Découvrez les symboles de relation de manière interactive

Un environnement d'apprentissage et d'expérimentation pour l'école primaire axé sur les symboles relationnels =, < et >.

Lien direct : https://waage.urff.app

L'application web Est-ce la même chose ? simule une balance virtuelle, permettant aux enfants de comparer des quantités, des nombres et des expressions par le biais d'activités pratiques. Les jetons sont générés par un simple clic ou un tapotement (plusieurs jetons simultanément grâce au multitouch), placés dans des plateaux de chaque côté de la balance, empilés, automatiquement regroupés en barres de dix et affichés en temps réel sous forme d'équations ou d'inégalités. L'application alterne entre activités pratiques, représentations visuelles iconiques (points sur la balance) et notation symbolique.=, <, > plus Zahlen und Terme) findet synchron statt. Jedes Element kann auch abgedeckt werden, sodass sich beliebige Gegeben-Gesucht-Aufgabenstellungen stellen lassen.

L'application est conçue pour être facile d'utilisation : pas de connexion, pas de collecte de données, pas de publicité. Les configurations peuvent être facilement partagées via un lien ou un code QR.

Ce que les enfants peuvent faire avec la balance :

• Comparer les quantités. Placez les assiettes dans les bols de gauche et de droite. La balance indiquera immédiatement quel côté contient le plus d'assiettes.
• Rétablir l'équilibre. Durch Hinzufügen, Entfernen oder Umverteilen das Gleichheitszeichen bewusst erfahren und damit experimentieren. Wie viel muss ich dazulegen, damit die Waage ins Gleichgewicht kommt?
• Travaillez avec deux bols de chaque côté. Structures de termes telles que 5 + 3 Construisez-le directement et comparez-le avec d'autres termes.
• Utilisez des coquilles négatives. Les relations soustractives telles que 9 − 4 materiell und symbolisch parallel darstellen. Weggenommene Mengen werden in Minusschalen aufgefangen.
• Empilage et regroupement. En mode empilement, les tuiles sont alignées ; toutes les 10 (ou 5) tuiles sont automatiquement animées pour former une tige de dix, si souhaité (peut être modifié dans les paramètres).
• Couvrir. Rollläden über einzelne Schalen oder Zahlen ziehen, um Vermutungen aufzustellen und später zu überprüfen.
• Diviser. Chaque configuration peut être partagée avec les apprenants sous forme de lien compact ou de code QR.

Exemples de tâches / idées de tâches :

• Trouvez cinq exemples de nombres supérieurs à 8.
• Placez 3 points à gauche et 5 points à droite. Combien faut-il en ajouter ou en retirer pour équilibrer la balance ?
• Stelle die Aufgabe „3 + 4 = 7“ auf der Waage dar — und dann „7 = 3 + 4“. Vergleiche beide. Warum kann man die Seiten vertauschen?
• Doublez le nombre de points de chaque côté. Quand la balance reste-t-elle équilibrée, et quand ne l'est-elle plus ?
• Il y a 12 points d'un côté et 15 de l'autre. Parviendrez-vous à équilibrer la balance vous-même ? Redistribuer Rétablir l'équilibre ? Expliquez.
• D'un côté, il y a 8 points. De l'autre côté, il y a deux bols : l'un contient 5 points, l'autre est vide. Combien de points faut-il mettre dans le bol vide pour que l'équilibre soit rétabli ?
• Richtig oder falsch: „Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn ich auf jeder Seite dieselbe Anzahl dazufüge.“ Begründe.

Eine umfangreichere Sammlung von Aufgabenbeispielen ist in der App selbst hinterlegt (Info-Bereich → „Aufgabenbeispiele“).

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Contexte didactique

Interprétation opérationnelle du signe égal comme un problème

Depuis les entretiens cliniques de Behr, Erlwanger et Nichols (1980), il a été empiriquement bien établi que les enfants d’école primaire perçoivent majoritairement le signe égal comme un symbole. Appel à l'action Interpréter, c'est-à-dire comme une demande d'effectuer une opération et d'en noter le résultat. Équations de la forme 3 + 4 = ☐ sont traitées sans effort, tandis que des tâches telles que ☐ = 3 + 4, 3 + 4 = 5 + ☐ ou 5 = 5 häufig als „falsch“ oder „nicht erlaubt“ abgelehnt werden (Behr et al., 1980; Falkner, Levi & Carpenter, 1999; Knuth, Stephens, McNeil & Alibali, 2006). Falkner et al. (1999) berichten, dass nur etwa ein Viertel der Sechstklässler die Aufgabe 8 + 4 = ☐ + 5 résout correctement. Une part importante est soit 12 ou 17 Premièrement, ces deux solutions sont des indicateurs typiques d'une interprétation purement opérationnelle.

