urff.app

是一样的

以互动方式探索关系符号

一个以关系符号为重点的小学学习和实验环境 =, <和 >.

直接链接： https://waage.urff.app

该网络应用程序 是一样的 这款应用模拟虚拟天平，让孩子们通过动手操作来比较数量、数字和表达式。计数器通过点击或轻触（支持多点触控同时点击多个计数器）生成，放置在天平两侧的托盘中，堆叠起来，自动捆扎成十个一组的计数器条，并实时显示为等式或不等式。该应用在动手操作、图标式视觉呈现（天平上的点）和符号表示之间交替进行。=, <, > （加上数字和表达式）是同步进行的。每个元素都可以被覆盖，从而允许任意给定-求解问题语句。.

该应用的设计宗旨是用户友好：无需登录，不收集数据，无广告。配置信息可通过链接/二维码轻松分享。.

孩子们可以用音阶做什么：

  • 比较数量。. 将盘子分别放入左右两侧的碗中。秤会立即显示哪一侧盛放的更多。.
  • 恢复平衡。. 通过添加、移除或重新分配，有意识地体验和实验等号的含义。我需要添加多少才能使天平保持平衡？
  • 每边用两个碗操作。. 期限结构，例如 5 + 3 直接构建它并与其他术语进行比较。.
  • 使用负壳层。. 例如，减法关系 9-4 物质和符号同时呈现。被移除的数量用负号表示。.
  • 堆叠和捆绑。. 在堆叠模式下，图块排列成行；每 10 个（或 5 个）图块会自动动画形成一个由 10 个图块组成的杆（如果需要，可以在设置中更改）。
  • 掩饰。. 拉上遮挡物，遮住单个碗或数字，以便进行猜测，稍后再进行核对。.
  • 分裂。. 每个配置都可以以简短链接或二维码的形式分享给学习者。.

任务示例/任务思路：

  • 找出五个大于 8 的数字。.
  • 在左边画 3 个点，右边画 5 个点。你需要增加或减少多少个点才能使天平平衡？
  • 在刻度线上表示等式„3 + 4 = 7„，然后再表示“7 = 3 + 4”。比较这两个等式。为什么等式两边可以互换？
  • 双方点数都翻倍。什么时候天平保持平衡，什么时候天平不再平衡？
  • 一边有12个点，另一边有15个点。你能自己把天平平衡吗？ 重新分配 如何达到平衡？请解释。.
  • 一边有8个点。另一边有两个碗：一个碗里有5个点，另一个是空的。要使点数与点数平衡，空碗里必须放多少个点？
  • 判断题：„如果我在天平两边都加上相同的数字，天平仍然保持平衡。“请解释原因。.

应用程序本身提供了更丰富的示例任务集（信息部分 → „示例任务“）。.

教学背景

将等号的操作解释视为一个问题

自 Behr、Erlwanger 和 Nichols (1980) 进行临床访谈以来，经验已经充分证实，小学生主要将等号视为符号。 行动号召 也就是说，将其解释为执行某项操作并记录结果的请求。形如 的等式 3 + 4 = ☐ 处理起来毫不费力，而诸如此类的任务则不然。 ☐ = 3 + 4, 3 + 4 = 5 + ☐ 或者 5 = 5 经常被判定为„错误“或„不允许“（Behr等人，1980；Falkner、Levi和Carpenter，1999；Knuth、Stephens、McNeil和Alibali，2006）。Falkner等人（1999）报告称，只有大约四分之一的六年级学生完成了这项任务。 8 + 4 = ☐ + 5 正确解答。其中很大一部分要么是 12 或者 17 一、这两种解决方案都是纯粹操作性解释的典型特征。.

这种现象已在各种语言和学校系统中得到记录：德语学习者有 Borromeo Ferri 和 Blum、Hagemeister (2013) 和 Unteregge (2017) 的记录；英语国家有 Carpenter、Franke 和 Levi (2003) 以及 Prestwood (2017) 的记录；其他情况下有 Oksuz (2008)、Wahyuni 和 Herman (2019) 以及 Farfan 和 Schoen (2021) 的记录。.

Knuth等人（2006）的研究表明，对等号的理解是…… 关系或等价符号 与解决简单方程的成功率显著相关：学习者 = 进行关系性解释，解决诸如此类的任务 4米 + 10 = 70 在中学阶段，他们在操作性解释方面比同龄人表现得明显更好。问题是，他们是如何做到这一点的？ = 因此，理解这一点是实现从算术到代数过渡的关键杠杆（Kieran，1981；Sfard，1991）。.

