Treppenhaus · Zahlen-Waage · Wackelhaus · Paare-Finder · Bushaltestelle	„您目前能够自信地识别出哪些分解和任务族？“

教学指导原则

首次使用前

Die App sollte nicht ohne gemeinsame inhaltliche Einführung als beliebiges Lernspiel gestartet werden. Lassen Sie zunächst an realem Material und in Alltagssprache erkunden, was „zerlegen“ bedeutet: Eine Tafel Schokolade kann in Teile zerlegt werden; sechs Plättchen können in vier und zwei Plättchen zerlegt werden. Wichtig ist die sprachliche Begleitung wie:

„六是整体。四和二是整体的一部分。它们加在一起又构成了六。“

Nutzen Sie den Zehnerstreifen und seine Fünfermarkierung gezielt mit der angebotenen Struktur. Lassen Sie Kinder beschreiben, woran sie eine Menge schnell erkennen. Hierfür eignen sich hier ebenfalls Blitzblickübungen und ein Stift als Zerlegungsstrich, der verschoben werden kann.

对话开场白

合适的问题包括：

„整体是什么？各个部分又是什么？“
„你是怎么这么快就看到人群的？“
„你觉得这五个人在哪里？还会增加多少人？“
„如果将这条线移动一个位置，左边部分会发生什么变化？“
„哪些方面会改变？哪些方面会保持不变？“
„你们都找到所有的解剖图了吗？你怎么能确定呢？“
„哪种分解是该分解的交换分解？“
„哪个加法题与图片相符？哪个减法题与图片相符？“
„为什么减法题中整数一定要放在前面？“
„在查看试纸之前，你能预测出答案吗？“

Entscheidend ist, dass Kinder nicht nur Ergebnisse nennen, sondern Beziehungen beschreiben und begründen. Die Sprachausgabe der App bietet dafür ein Sprachmodell. Das mathematische Gespräch mit anderen Kindern oder der Lehrkraft kann sie jedoch nicht ersetzen.

教师可以观察到什么

观察	可能的解释和下一步行动
孩子逐个数瓷砖。.	重点关注五部分结构：„先给我展示这五部分。你还看到了什么？“
异位分解被解释为一个新的整体。.	Invarianz thematisieren und das Ganze vor und nach dem Verschieben vergleichen: „Was hat sich verändert? Was ist gleich geblieben?“
分解过程是无序重复进行的。.	Zerlegungen, auch auf Papier, dokumentieren und danach die Aufgabe geben: „Ordne die gefundenen Zerlegungen sinnvoll? Wie hast du geordnet?“ Evtl. auch bereits eine Ordnung weiterführen oder Ergänzen lassen. Veränderungen versprachlichen.
孩子只有完整地复述一遍才能找到缺失的部分。.	Bekannten Teil markieren und vom Fünfer- oder Zehneranker aus ergänzen lassen. Relationen nutzen (eins mehr, eins weniger, Tauschbeziehungen)
3 + 4 和 4 + 3 被视为完全独立的两个问题。.	比较同一条纸带上的两个脉冲序列，并描述它们的交换关系。.
如果是负号，则部分数字会随机交换。.	明确角色：整体位于最前面；被移除的部分和剩余的部分相互补充，共同构成整体。.
符号任务可以完成，但合适的表征却无法完成。.	回到数字三元组，换成十位数的条形；用这些材料演示这个等式。.

Die kindbezogene Lernstandsübersicht der App zeigt für jede Zahl, welche Bereiche noch nicht, bereits teilweise oder wiederholt sicher bearbeitet wurden. Sie eignet sich zur Planung weiterer Lernangebote durch die Lehrkraft und als Rückmeldung über den Lernstand. Einzelne Fehlversuche, Zeitwerte oder farbige Anzeigen sollten jedoch nie isoliert interpretiert werden; aussagekräftig werden sie erst zusammen mit der Beobachtung von Handlungen und Erklärungen.