Dieses Phänomen ist sprach- und schulsystemübergreifend dokumentiert: für deutschsprachige Lernende durch Borromeo Ferri und Blum (2012), durch Hagemeister (2013) sowie durch Unteregge (2017); im englischsprachigen Raum durch Carpenter, Franke und Levi (2003); in weiteren Kontexten durch Oksuz (2008), Wahyuni und Herman (2019) sowie Farfan und Schoen (2021).

Knuth et al. (2006) ont pu démontrer que la compréhension du signe égal comme Signe de relation ou d'équivalence significativement corrélé à la réussite dans la résolution d'équations simples : les apprenants qui = interpréter de manière relationnelle, résoudre des tâches telles que 4m + 10 = 70 Au collège, ils réussissent nettement mieux que leurs camarades en matière d'interprétation opérationnelle. La question est de savoir comment. = Comprendre cela est donc un levier clé pour la transition de l'arithmétique à l'algèbre (Kieran, 1981 ; Sfard, 1991).

Interprétation opérationnelle et relationnelle du signe égal

Winter (1982) a déjà souligné que les deux perspectives – l’interprétation opérationnelle („= heißt: rechne aus“) und die relationale Deutung („= heißt: beide Seiten sind gleichwertig“) – bereits in der Grundschule angelegt werden sollten. Borromeo Ferri und Blum (2012) sowie Unteregge (2017) betonen, dass das unilatéral Le fait de privilégier une interprétation en termes de résultat renforce les idées fausses et crée des obstacles dans l'enseignement de l'algèbre au secondaire. Sfard (1991) a exploré ce lien dans sa théorie de Dualité processus-objet Les concepts mathématiques reposent sur des fondements théoriques : les apprenants doivent comprendre un terme tel que 3 + 4 à la fois comme processus (une facture) ainsi que objet (un nombre lié à d'autres objets). Le signe égal fait le lien entre les deux interprétations.

Zentrale Konsequenz für die Unterrichtsgestaltung ist also: Aufgabenformate sollten systematisch beide Deutungen ansprechen, bereits in der Grundschule, um Fehlvorstellungen frühzeitig zu begegnen. Dazu gehören Gleichungen mit der Variable links (☐ = a + b), équations sans signes d'opération (5 = 5), Comparaisons de termes (3 + 4 = 5 + 2) et surtout cela Justifier l'équivalence quel que soit le calcul.

Les balances comme aide visuelle

Die Balkenwaage ist im deutschsprachigen wie im englischsprachigen Raum das verbreitetste enaktiv-ikonische Material zur Erarbeitung der relationalen Bedeutung des Gleichheitszeichens (Wittmann, 1981; Mann, 2004; Dooley & Kirwan, 2014). Sie hat zwei wesentliche didaktische Vorzüge:

1. La symétrie est visible. Eine Waage im Gleichgewicht ist optisch sofort als symmetrisch erkennbar; eine im Ungleichgewicht zeigt das Mehr/Weniger durch ihre Neigung. Zudem können die Relationszeichen <, > und = direkt aus der Stellung des Balkens abgeleitet werden, da sich der Balken immer in die passende Richtung neigt bzw. bei Gleichheit waagerecht ist.
2. Les changements opérationnels sont manifestement compréhensibles. L'ajout ou le retrait de quantités égales de part et d'autre permet de maintenir l'équilibre. Cette expérience constitue le prélude pratique à… Transformation équivalente, qui est ensuite formalisée dans l’enseignement secondaire (Carpenter, Franke & Levi, 2003 ; Prediger, 2009).

Mann (2004) bezeichnet das Gleichheitszeichen in diesem Kontext als „a balancing act“, also als eine Metapher, die in der digitalen Umsetzung der vorliegenden App buchstäblich umgesetzt wird: Der Balken neigt sich, sobald die Mengen nicht übereinstimmen, und richtet sich beim Herstellen des Gleichgewichts in Echtzeit waagerecht aus. Waagen sind deshalb ideal als Experimentierumgebung geeignet, weil Operationen und ihre Auswirkungen direkt erfahrbar werden im Sinne des operativen Prinzips.

