Die Relationszeichen interaktiv entdecken
Eine Lern- und Experimentierumgebung für die Grundschule rund um die Relationszeichen
=,<und>.Direktlink: https://waage.urff.app
Die Webapp istgleich simuliert eine virtuelle Balkenwaage, mit der Kinder Mengen, Zahlen und Terme handelnd vergleichen. Plättchen werden per Tipp oder Klick (per Multitouch gleichzeitig mehrere) erzeugt, in Schalen auf beide Seiten der Waage gelegt, gestapelt, automatisch zu Zehnerstangen gebündelt und in Echtzeit als Gleichung oder Ungleichung dargestellt. Der Wechsel zwischen enaktiver Tätigkeit, ikonischer Bildebene (Punkte auf der Waage) und symbolischer Notation (=, <, > plus Zahlen und Terme) findet synchron statt. Jedes Element kann auch abgedeckt werden und dadurch beliebige Gegeben – Gesucht – Aufgabenstellungen gestellt werden.
Die App ist bewusst niedrigschwellig gestaltet: ohne Login, ohne Datenerfassung, ohne Werbung. Konfigurationen lassen sich leicht per Link / QR-Code teilen.
Was Kinder mit der Waage tun können:
- Mengen vergleichen. Plättchen in die linke und rechte Schale legen. Die Waage zeigt sofort, welche Seite mehr enthält.
- Gleichgewicht herstellen. Durch Hinzufügen, Entfernen oder Umverteilen das Gleichheitszeichen bewusst erfahren und damit experimentieren. Wie viel muss ich dazulegen, dass die Waage ins Gleichgewicht kommt?
- Mit zwei Schalen je Seite arbeiten. Termstrukturen wie
5 + 3direkt aufbauen und mit anderen Termen vergleichen. - Minusschalen verwenden. Subtraktive Beziehungen wie
9 − 4materiell und symbolisch parallel darstellen. Weggenommene Mengen werden in Minusschlen aufgefangen. - Stapeln und Bündeln. Im Stapelmodus werden Plättchen aufgereiht; je 10 (oder 5) Plättchen werden automatisch animiert zu einer Zehnerstange gebündelt, falls gewünscht (in den Einstellungen veränderbar)
- Verdecken. Rolläden über einzelne Schalen oder Zahlen ziehen, um Vermutungen auzustellen und später zu überprüfen.
- Teilen. Jede Konfiguration lässt sich als kompakter Link oder QR-Code an Lernende weitergeben.
Aufgabenbeispiele / Aufgabenideen:
- Suche fünf Beispiele für Zahlen, die größer als 8 sind.
- Lege links 3 Punkte und rechts 5 Punkte. Wie viele musst du dazulegen oder entfernen, damit die Waage im Gleichgewicht ist?
- Stelle die Aufgabe „3 + 4 = 7″ auf der Waage dar — und dann „7 = 3 + 4″. Vergleiche beide. Warum kann man die Seiten vertauschen?
- Verdoppele die Anzahl der Punkte auf beiden Seiten. Wann bleibt die Waage im Gleichgewicht, wann nicht?
- Auf der einen Seite sind 12, auf der anderen 15 Punkte. Kannst du die Waage allein durch Umverteilen ins Gleichgewicht bringen? Begründe.
- Auf der einen Seite liegen 8 Punkte. Auf der anderen Seite sind zwei Schalen: in einer 5 Punkte, die andere ist leer. Wie viele Punkte müssen in die leere Schale, damit Gleichgewicht herrscht?
- Richtig oder falsch: „Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn ich auf jeder Seite dieselbe Anzahl dazufüge.“ Begründe.
Eine umfangreichere Sammlung von Aufgabenbeispielen ist in der App selbst hinterlegt (Info-Bereich → „Aufgabenbeispiele“).
Didaktischer Hintergrund
Operationale Deutung des Gleichheitszeichens als Problem
Seit den klinischen Interviews von Behr, Erlwanger und Nichols (1980) ist empirisch gut gesichert, dass Grundschulkinder das Gleichheitszeichen überwiegend als Handlungsaufforderung interpretieren, also als Aufforderung, eine Operation auszuführen und das Ergebnis aufzuschreiben. Gleichungen der Form 3 + 4 = ☐ werden mühelos bearbeitet, während Aufgaben wie ☐ = 3 + 4, 3 + 4 = 5 + ☐ oder 5 = 5 häufig als „falsch“ oder „nicht erlaubt“ abgelehnt werden (Behr et al., 1980; Falkner, Levi & Carpenter, 1999; Knuth, Stephens, McNeil & Alibali, 2006). Falkner et al. (1999) berichten, dass nur etwa ein Viertel der Sechstklässler die Aufgabe 8 + 4 = ☐ + 5 korrekt löst. Ein bedeutender Anteil trägt entweder 12 oder 17 ein. Beide Lösungen sind typische Indikatoren einer rein operationalen Deutung.