理论和实证基础

该教学理念主要基于以下研究结果：

数字分解揭示了数字之间的关系。. Das Teile-Ganzes-Konzept umfasst die Einsicht, dass eine Zahl verschieden zerlegt und aus ihren Teilen wieder zusammengesetzt werden kann. Es bildet eine Grundlage für die Deutung von Addition, Subtraktion und operativen Aufgabenbeziehungen
(Lenz & Wittmann，2023).
结构化数量图支持非计数方法。. Fünfer- und Zehnerstrukturen ermöglichen es, größere Mengen als gegliederte Einheiten wahrzunehmen. Mahiko fasst die Bedeutung verstandener Zerlegungen bis 10 für das spätere Rechnen über den Zehner zusammen und warnt zugleich davor, zu früh von der Materialhandlung zur bloßen Additionsübung überzugehen
(Mahiko/DZLM).
行动、秩序和语言密不可分。. PIKAS empfiehlt, Zerlegungen mit unterschiedlichem Material durchzuführen, verschiedene Möglichkeiten zu ordnen
并用语言来伴随这些行动（皮卡丘).
干预研究报告显示，有针对性的部分整体支持能够产生积极的学习效果。. In einer Kindergartenstudie zeigte ein explizites Teil-Teil-Ganzes-Curriculum größere Lernzuwächse als ein vorwiegend auf Zählen und Beziffern gerichtetes Angebot (费舍尔，1990). Eine weitere Studie fand nach einer Förderung mit sichtbar gemachten Zahlbeziehungen bessere Additions- und
减法运算（Kullberg等人，2020在一项实验研究中，促进分解策略可提高求解率，使策略更加灵活，并减少计数频率（Cheng，2012).

Diese Befunde begründen die Auswahl der mathematischen Inhalte und didaktischen Prinzipien. Sie sind jedoch 目前尚无证据表明该应用程序本身有效。. Welche Lernwirkungen die konkrete digitale Lernumgebung unter schulischen Bedingungen erzielt, wird in einer begleitenden Studie mit Vor-, Nach- und Follow-up-Erhebung untersucht. Bei Interesse an einer Teilnahme gerne melden bei christian.urff@ph-weingarten.de

应用程序在课堂中的作用

该应用程序 拆解并不能代替现实世界的行动或数学讨论。. Die besondere Stärke der App liegt darin, mathematische Beziehungen dynamisch und konsistent sichtbar zu machen, Aufgaben gezielt zu variieren, sprachliche Modelle anzubieten und individuelle Übungswege zu ermöglichen. Der größte didaktische Nutzen entsteht, wenn die digitale Tätigkeit mit Legen, Zeichnen, Sprechen, Begründen und gemeinsamem Reflektieren verbunden wird. Die App eignet sich daher besonders …

作为引入数字分解的引导式学习环境，,
对于短期、规律的锻炼阶段，,
用于伙伴合作和数学讨论,
zur gezielten Förderung bei Schwierigkeiten mit Zahlbeziehungen oder zählendem Rechnen und
用于确保和自动化已知的拆解过程。.

文献及其他资料

PIKAS包含：基础任务和高级任务„分解数字“

程志军（2012）。. 教幼儿运用分解策略解决更多问题：一项实验研究。. 《数学行为杂志》,
31(1), 29–47。. DOI

Fischer, FE (1990)。. 一套用于幼儿园数字教学的部分-部分-整体课程。. 数学教育研究杂志，21(3)，207-215。.
DOI

格斯特，H.-D。＆舒尔茨，R.（2004）。. 早期教育中数学概念习得的困难。.
全文

Kullberg, A.、Björklund, C.、Brkovic, I. 和 Runesson Kempe, U. (2020)。. 通过手指图案将前十个数字及其关系可视化，可以有效帮助学龄前儿童学习加减法。. 数学教育研究,
103, 157–172。. DOI

Lenz, K. & Wittmann, G. (2023). 在早期数学教学中培养整体与部分的概念：一年级教科书能提供哪些学习机会？ 数学教学杂志。.
DOI

Mahiko/DZLM：数字分解——基础知识

PIKAS：数字分解

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