Comprendre l'importance et le regroupement

Le groupement automatique optionnel de dix (ou cinq) carreaux en une baguette de dix reprend la proposition classique des blocs multisystèmes de Dienes (Dienes, 1960) sans imposer de changement de matériau. Deux éléments sont ici essentiels sur le plan pédagogique :

• Continuité de la représentation. La tige reste visiblement composée de dix tuiles. Les apprenants conservent ainsi le rapport un à un. Ceci correspond à la recommandation de Krauthausen et Scherer (2007) de concevoir les matériaux de regroupement de manière à ce que la relation de regroupement reste réversible à tout moment.
• Connexion et résolution animées. À partir de la dixième unité, les tuiles s'alignent en colonne et sont reliées par une bordure discrète. Lorsqu'une unité est retirée, la liaison se rompt. Cette réversibilité favorise la compréhension du regroupement et du dégroupement comme des opérations complémentaires, comme le soulignent Padberg et Benz (2021) les considérant comme une condition préalable à la compréhension de la valeur positionnelle.

Die Wahlfreiheit zwischen 5er- und 10er-Bündeln ermöglicht Anschluss an Konzepte des „Five-Frame“- und „Ten-Frame“-Materials (Van de Walle, Karp & Bay-Williams, 2019), das als Brücke zwischen subitisierender Mengenwahrnehmung und Stellenwertdarstellung genutzt wird.

Représentations multiples et passage de l'une à l'autre

L'application affiche simultanément chaque état de l'échelle sous trois formes de représentation :

• Acteur iconique : comme une plaque sur une balance à réaction physique,
• symbolique: sous forme d'équation ou d'inégalité sur l'image,
• linguistique-verbal : als ausgesprochener Satz auf Wunsch („Die Drei ist kleiner als die Vier“), wahlweise auch per Sprachausgabe.

Le principe EIS classique de Bruner (1966) (enactif-iconique-symbolique) et le cadre DeFT d'Ainsworth (2006) (Conception, fonctions et tâches de multiples représentations externes) fournir la justification théorique expliquant pourquoi simultané et Cohérent Verfügbarkeit verschiedener Repräsentationen den Begriffsaufbau begünstigt: Lernende können Übergänge zwischen den Darstellungen aktiv erkunden, statt sie nur passiv nachzuvollziehen. Die Möglichkeit, einzelne Repräsentationen per Rollladen zu verdecken, macht die App zu einem Werkzeug für Tâches données-recherchées au sens de Selter et Spiegel (1997).

décisions de conception conceptuelle

élément	Justification didactique
Un ou deux bols par côté	Permet des structures de termes telles que (a + b) = c ou (a + b) = (c + d) et donc des comparaisons relationnelles
coquilles négatives optionnelles	Erfahrbarmachung der Subtraktion als „Wegnehmen“ mit demselben Operationsverständnis wie Addition, die Gesamtmenge bleibt sichtbar, es „zählt“ aber nur die Restmenge auf der Waage.
Rollläden für Schalen und Zahlen	Apprentissage structuré des conjectures, réduction de l'affichage pour favoriser les opérations mentales
Mode empilé avec lignes de comparaison	Ikonische Vorform der ordnungs­erhaltenden Bijektion zwischen zwei Mengen, Herleitung der Zeichen aus der visuellen Darstellung der beiden Balken oben und unten.
Limiter le nombre de carreaux	Différenciation selon la plage numérique (1re année : 10–20 ; 2e année : 100 ; 3e année et plus : jusqu’à 500)
Partager via un lien/code QR	Transfert de compétences à faible seuil entre enseignant et apprenant, y compris dans le cadre de l'apprentissage à distance
Aucune inscription, aucune donnée de suivi, uniquement des données locales	Utilisation conforme au RGPD dans le contexte scolaire sans effort organisationnel supplémentaire

Utilisation recommandée

L'application est particulièrement adaptée à l'école primaire et à l'accompagnement des élèves en début de collège, notamment ceux qui rencontrent des difficultés avec l'interprétation relationnelle du signe égal (Prediger, 2009). Elle ne remplace pas les supports pédagogiques physiques, mais les complète : conformément au principe d'apprentissage en spirale (Bruner, 1966 ; Wittmann, 1981), cette ressource d'exploration est accessible et peut être enrichie à plusieurs reprises. L'application web offre la possibilité d'utiliser les mêmes structures. entre den Materialphasen zu wiederholen, zu variieren und auf eine Weise zu teilen, die mit physischem Material nicht möglich ist.

littérature

Ainsworth, S. (2006). DeFT : un cadre conceptuel pour envisager l'apprentissage avec de multiples représentations. Apprentissage et enseignement, 16(3), 183–198.

