Découvrez les symboles de relation de manière interactive

Un environnement d'apprentissage et d'expérimentation pour l'école primaire axé sur les symboles relationnels =, <et >.

Lien direct : https://waage.urff.app

L'application web est la même simule une balance virtuelle, permettant aux enfants de comparer des quantités, des nombres et des expressions par le biais d'activités pratiques. Les jetons sont générés par un simple clic ou un tapotement (plusieurs jetons simultanément grâce au multitouch), placés dans des plateaux de chaque côté de la balance, empilés, automatiquement regroupés en barres de dix et affichés en temps réel sous forme d'équations ou d'inégalités. L'application alterne entre activités pratiques, représentations visuelles iconiques (points sur la balance) et notation symbolique.=, <, > (y compris les nombres et les expressions) s'effectue de manière synchrone. Chaque élément peut également être traité, permettant ainsi des énoncés de problème arbitraires de type donnée-recherchée.

L'application est conçue pour être facile d'utilisation : pas de connexion, pas de collecte de données, pas de publicité. Les configurations peuvent être facilement partagées via un lien ou un code QR.

Ce que les enfants peuvent faire avec la balance :

• Comparer les quantités. Placez les assiettes dans les bols de gauche et de droite. La balance indiquera immédiatement quel côté contient le plus d'assiettes.
• Rétablir l'équilibre. En ajoutant, en enlevant ou en redistribuant, explorez consciemment le signe égal. Que dois-je ajouter pour rétablir l'équilibre ?
• Travaillez avec deux bols de chaque côté. Structures de termes telles que 5 + 3 Construisez-le directement et comparez-le avec d'autres termes.
• Utilisez des coquilles négatives. Les relations soustractives telles que 9 − 4 Représenter matériellement et symboliquement en parallèle. Les quantités soustraites sont compensées par des signes moins.
• Empilage et regroupement. En mode empilement, les tuiles sont alignées ; toutes les 10 (ou 5) tuiles sont automatiquement animées pour former une tige de dix, si souhaité (peut être modifié dans les paramètres).
• Couvrir. Rabattez les stores sur les bols ou les numéros pour faire des suppositions et les vérifier plus tard.
• Diviser. Chaque configuration peut être partagée avec les apprenants sous forme de lien compact ou de code QR.

Exemples de tâches / idées de tâches :

• Trouvez cinq exemples de nombres supérieurs à 8.
• Placez 3 points à gauche et 5 points à droite. Combien faut-il en ajouter ou en retirer pour équilibrer la balance ?
• Représentez l'équation „ 3 + 4 = 7 „ sur l'échelle, puis « 7 = 3 + 4 ». Comparez les deux. Pourquoi peut-on inverser les deux côtés ?
• Doublez le nombre de points de chaque côté. Quand la balance reste-t-elle équilibrée, et quand ne l'est-elle plus ?
• Il y a 12 points d'un côté et 15 de l'autre. Parviendrez-vous à équilibrer la balance vous-même ? Redistribuer Rétablir l'équilibre ? Expliquez.
• D'un côté, il y a 8 points. De l'autre côté, il y a deux bols : l'un contient 5 points, l'autre est vide. Combien de points faut-il mettre dans le bol vide pour que l'équilibre soit rétabli ?
• Vrai ou faux : „ La balance reste équilibrée si j'ajoute le même nombre de chaque côté. “ Expliquez.

Une collection plus complète d'exemples de tâches est disponible dans l'application elle-même (section Info → „ Exemples de tâches “).

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Contexte didactique

Interprétation opérationnelle du signe égal comme un problème

Depuis les entretiens cliniques de Behr, Erlwanger et Nichols (1980), il a été empiriquement bien établi que les enfants d’école primaire perçoivent majoritairement le signe égal comme un symbole. Appel à l'action Interpréter, c'est-à-dire comme une demande d'effectuer une opération et d'en noter le résultat. Équations de la forme 3 + 4 = ☐ sont traitées sans effort, tandis que des tâches telles que ☐ = 3 + 4, 3 + 4 = 5 + ☐ ou 5 = 5 sont fréquemment rejetées comme „ fausses “ ou „ non autorisées “ (Behr et al., 1980 ; Falkner, Levi et Carpenter, 1999 ; Knuth, Stephens, McNeil et Alibali, 2006). Falkner et al. (1999) indiquent qu’environ un quart seulement des élèves de sixième réussissent l’exercice. 8 + 4 = ☐ + 5 résout correctement. Une part importante est soit 12 ou 17 Premièrement, ces deux solutions sont des indicateurs typiques d'une interprétation purement opérationnelle.