等号的操作和关系解释

Winter (1982) 已经指出，这两种视角——操作性解释（„= 意思是：计算“）和关系解释（„= 这意味着：“双方价值相等”——这种观念应该从小学阶段就确立。博罗梅奥·费里、布鲁姆以及翁特雷格都强调了这一点。 片面 过分强调任务结果的解释会强化误解，并给中学代数教学带来障碍。Sfard (1991) 在其理论中探讨了这种联系。 过程-对象二元性 数学概念是有理论基础的：学习者必须理解诸如“数学概念”之类的术语。 3 + 4 两者兼具 过程 （发票）以及 目的 （一个与其他对象相关的数字）。等号是两种解释之间的接口。.

因此，课程计划的关键在于：任务形式应从小学开始系统地兼顾两种解释，以便及早纠正误解。这包括变量在左侧的等式（☐ = a + b），没有运算符号的方程（5 = 5），术语比较（3 + 4 = 5 + 2）尤其是 证明等价性 无论计算结果如何。.

以天平作为视觉辅助工具

天平是德语和英语国家中最广泛使用的具身图像教具，用于发展等号的关系意义（Wittmann，1981；Mann，2014；Dooley & Kirwan，2018）。它具有两个关键的教学优势：

  1. 对称性显而易见。. 平衡的天平一眼就能看出是对称的；不平衡的天平则会通过倾斜来体现差异。此外，关系符号<、>和=可以直接从天平的横梁位置推导而来，因为它们总是向相应的方向倾斜，或者在相等时保持水平。.
  2. 运营方面的改变是完全可以理解的。. 两边同时增加或减少等量即可保持平衡。这种体验是行动导向的先决条件…… 等价变换, 随后在中学教育中得到正式确立（Carpenter、Franke 和 Levi，2003；Prediger，2009）。.

Mann (2014) 在此语境下将等号描述为„一种平衡行为“，这一比喻在当前应用程序的数字化实现中得到了切实体现：当数值不匹配时，横杆会倾斜；当达到平衡时，横杆会实时水平复位。因此，它们非常适合作为实验环境，因为可以根据操作原理直接体验操作及其效果。.

了解其重要性及捆绑销售

将十块（或五块）瓷砖自动组合成十根杆状物，这一可选功能采用了迪恩斯多系统积木的经典方案（Dienes，1960），而无需改变材料。这里有两点在教学上至关重要：

  • 表征的连续性。. 这根杆子仍然清晰地由十块瓷砖组成。学习者不会忽略一比一的比例。这与 Krauthausen 和 Scherer (2007) 的建议相符，即设计捆绑材料时，应确保捆绑关系在任何时候都可逆。.
  • 动画连接和解决。. 当积木到达第十个单位时，它们会明显地滑入一列，并由一条细微的边界连接起来。移除一个单位后，连接就会断开。这种可逆性有助于理解捆绑和解捆绑是互补的操作，正如帕德伯格和本茨（2021）所强调的，这是理解位值的前提。.

5 个或 10 个一组的自由选择，可以与„五格框架“和„十格框架“材料（Van de Walle、Karp 和 Bay-Williams，2019）的概念联系起来，该材料被用作替代数量感知和位值表征之间的桥梁。.

多种表征及其之间的切换

该应用程序同时以三种表示形式显示体重秤的每种状态：

  • 极具标志性： 作为物理反应尺度上的一个盘子，,
  • 象征性的： 作为图像上的等式或不等式，,
  • 语言-语言： 可按要求以语音方式表达（„三比四小“），也可选择通过语音输出。.

Bruner (1966) 的经典 EIS 原则（具身认知-图像认知-符号认知）和 Ainsworth (2006) 的 DeFT 框架（多种外部表征的设计、功能和任务）提供理论依据，说明为什么 同时 和 持续的 不同表征方式的出现有助于概念发展：学习者可以主动探索表征方式之间的转换，而不是被动地观察。使用遮挡功能隐藏单个表征方式，使该应用程序成为一个非常有用的工具…… 给定-寻求任务 按照 Selter 和 Spiegel (1997) 的意义上来说。.