Behr, M., Erlwanger, S., et Nichols, E. (1980). Comment les enfants perçoivent le signe égal. Enseignement des mathématiques, 92, 13–15.

Borromeo Ferri, R., & Blum, W. (2012). Conceptions des apprenants sur l'utilisation du signe égal à l'interface entre l'enseignement primaire et secondaire. Contributions à l'enseignement des mathématiques 2012, 127–130.

Bruner, JS (1966). Vers une théorie de l'enseignement. Belknap Press des Presses universitaires de Harvard.

Carpenter, T.P., Franke, M.L., et Levi, L. (2003). Penser mathématiquement : intégrer l'arithmétique et l'algèbre à l'école primaire. Heinemann.

Dienes, ZP (1960). Développer les mathématiques. Hutchinson Éducation.

Dooley, T., & Kirwan, A. (2014). Facilitating young children’s understanding of the ‚equal‘ sign. Vortrag auf der NCCA Mathematics Conference, Dublin, 24. November 2014. https://www.ncca.ie/media/2006/ncca-maths-conf_equal-sign_24-11-14-2.pdf

Falkner, KP, Levi, L., et Carpenter, T.P. (1999). La compréhension de l'égalité chez les enfants : une base pour l'algèbre. Enseigner les mathématiques aux enfants, 6(4), 232–236.

Farfan, G., & Schoen, R.C. (2021). La compréhension du symbole égal par les élèves du primaire : les élèves de Floride sont-ils plus performants que leurs pairs ? Dimensions en mathématiques, 41(1), 27–38.

Hagemeister, V. (2013). Problèmes à l'école primaire avec le signe égal. MNU, 66(7), 393–398.

Kieran, C. (1981). Concepts associés au symbole d'égalité. Études pédagogiques en mathématiques, 12(3), 317–326.

Knuth, EJ, Stephens, AC, McNeil, NM et Alibali, MW (2006). La compréhension du signe égal est-elle importante ? Preuves tirées de la résolution d'équations. Revue de recherche en didactique des mathématiques, 37(4), 297–312.

Krauthausen, G., & Scherer, P. (2007). Introduction à la didactique des mathématiques (3e éd.). Spektrum Akademischer Verlag.

Mann, R.L. (2004). Un numéro d'équilibriste : la vérité derrière le signe égal. Enseigner les mathématiques aux enfants, 11(3), 65–69.

Oksuz, C. (2008). La compréhension de l'égalité et du symbole égal chez les enfants. Revue internationale d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques, Août.

Padberg, F. et Benz, C. (2021). Didactique de l'arithmétique (5e éd.). Springer Spektrum.

Prediger, S. (2009). „… nee, so darf man das Gleich doch nicht denken!“ — Lehramtsstudierende auf dem Weg zur fachdidaktisch fundierten diagnostischen Kompetenz. In B. Barzel et al. (Hrsg.), Pensée algébrique. Cadeau pour Lisa Hefendehl-Hebeker (pp. 89–99). Franzbecker.

Selter, C. et Spiegel, H. (1997). Comment les enfants comptent. Velcro.

Sfard, A. (1991). Sur la nature duale des conceptions mathématiques : réflexions sur les processus et les objets comme les deux faces d'une même pièce. Études pédagogiques en mathématiques, 22(1), 1–36.

Unteregge, S. (2017). Relations d'égalité algébriques dans le contexte de l'enseignement de l'arithmétique à l'école primaire. Contributions à l'enseignement des mathématiques 2017, 1009–1012.

Van de Walle, JA, Karp, KS et Bay-Williams, JM (2019). Mathématiques au primaire et au collège : Enseignement par développement (10e éd.). Pearson.

Wahyuni, R., & Herman, T. (2019). La compréhension du signe égal par les élèves : une étude de cas dans une école de banlieue. Actes de la 1re Conférence internationale sur les sciences de l'éducation, 351–355.

Winter, H. (1982). Le signe égal dans l'enseignement des mathématiques à l'école primaire. mathématiques didactiques, 5(4), 185–211.

Wittmann, EC (1981). Questions fondamentales de l'enseignement des mathématiques (6e éd.). Voir.