Dieses Phänomen ist sprach- und schulsystemübergreifend dokumentiert: für deutschsprachige Lernende durch Borromeo Ferri und Blum, durch Hagemeister (2013) sowie durch Unteregge (2017); im englischsprachigen Raum durch Carpenter, Franke und Levi (2003) und Prestwood (2017); in weiteren Kontexten durch Oksuz (2008), Wahyuni und Herman (2019) sowie Farfan und Schoen (2021).
Knuth et al. (2006) konnten zeigen, dass das Verständnis des Gleichheitszeichens als Beziehungs- bzw. Äquivalenzzeichen signifikant mit dem Erfolg beim Lösen einfacher Gleichungen korreliert: Lernende, die = relational deuten, lösen Aufgaben wie 4m + 10 = 70 in der Sekundarstufe deutlich erfolgreicher als Gleichaltrige mit operationaler Deutung. Die Frage, wie = verstanden wird, ist damit ein zentraler Hebel für den Übergang von der Arithmetik zur Algebra (Kieran, 1981; Sfard, 1991).
Operationale und relationale Deutung des Gleichheitszeichens
Bereits Winter (1982) hat darauf hingewiesen, dass beide Sichtweisen – die operationale Deutung („= heißt: rechne aus“) und die relationale Deutung („= heißt: beide Seiten sind gleichwertig“) – bereits in der Grundschule angelegt werden sollten. Borromeo Ferri und Blum sowie Unteregge betonen, dass das einseitige Festlegen auf eine Aufgabe-Ergebnis-Deutung Fehlvorstellungen verfestigt und Hürden im Algebraunterricht der Sekundarstufe begründet. Sfard (1991) hat diesen Zusammenhang in ihrer Theorie der Process–Object Duality mathematischer Begriffe theoretisch untermauert: Lernende müssen einen Term wie 3 + 4 sowohl als Prozess (eine Rechnung) als auch als Objekt (eine Zahl, die mit anderen Objekten in Beziehung steht) verstehen. Das Gleichheitszeichen ist die Schnittstelle zwischen beiden Lesarten.
Zentrale Konsequenz für die Unterrichtsgestaltung ist also: Aufgabenformate sollten systematisch beide Deutungen ansprechen, bereits in der Grundschule um Fehlvorstellungen frühzeitig zu begegnen. Dazu gehören Gleichungen mit der Variable links (☐ = a + b), Gleichungen ohne Operationszeichen (5 = 5), Termvergleiche (3 + 4 = 5 + 2) und vor allem das Begründen von Gleichwertigkeit unabhängig vom Ausrechnen.
Die Waage als Anschauungsmittel
Die Balkenwaage ist im deutschsprachigen wie im englischsprachigen Raum das verbreitetste enaktiv-ikonische Material zur Erarbeitung der relationalen Bedeutung des Gleichheitszeichens (Wittmann, 1981; Mann, 2014; Dooley & Kirwan, 2018). Sie hat zwei wesentliche didaktische Vorzüge:
- Symmetrie ist sichtbar. Eine Waage im Gleichgewicht ist optisch sofort als symmetrisch erkennbar; eine im Ungleichgewicht zeigt das Mehr/Weniger durch ihre Neigung. Zudem können die Relationszeichen <, > und = direkt aus der Stellung des Balkens abgleitet werden, da sie sich immer in die passende Richtung neigen bzw. bei Gleichheit waagrecht ist.
- Operative Veränderungen sind handelnd nachvollziehbar. Das Hinzufügen oder Entfernen gleicher Mengen auf beiden Seiten erhält das Gleichgewicht. Diese Erfahrung ist die handlungsorientierte Vorform der Äquivalenzumformung, die später in der Sekundarstufe formalisiert wird (Carpenter, Franke & Levi, 2003; Prediger, 2009).
