Zerlegen – urff.app

把数字理解为复合数。.
一早期数学教学学习应用程序用于产卵、捕获、,
对 10 以内的集合进行分解和组装。.

拆卸

克里斯蒂安·乌尔夫 · iPad

从 App Store 下载

可试用的网页应用: 拆卸.urff.app

目标受众： 一年级初始教学，包括支持和学习治疗
数值范围： 最多 10

它讲的是什么？

数字不仅仅是数列中的一个位置。例如，7 可以是……
它们既可以看作一个整体，也可以看作是由 5 和 2、4 和 3 或 6 和 1 组成的。理解这种部分与整体关系的人可以灵活地使用数字，确定缺失的部分，并越来越多地从已知的数字关系中推导出加减法问题，而不是重新计算每个结果。.

该应用程序拆卸帮助儿童建立并深化这种“部分与整体”的理解，将其作为重要的基础。作为直观演示工具，这里使用了一个按五个一组进行结构化的十格条。通过放置小圆片，可以一眼看出数量，利用可移动的分隔线将其拆分为两部分，然后再组合成一个整体。该应用程序结合了四种学习途径：

对虚拟材料的操作（添加和删除，移动线条）
带有分割线的结构化数量图像，,
语言描述和
使用数字和数学符号的符号表示法。.

所有面向儿童的指令和反馈均以语音形式呈现。这使得即使是还不会阅读的儿童也能使用该应用程序。教师可以在设置区域根据孩子的学习水平调整数字选择、任务范围、语速和练习选项。此外，孩子们还可以……

在十格阵中摆出数量并匹配相应的数字,
越来越多地掌握无需计数的数量概念，使用五和十的结构。,
将一个整体分成两部分，并找出同一个数的不同分解方式。,
要认识到部分可以改变而整体保持不变，,
确定整体中缺失的部分和已知部分，,
在脑海中估算隐藏的数量，,
在材料、数量图像、数字三元组和符号表示法之间切换，,
要理解加法是合并，减法是求一部分，,
将交换任务和逆任务视为一类相关的任务，
在三场游戏中，越来越自信、越来越流畅地运用已知的数字分解。.

这款应用主要面向早期学习和学前教育过渡阶段，也适用于任何年龄段的个性化学习支持。它可以在小学和特殊教育学校、融合学习小组、学习治疗或家庭中使用。.

教学概念

1. 部分-整体概念作为算术的基础

部分-整体概念描述了这样一种洞察力：一个数量或数字可以以各种方式分割成若干部分，并可由这些部分重新组合。只要改变分割方式，整体就保持不变。因此，7 是整体；5 和 2 是它的一部分。同样，4 和 3 也是同一个整体的一部分。.

这种洞见对于理解数字之间的关系至关重要。数字不仅被理解为连续的位置——„六、七、八“——而且被理解为相互关联的整体。部分与整体的概念构成了数字概念、加法、减法以及后续计算策略的重要基础。Lenz & Wittmann，2023).

干预研究报告了在幼儿园和小学低年级进行有针对性的部分-整体教学的积极学习效果。在一项幼儿园研究中，显性部分-部分-整体课程显示出比主要针对计数和数字编号的教学方案更大的学习收益（费舍尔，1990另一项研究发现，通过可视化数字关系的教学方法，学生的加减法技能得到了提高（Kullberg等人，2020在一项实验研究中，促进分解策略可提高求解率，使策略更加灵活，并减少计数频率（Cheng，2012).

应用内实现： 十等分条上的点总是作为一个整体来显示数量，该数量被红色的分隔线划分为两个可见的部分。这条线可以移动，而不会增加或减少圆片。这样，整体的不变性就能被直观地体验到：一部分增加一，同时另一部分减少一。.

2. 结构化数量记录

将较大数量的东西分成易于管理的小数份后，计数就更容易了。因此，十格计数条利用了…… 五的力量第五个位置后面有一个标记。因此，数字„8“可以被看作是„5加3“或者是“10减2”。对于正确的解答，应用程序会以视觉方式突出显示相应的“凑五”或“凑十”关系，并通过语音将其读出。对于错误，它不会简单地数出较大的数量。相反，该数量会作为一个整体产生脉动，并将注意力引导至其结构上。只有在数量非常少、以至于“五”或“十”的锚定作用不大时，才会提供逐个点的支持。这种设计呼应了数学教学法的要求，即结构化地感知数量，并利用数字之间的关系来摆脱唱数计算。它并没有在技术上阻止数数——这既不可能也没有意义——而是反复提供其他更长久、更可持续的视角。.