Ce phénomène a été documenté dans différents systèmes linguistiques et scolaires : pour les apprenants germanophones par Borromeo Ferri et Blum, par Hagemeister (2013) et par Unteregge (2017) ; dans les pays anglophones par Carpenter, Franke et Levi (2003) et Prestwood (2017) ; dans d’autres contextes par Oksuz (2008), Wahyuni et Herman (2019) et Farfan et Schoen (2021).

Knuth et al. (2006) ont pu démontrer que la compréhension du signe égal comme Signe de relation ou d'équivalence significativement corrélé à la réussite dans la résolution d'équations simples : les apprenants qui = interpréter de manière relationnelle, résoudre des tâches telles que 4m + 10 = 70 Au collège, ils réussissent nettement mieux que leurs camarades en matière d'interprétation opérationnelle. La question est de savoir comment. = Comprendre cela est donc un levier clé pour la transition de l'arithmétique à l'algèbre (Kieran, 1981 ; Sfard, 1991).

Interprétation opérationnelle et relationnelle du signe égal

Winter (1982) a déjà souligné que les deux perspectives – l’interprétation opérationnelle („= signifie : calculer “) et l'interprétation relationnelle („= Cela signifie que les deux parties ont une valeur égale et que ce principe devrait être établi dès l'école primaire. Borromeo Ferri et Blum, ainsi qu'Unteregge, soulignent que… unilatéral Le fait de privilégier une interprétation en termes de résultat renforce les idées fausses et crée des obstacles dans l'enseignement de l'algèbre au secondaire. Sfard (1991) a exploré ce lien dans sa théorie de Dualité processus-objet Les concepts mathématiques reposent sur des fondements théoriques : les apprenants doivent comprendre un terme tel que 3 + 4 à la fois comme processus (une facture) ainsi que objet (un nombre lié à d'autres objets). Le signe égal fait le lien entre les deux interprétations.

La principale conséquence pour la planification des leçons est donc la suivante : les formats de tâches doivent systématiquement aborder les deux interprétations, dès l’école primaire, afin de contrer les idées fausses dès le début. Cela inclut les équations avec la variable à gauche (☐ = a + b), équations sans signes d'opération (5 = 5), Comparaisons de termes (3 + 4 = 5 + 2) et surtout cela Justifier l'équivalence quel que soit le calcul.

Les balances comme aide visuelle

La balance est le matériel iconique le plus répandu pour développer la signification relationnelle du signe égal, tant dans les pays germanophones qu'anglophones (Wittmann, 1981 ; Mann, 2014 ; Dooley et Kirwan, 2018). Elle présente deux avantages didactiques majeurs :

1. La symétrie est visible. Une balance équilibrée est immédiatement reconnaissable à sa symétrie ; une balance déséquilibrée révèle son déséquilibre par son inclinaison. De plus, les symboles de relation <, > et = peuvent être directement déduits de la position du fléau, car celui-ci est toujours incliné dans la direction correspondante ou horizontal lorsqu'il est égal.
2. Les changements opérationnels sont manifestement compréhensibles. L'ajout ou le retrait de quantités égales de part et d'autre permet de maintenir l'équilibre. Cette expérience constitue le prélude pratique à… Transformation équivalente, qui est ensuite formalisée dans l’enseignement secondaire (Carpenter, Franke & Levi, 2003 ; Prediger, 2009).

Mann (2014) décrit le signe égal dans ce contexte comme un „ exercice d'équilibre “, une métaphore littéralement mise en œuvre dans la réalisation numérique de cette application : la barre s'incline dès que les quantités ne correspondent pas et se réaligne horizontalement en temps réel une fois l'équilibre atteint. Ces dispositifs sont donc parfaitement adaptés comme environnements expérimentaux, car leur fonctionnement et leurs effets peuvent être directement expérimentés, conformément au principe de fonctionnement.