Mann (2014) bezeichnet das Gleichheitszeichen in diesem Kontext als „a balancing act“, also als eine Metapher, die in der digitalen Umsetzung der vorliegenden App buchstäblich umgesetzt wird: Der Balken neigt sich, sobald die Mengen nicht übereinstimmen, und richtet sich beim Herstellen des Gleichgewichts in Echtzeit waagerecht aus. Sie sind deshalb ideal als Experimentierumgebung geeignet, weil Operationen und ihre Auswirkungen direkt erfahrbar werden im Sinne des operativen Prinzips.
Stellenwertverständnis und Bündelung
Die optionale automatische Bündelung von zehn (alternativ fünf) Plättchen zu einer Zehnerstange greift den klassischen Vorschlag der Dienes’schen Mehrsystem-Blöcke (Dienes, 1960) auf, ohne den Wechsel des Materials zu erzwingen. Pädagogisch entscheidend ist hier zweierlei:
- Kontinuität der Repräsentation. Die Stange bleibt sichtbar aus zehn Plättchen zusammengesetzt. Lernende verlieren das Eins-zu-eins-Verhältnis nicht aus den Augen. Dies entspricht der Empfehlung von Krauthausen und Scherer (2007), Bündelungsmaterial so zu gestalten, dass die Bündelungsbeziehung jederzeit revidierbar bleibt.
- Animierte Verbindung und Auflösung. Beim Erreichen der zehnten Einheit gleiten die Plättchen sichtbar in eine Säule und werden mit einer dezenten Umrandung verbunden. Beim Herausziehen einer Einheit zerbricht die Verbindung. Diese Reversibilität unterstützt das Verständnis von Bündeln und Entbündeln als komplementären Operationen, wie es Padberg und Benz (2021) als Voraussetzung für das Stellenwertverständnis betonen.
Die Wahlfreiheit zwischen 5er- und 10er-Bündeln ermöglicht Anschluss an Konzepte des „Five-Frame“- und „Ten-Frame“-Materials (Van de Walle, Karp & Bay-Williams, 2019), das als Brücke zwischen subitisierender Mengenwahrnehmung und Stellenwertdarstellung genutzt wird.
Multiple Repräsentationen und der Wechsel zwischen ihnen
Die App stellt jeden Zustand der Waage simultan in drei Repräsentationsformen dar:
- handelnd-ikonisch: als Plättchen auf einer physikalisch reagierenden Waage,
- symbolisch: als Gleichung bzw. Ungleichung über dem Bild,
- sprachlich-verbal: als ausgesprochener Satz auf Wunsch („Die Drei ist kleiner als die Vier“), wahlweise auch per Sprachausgabe.
Bruners (1966) klassisches EIS-Prinzip (enaktiv–ikonisch–symbolisch) und Ainsworths (2006) DeFT-Rahmen (Design, Functions, Tasks of multiple external representations) liefern die theoretische Begründung dafür, weshalb die gleichzeitige und konsistente Verfügbarkeit verschiedener Repräsentationen den Begriffsaufbau begünstigt: Lernende können Übergänge zwischen den Darstellungen aktiv erkunden, statt sie nur passiv nachzuvollziehen. Die Möglichkeit, einzelne Repräsentationen per Rolladen zu verdecken, macht die App zu einem Werkzeug für Gegeben-Gesucht-Aufgaben im Sinne von Selter und Spiegel (1997).
Konzeptionelle Designentscheidungen
| Element | Didaktische Begründung |
|---|---|
| Eine oder zwei Schalen pro Seite | Erlaubt Termstrukturen wie (a + b) = c oder (a + b) = (c + d) und damit relationale Vergleiche |
| Optionale Minusschalen | Erfahrbarmachung der Subtraktion als „Wegnehmen“ mit demselben Operationsverständnis wie Addition, die Gesamtmenge bleibt sichtbar, es „zählt“ aber nur die Restmenge auf der Waage. |
| Rolläden für Schalen und Zahlen | Strukturiertes Vermutungslernen, Reduktion der Anzeige zur Förderung mentaler Operationen |
| Stapelmodus mit Vergleichslinien | Ikonische Vorform der ordnungserhaltenden Bijektion zwischen zwei Mengen, herleitung der Zeichen aus der visuellen Darstellung der beiden Balken oben und unten. |
| Begrenzung der Plättchenanzahl | Differenzierung nach Zahlraum (Klasse 1: 10–20; Klasse 2: 100; Klasse 3+: bis 500) |
| Teilen per Link/QR-Code | Niedrigschwelliger Aufgabentransport zwischen Lehrkraft und Lernenden, auch im Distanzlernen |
| Keine Anmeldung, keine Tracking-Daten, nur lokale Daten | DSGVO-konformer Einsatz im Schulkontext ohne organisatorischen Mehraufwand |
Einsatzempfehlung
Die App eignet sich besonders für die Grundschule sowie für die Förderung zu Beginn in der Sekundarstufe I, insbesondere bei Schwierigkeiten mit der relationalen Deutung des Gleichheitszeichens (Prediger, 2009). Sie ersetzt nicht physisches Handlungsmaterial, sondern ergänzt es: Im Sinne des Spiralprinzips (Bruner, 1966; Wittmann, 1981) kann immer wieder auf diese Erkundungsmöglichkeit zurückgegriffen und aufgebaut werden. Die Webapp bietet die Möglichkeit, dieselben Strukturen zwischen den Materialphasen zu wiederholen, zu variieren und auf eine Weise zu teilen, die mit physischem Material nicht möglich ist, da sie von physischen Bedingungen abhängig ist.