3. 将动作、图像、语言和符号联系起来

仅仅移动分割线并不能自动带来数学理解。关键在于孩子要将这一动作与数量表示、涉及的数字以及恰当的语言关系联系起来，并在心智上理解这个过程。这就是为什么该应用程序始终使用如下短语：

„七可以分解成三和四。“
„三加四等于七。“
„七减四等于三。“

整个图案是蓝色的，各个部分用红色标记。同样的角色分配出现在十位数条、数字三元组、数字屋和问题族中。这种颜色并非旨在取代思考作为记忆技巧，而是为了强调数字的数学作用：它是否属于某个类别？
这种情况，是指全部情况还是其中一部分？

各种练习都刻意要求改变表现方式：从可见的条带到部分数字，从数字三元组到材料，从隐藏的部分到加法，最后从结构化的图像到方程式。.

4. 找出所有分解，对它们进行排序，并描述它们之间的关系。

在练习中 „分化人群“ 孩子们并非只寻找任意的分解式，而是寻找所选数字的所有分解式。找到的分解式会被有条理地收集在“数字小屋”中。这有助于孩子们通过反复尝试，逐步建立起系统的方法。系统地查找和整理分解式至关重要，因为它能帮助孩子们识别分解式之间的联系。该应用程序为此提供了一个动态的环境；在课堂讨论中描述和解释分解式仍然是孩子和老师的责任。教师可以在其设置中启用或禁用包含零的分解式。
激活后，可以看到„0 和 7“也代表了 7 的一种可能分解形式。
是。.

5. 加法和减法之间的关系

该应用程序从整体与部分理解的角度引入了加号、减号及其相互作用。在 再加上 两部分组装成一个整体。外带在练习中寻找整体的另一部分。 „进进出出“ 孩子最初添加了很多，
然后它又把那部分完全移除。被移除的瓷砖
它们不会消失得无影无踪，而是像苍白的„幽灵瓷砖“一样留存下来。“
这一点显而易见。原本的整体、被移除的部分以及剩余的部分都可以同时被重建。通过这些操作，加法和减法之间的逆关系变得具体而清晰可见。该应用程序还包含一些练习，其目标并非进行加减运算，而是确定被覆盖的部分。.

练习 „任务族“ 然后将反汇编与
相关方程：

3 + 4 = 7 4 + 3 = 7
7 − 4 = 3 7 − 3 = 4

每道已解答的题目都用相关材料进行了验证。在减法题中，总是先写出整体。这样做是为了确保题目不会仅仅变成三个数字的简单排列，而是始终围绕着部分与整体的共同关系展开。.

6. 以理解为导向的反馈

错误的答案不会被标记为„错误“。该应用程序会提醒用户注意错误。
回到学习材料：相关的子集会闪烁显示，缺失的部分会显现出来，五/十分关系会被突出显示，或者会添加口头提示。答案不会过早给出。孩子可以继续思考并再次尝试。在进度概览中，只有第一次尝试才会计入成绩。之后，任务会继续进行，直到找到正确答案为止。这能让老师谨慎地了解孩子目前能够独立完成的任务，而不会因为错误而阻碍孩子取得成功。概览是一种辅助观察工具，而非标准化测试或评分依据。.

7. 只有在理解之后才能实现自动化。

类似这样的游戏 „《恋爱中的数字》“, „建造房屋“ 和 „家庭泡泡“ 这些游戏旨在巩固之前理解的分解概念和问题类型。数字和结构化的数量图像交替出现；玩家需要找到匹配的元素，并将它们添加到相应的问题类型中。只有当孩子能够运用材料解释相关的分解概念后，才能使用这些游戏。速度和分数可以提升孩子的自信心和流畅度，但它们并不能取代理解。因此，游戏结果特意不纳入练习的能力评估体系中。.

训练区域概览

学习重点	合适的练习	中心问题
数量已确定并记录	布置场景 · 查找场景 · 快速浏览 · 场地布置	„如何在不逐个计数的情况下看到总数？“
更改数量	添加数量 · 添加后再移除	„增加了什么？当同一部分被再次移除后，还剩下什么？“
通过动作检查拆卸过程	分割集合 · 分割并找出数字 · 平移并预测 · 分成三部分	„整体被拆分成了哪两个部分？你是如何找出所有可能性的？如果我改变这条线，各个部分会发生什么变化？“
确定部分和整体	整体和部分 · 隐藏了多少部分？ · 快速查看各部分	„哪些部分是已知的？哪些部分是缺失的？整体是什么？“
内化想法	分解数字	„你能先在脑子里确定缺失的部分，然后再在试卷上核对一下吗？“
了解运营关系	任务系列	„这三个数字可以表示成哪些加减法题？“
自由探索	实验环境	„当这条线移动时，哪些方面会发生变化，哪些方面保持不变？“
整合并自动化	爱情数字 · 建造房屋 · 家庭泡泡 · 楼梯 · 数字秤 · 摇摇晃晃的房子 · 情侣查找器 · 公交车站	„您目前能够自信地识别出哪些分解和任务族？“

在数学课上的应用

首次使用前

在没有共同的内容引入之前，不应将该应用程序当作任意的学习游戏来启动。首先应通过真实材料和日常用语来探索„拆分“的含义：一块巧克力可以被拆分成多块；六个小筹码可以被拆分成四个和两个小筹码。伴随语言表达非常重要，例如：

„六是整体。四和二是整体的一部分。它们加在一起又构成了六。“

有针对性地结合所提供的结构使用十格阵及其五的标记。让孩子们描述他们是如何通过什么快速识别出一个数量的。闪视练习以及可以用作拆分线并能移动的笔也非常适合用于此目的。.