概念设计决策

元素教学原理
每边一到两个碗允许使用如下的期限结构 (a + b) = c 或者 （a + b）= （c + d） 由此可进行关系比较
可选的负壳层将减法理解为„拿走“，其运算方式与加法相同；总数仍然可见，但只有秤上剩余的数额才„算数“。.
用于碗和数字的卷帘结构化猜想学习，减少显示以促进心智运作
带比较线的堆叠模式两个集合之间保持顺序的双射的标志性先驱，符号源自上下两条横线的视觉表示。.
限制瓷砖数量按数字范围区分（一年级：10-20；二年级：100；三年级及以上：至500）
通过链接/二维码分享教师与学习者之间低门槛的任务迁移，也适用于远程学习
无需注册，不跟踪数据，仅收集本地数据在学校环境中实现符合 GDPR 标准的使用，无需额外的组织工作

推荐用途

这款应用程序特别适合小学和初中低年级学生使用，尤其适用于那些在理解等号关系方面存在困难的学生（Prediger，2009）。它并非取代实体学习材料，而是对其进行补充：根据螺旋式学习原则（Bruner，1966；Wittmann，1981），这种探索机会可以反复使用并不断积累。该网页应用程序提供了使用相同学习结构的可能性。 之间 以物理材料无法做到的方式重复、改变和分割物质相，因为这取决于物理条件。.

文学

Ainsworth, S. (2006). DeFT：考虑具有多种表征的学习的概念框架。. 学习与教学, ，16(3)，183–198。.

Behr, M.、Erlwanger, S. 和 Nichols, E. (1980)。儿童如何看待等号。. 数学教学, ，92，13-15。.

Borromeo Ferri, R., & Blum, W. (2012). 小学和中学衔接教育中学习者对等号用法的理解。. 2012年数学教育贡献, ，127–130。.

Bruner, JS (1966)。. 迈向教学理论. 哈佛大学出版社贝尔纳普出版社。.

Carpenter, T.P.、Franke, M.L. 和 Levi, L. (2003)。. 数学思维：小学算术与代数的融合. 海涅曼。.

Dienes, ZP (1960)。. 构建数学. 哈钦森教育集团。.

Dooley, T. 和 Kirwan, A. (2018)。促进幼儿对‚等号‘的理解。. 幼儿数学教育, ，特刊，IPC。.

Falkner, KP, Levi, L., & Carpenter, T.P. (1999). 儿童对等式的理解：代数的基础。. 教孩子数学, ，6(4)，232–236。.

Farfan, G. 和 Schoen, R.C. (2021)。小学生对等号的理解：佛罗里达州的学生是否优于同龄人？ 数学中的维度, ，41(1), 27–38。.

Hagemeister, V. (2013). 小学等号问题。. 蒙大拿大学, ，66(7), 393–398。.

Kieran, C. (1981). 与等号相关的概念。. 数学教育研究, ，12(3)，317–326。.

Knuth, EJ, Stephens, AC, McNeil, NM, & Alibali, MW (2006). 理解等号重要吗？来自解方程的证据。. 数学教育研究杂志, ，37(4), 297–312。.

Krauthausen, G. 和 Scherer, P. (2007)。. 数学教学法导论 （第三版）。 Spektrum Akademischer Verlag。.

Mann, R.L. (2004). 平衡之道：等号背后的真相。. 教孩子数学, ，11(3)，65-69。.

Oksuz, C. (2008). 儿童对平等和等号的理解。. 国际数学教学与学习期刊, ， 八月。.

帕德伯格，F. 和本茨，C. (2021)。. 算术教学法 （第5版）。施普林格光谱出版社。.

Prediger, S. (2009). „……不，你不能那样想！“——教师培训生在迈向学科教学诊断能力的道路上。载于 B. Barzel 等人（编），, 代数思维。丽莎·赫芬德尔-赫贝克尔节文 （第 89-99 页）。弗朗茨贝克。.

Prestwood, SP (2017)。. 儿童对等号的理解 [未发表的手稿]。佐治亚学院和州立大学。.

Selter, C. 和 Spiegel, H. (1997)。. 儿童如何计数. 魔术贴。.

Sfard, A. (1991). 论数学概念的二元性：对过程和对象作为同一枚硬币两面的反思。. 数学教育研究, ，22(1)，1-36。.

Unteregge, S. (2017). 小学算术教学中的代数等式关系。. 2017年数学教育贡献, ，1009–1012 年。.

Van de Walle, JA、Karp, KS 和 Bay-Williams, JM (2019)。. 小学和初中数学：循序渐进教学 （第10版）。培生集团。.

Wahyuni, R., & Herman, T. (2019). 学生对等号的理解：以郊区学校为例。. 第一届国际教育科学会议论文集, ，351–355。.

Winter, H. (1982). 小学数学教学中的等号。. 数学教学, ，5(4), 185–211。.

Wittmann, EC (1981)。. 数学教学的基本问题 （第6版）。Vieweg。.