Literatur
Ainsworth, S. (2006). DeFT: A conceptual framework for considering learning with multiple representations. Learning and Instruction, 16(3), 183–198.
Behr, M., Erlwanger, S., & Nichols, E. (1980). How children view the equals sign. Mathematics Teaching, 92, 13–15.
Borromeo Ferri, R., & Blum, W. (2012). Vorstellungen von Lernenden bei der Verwendung des Gleichheitszeichens an der Schnittstelle von Primar- und Sekundarstufe. Beiträge zum Mathematikunterricht 2012, 127–130.
Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Belknap Press of Harvard University Press.
Carpenter, T. P., Franke, M. L., & Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating arithmetic and algebra in elementary school. Heinemann.
Dienes, Z. P. (1960). Building up mathematics. Hutchinson Educational.
Dooley, T., & Kirwan, A. (2018). Facilitating young children’s understanding of the ‚equal‘ sign. Mathematics Education in the Early Years, Special Issue, IPC.
Falkner, K. P., Levi, L., & Carpenter, T. P. (1999). Children’s understanding of equality: A foundation for algebra. Teaching Children Mathematics, 6(4), 232–236.
Farfan, G., & Schoen, R. C. (2021). Elementary students‘ understanding of the equals symbol: Do Florida students outperform their peers? Dimensions in Mathematics, 41(1), 27–38.
Hagemeister, V. (2013). Grundschulprobleme mit dem Gleichheitszeichen. MNU, 66(7), 393–398.
Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12(3), 317–326.
Knuth, E. J., Stephens, A. C., McNeil, N. M., & Alibali, M. W. (2006). Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations. Journal for Research in Mathematics Education, 37(4), 297–312.
Krauthausen, G., & Scherer, P. (2007). Einführung in die Mathematikdidaktik (3. Aufl.). Spektrum Akademischer Verlag.
Mann, R. L. (2004). Balancing Act: The Truth behind the Equals Sign. Teaching Children Mathematics, 11(3), 65–69.
Oksuz, C. (2008). Children’s understanding of equality and the equal symbol. International Journal for Mathematics Teaching and Learning, August.
Padberg, F., & Benz, C. (2021). Didaktik der Arithmetik (5. Aufl.). Springer Spektrum.
Prediger, S. (2009). „… nee, so darf man das Gleich doch nicht denken!“ — Lehramtsstudierende auf dem Weg zur fachdidaktisch fundierten diagnostischen Kompetenz. In B. Barzel et al. (Hrsg.), Algebraisches Denken. Festschrift für Lisa Hefendehl-Hebeker (S. 89–99). Franzbecker.
Prestwood, S. P. (2017). Children’s understanding of the equal sign [Unveröffentlichtes Manuskript]. Georgia College and State University.
Selter, C., & Spiegel, H. (1997). Wie Kinder rechnen. Klett.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 1–36.
Unteregge, S. (2017). Algebraische Gleichheitsbeziehungen im Kontext des Arithmetikunterrichts der Grundschule. Beiträge zum Mathematikunterricht 2017, 1009–1012.
Van de Walle, J. A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2019). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally (10. Aufl.). Pearson.
Wahyuni, R., & Herman, T. (2019). Students‘ understanding of the equal sign: A case in suburban school. Proceedings of the 1st International Conference on Educational Sciences, 351–355.
Winter, H. (1982). Das Gleichheitszeichen im Mathematikunterricht der Primarstufe. mathematica didactica, 5(4), 185–211.
Wittmann, E. C. (1981). Grundfragen des Mathematikunterrichts (6. Aufl.). Vieweg.