Comprendre l'importance et le regroupement

Le groupement automatique optionnel de dix (ou cinq) carreaux en une baguette de dix reprend la proposition classique des blocs multisystèmes de Dienes (Dienes, 1960) sans imposer de changement de matériau. Deux éléments sont ici essentiels sur le plan pédagogique :

• Continuité de la représentation. La tige reste visiblement composée de dix tuiles. Les apprenants conservent ainsi le rapport un à un. Ceci correspond à la recommandation de Krauthausen et Scherer (2007) de concevoir les matériaux de regroupement de manière à ce que la relation de regroupement reste réversible à tout moment.
• Connexion et résolution animées. À partir de la dixième unité, les tuiles s'alignent en colonne et sont reliées par une bordure discrète. Lorsqu'une unité est retirée, la liaison se rompt. Cette réversibilité favorise la compréhension du regroupement et du dégroupement comme des opérations complémentaires, comme le soulignent Padberg et Benz (2021) les considérant comme une condition préalable à la compréhension de la valeur positionnelle.

La liberté de choisir entre des groupes de 5 et de 10 permet de se connecter aux concepts du matériel „ Five-Frame “ et „ Ten-Frame “ (Van de Walle, Karp & Bay-Williams, 2019), qui est utilisé comme un pont entre la perception de la quantité de substitution et la représentation de la valeur de position.

Représentations multiples et passage de l'une à l'autre

L'application affiche simultanément chaque état de l'échelle sous trois formes de représentation :

• Acteur iconique : comme une plaque sur une balance à réaction physique,
• symbolique: sous forme d'équation ou d'inégalité sur l'image,
• linguistique-verbal : sous forme de phrase prononcée sur demande („ Trois est plus petit que quatre “), éventuellement également par synthèse vocale.

Le principe EIS classique de Bruner (1966) (enactif-iconique-symbolique) et le cadre DeFT d'Ainsworth (2006) (Conception, fonctions et tâches de multiples représentations externes) fournir la justification théorique expliquant pourquoi simultané et Cohérent La disponibilité de différentes représentations facilite le développement des concepts : les apprenants peuvent explorer activement les transitions entre les représentations au lieu de les observer passivement. La possibilité de masquer certaines représentations à l’aide d’un cache fait de l’application un outil précieux pour… Tâches données-recherchées au sens de Selter et Spiegel (1997).

décisions de conception conceptuelle

élément	Justification didactique
Un ou deux bols par côté	Permet des structures de termes telles que (a + b) = c ou (a + b) = (c + d) et donc des comparaisons relationnelles
coquilles négatives optionnelles	Percevoir la soustraction comme un „ enlèvement “ avec la même compréhension de l'opération que pour l'addition ; le montant total reste visible, mais seul le montant restant sur la balance „ compte “.
Volets roulants pour bols et numéros	Apprentissage structuré des conjectures, réduction de l'affichage pour favoriser les opérations mentales
Mode empilé avec lignes de comparaison	Précurseur emblématique de la bijection préservant l'ordre entre deux ensembles, dérivation des symboles à partir de la représentation visuelle des deux barres au-dessus et en dessous.
Limiter le nombre de carreaux	Différenciation selon la plage numérique (1re année : 10–20 ; 2e année : 100 ; 3e année et plus : jusqu’à 500)
Partager via un lien/code QR	Transfert de compétences à faible seuil entre enseignant et apprenant, y compris dans le cadre de l'apprentissage à distance
Aucune inscription, aucune donnée de suivi, uniquement des données locales	Utilisation conforme au RGPD dans le contexte scolaire sans effort organisationnel supplémentaire

Utilisation recommandée

L'application est particulièrement adaptée à l'école primaire et à l'accompagnement des élèves en début de collège, notamment ceux qui rencontrent des difficultés avec l'interprétation relationnelle du signe égal (Prediger, 2009). Elle ne remplace pas les supports pédagogiques physiques, mais les complète : conformément au principe d'apprentissage en spirale (Bruner, 1966 ; Wittmann, 1981), cette ressource d'exploration est accessible et peut être enrichie à plusieurs reprises. L'application web offre la possibilité d'utiliser les mêmes structures. entre répéter, faire varier et diviser les phases matérielles d'une manière impossible avec la matière physique car cela dépend des conditions physiques.

littérature

Ainsworth, S. (2006). DeFT : un cadre conceptuel pour envisager l'apprentissage avec de multiples représentations. Apprentissage et enseignement, 16(3), 183–198.