对话开场白

合适的问题包括：

„整体是什么？各个部分又是什么？“
„你是怎么这么快就看到人群的？“
„你觉得这五个人在哪里？还会增加多少人？“
„如果将左侧线条移动一/二/...个位置，会发生什么？“
„哪些方面会改变？哪些方面会保持不变？“
„你们都找到所有的解剖图了吗？你怎么能确定呢？“
„哪种分解是该分解的交换分解？“
„哪个加法题与图片相符？哪个减法题与图片相符？“
„为什么减法题中整数一定要放在前面？“
„在查看试纸之前，你能预测出答案吗？“

至关重要的是，孩子们不仅要陈述结果，还要描述和解释结果之间的关系。这款应用程序的语音输出为此提供了一种语言模型。然而，它无法取代与其他孩子或老师之间的数学讨论。.

观察与冲动

观察	可能的解释和下一步行动
孩子逐个数瓷砖。.	重点关注五部分结构：„先给我展示这五部分。你还看到了什么？“
异位分解被解释为一个新的整体。.	探讨不变性，并在平移前后进行整体对比：„什么改变了？什么保持不变？“
分解过程是无序重复进行的。.	尽可能多地记录拆分方式（甚至在纸上），然后布置任务：„将找到的拆分方式进行有意义的排序。你是如何排序的？“或者也可以预先给定一种排序并让其继续下去。用语言表达出变化。.
孩子只有完整地复述一遍才能找到缺失的部分。.	标记已知部分，并根据五点或十点锚点完成它。运用关系（多一个、少一个、交换关系）。
3 + 4 和 4 + 3 被视为完全独立的两个问题。.	比较同一条带上的两个脉冲序列，描述对调关系，并通过练习„翻转与对调“的辅助来加深理解。.
如果是负号，则部分数字会随机交换。.	布置研究任务：„为什么总数在减法中总是排在最前面？“总数在前；减去的部分与剩余的部分合起来就是总数。.
符号任务可以完成，但合适的表征却无法完成。.	回到数字三元组，换成十位数的条形；用这些材料演示这个等式。.

这款应用程序以儿童为中心的学习进度概览会针对每个数字显示哪些领域尚未掌握、部分掌握或已反复掌握。这有助于教师规划后续学习活动，也能为儿童自身提供学习进度反馈。然而，切勿孤立地解读个别失败尝试、时间值或颜色指示器；只有结合观察行为和解释，才能真正理解其意义。.

关于该应用程序的研究项目

本研究将通过一项配套研究，调查特定数字化学习环境在学校环境下的学习效果，该研究将采用前测、后测和后续评估的方法。这项研究实施起来非常便捷（学习进度评估可以直接在应用程序内进行）。如果您有兴趣参与，请联系 christian.urff@ph-weingarten.de

应用程序在课堂中的作用

该应用程序 拆解并不能代替现实世界的行动或数学讨论。. 这款应用的独特优势在于它能够动态且一致地可视化数学关系，有针对性地变换任务，提供语言模型，并支持个性化的练习路径。当数字活动与实物操作、绘画、口语表达、推理和协作反思相结合时，其教学效果最为显著。因此，这款应用尤其适用于……

作为引入数字分解的引导式学习环境，,
用于简短的定期练习阶段（也可在家中）,
用于伙伴合作和数学讨论,
针对在数字关系或基于计数的算术运算方面存在困难的学生提供有针对性的支持；
用于确保和自动化已知的拆解过程。.

文献及其他资料

PIKAS包含：基础任务和高级任务„分解数字“

程志军（2012）。. 教幼儿运用分解策略解决更多问题：一项实验研究。. 《数学行为杂志》,
31(1), 29–47。. DOI

Fischer, FE (1990)。. 一套用于幼儿园数字教学的部分-部分-整体课程。. 数学教育研究杂志，21(3)，207-215。.
DOI

Gerster, H.-D. & Schultz, R. (2000). 初级阶段数学概念习得困难。„计算障碍——识别、纠正、预防“研究项目报告。. 弗赖堡教育学院.
全文

Kullberg, A.、Björklund, C.、Brkovic, I. 和 Runesson Kempe, U. (2020)。. 通过手指图案将前十个数字及其关系可视化，可以有效帮助学龄前儿童学习加减法。. 数学教育研究,
103, 157–172。. DOI

Lenz, K. & Wittmann, G. (2023). 在早期数学教学中培养整体与部分的概念：一年级教科书能提供哪些学习机会？ 数学教学杂志。.
DOI

Mahiko/DZLM：数字分解——基础知识

PIKAS：数字分解

拆卸