Behr, M., Erlwanger, S., et Nichols, E. (1980). Comment les enfants perçoivent le signe égal. Enseignement des mathématiques, 92, 13–15.

Borromeo Ferri, R., & Blum, W. (2012). Conceptions des apprenants sur l'utilisation du signe égal à l'interface entre l'enseignement primaire et secondaire. Contributions à l'enseignement des mathématiques 2012, 127–130.

Bruner, JS (1966). Vers une théorie de l'enseignement. Belknap Press des Presses universitaires de Harvard.

Carpenter, T.P., Franke, M.L., et Levi, L. (2003). Penser mathématiquement : intégrer l'arithmétique et l'algèbre à l'école primaire. Heinemann.

Dienes, ZP (1960). Développer les mathématiques. Hutchinson Éducation.

Dooley, T., & Kirwan, A. (2018). Faciliter la compréhension du signe ‚ égal ‘ chez les jeunes enfants. L'enseignement des mathématiques dans la petite enfance, Numéro spécial, IPC.

Falkner, KP, Levi, L., et Carpenter, T.P. (1999). La compréhension de l'égalité chez les enfants : une base pour l'algèbre. Enseigner les mathématiques aux enfants, 6(4), 232–236.

Farfan, G., & Schoen, R.C. (2021). La compréhension du symbole égal par les élèves du primaire : les élèves de Floride sont-ils plus performants que leurs pairs ? Dimensions en mathématiques, 41(1), 27–38.

Hagemeister, V. (2013). Problèmes à l'école primaire avec le signe égal. MNU, 66(7), 393–398.

Kieran, C. (1981). Concepts associés au symbole d'égalité. Études pédagogiques en mathématiques, 12(3), 317–326.

Knuth, EJ, Stephens, AC, McNeil, NM et Alibali, MW (2006). La compréhension du signe égal est-elle importante ? Preuves tirées de la résolution d'équations. Revue de recherche en didactique des mathématiques, 37(4), 297–312.

Krauthausen, G., & Scherer, P. (2007). Introduction à la didactique des mathématiques (3e éd.). Spektrum Akademischer Verlag.

Mann, R.L. (2004). Un numéro d'équilibriste : la vérité derrière le signe égal. Enseigner les mathématiques aux enfants, 11(3), 65–69.

Oksuz, C. (2008). La compréhension de l'égalité et du symbole égal chez les enfants. Revue internationale d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques, Août.

Padberg, F. et Benz, C. (2021). Didactique de l'arithmétique (5e éd.). Springer Spektrum.

Prediger, S. (2009). „ …non, on ne peut pas voir les choses comme ça ! “ — Les stagiaires enseignants sur la voie d’une compétence diagnostique didactique solide. Dans B. Barzel et al. (Éds.), Pensée algébrique. Cadeau pour Lisa Hefendehl-Hebeker (pp. 89–99). Franzbecker.

Prestwood, SP (2017). Compréhension du signe égal par les enfants [Manuscrit non publié]. Georgia College and State University.

Selter, C. et Spiegel, H. (1997). Comment les enfants comptent. Velcro.

Sfard, A. (1991). Sur la nature duale des conceptions mathématiques : réflexions sur les processus et les objets comme les deux faces d'une même pièce. Études pédagogiques en mathématiques, 22(1), 1–36.

Unteregge, S. (2017). Relations d'égalité algébriques dans le contexte de l'enseignement de l'arithmétique à l'école primaire. Contributions à l'enseignement des mathématiques 2017, 1009–1012.

Van de Walle, JA, Karp, KS et Bay-Williams, JM (2019). Mathématiques au primaire et au collège : Enseignement par développement (10e éd.). Pearson.

Wahyuni, R., & Herman, T. (2019). La compréhension du signe égal par les élèves : une étude de cas dans une école de banlieue. Actes de la 1re Conférence internationale sur les sciences de l'éducation, 351–355.

Winter, H. (1982). Le signe égal dans l'enseignement des mathématiques à l'école primaire. mathématiques didactiques, 5(4), 185–211.

Wittmann, EC (1981). Questions fondamentales de l'enseignement des mathématiques (6e éd.). Voir.