Istgleich – urff.app

以互动方式探索关系符号

一个以关系符号为重点的小学学习和实验环境 =, < 和 >.

直接链接： https://waage.urff.app

该网络应用程序 是一样的 这款应用模拟虚拟天平，让孩子们通过动手操作来比较数量、数字和表达式。计数器通过点击或轻触（支持多点触控同时点击多个计数器）生成，放置在天平两侧的托盘中，堆叠起来，自动捆扎成十个一组的计数器条，并实时显示为等式或不等式。该应用在动手操作、图标式视觉呈现（天平上的点）和符号表示之间交替进行。=, <, > plus Zahlen und Terme) findet synchron statt. Jedes Element kann auch abgedeckt werden, sodass sich beliebige Gegeben-Gesucht-Aufgabenstellungen stellen lassen.

该应用的设计宗旨是用户友好：无需登录，不收集数据，无广告。配置信息可通过链接/二维码轻松分享。.

孩子们可以用音阶做什么：

比较数量。. 将盘子分别放入左右两侧的碗中。秤会立即显示哪一侧盛放的更多。.
恢复平衡。. 通过添加、移除或重新分配，有意识地体验并实验等号。我必须放多少上去，天平才能平衡？
每边用两个碗操作。. 期限结构，例如 5 + 3 直接构建它并与其他术语进行比较。.
使用负壳层。. 例如，减法关系 9-4 在物质层面和象征层面并行呈现。被取走的数量被收集在负数盘中。.
堆叠和捆绑。. 在堆叠模式下，图块排列成行；每 10 个（或 5 个）图块会自动动画形成一个由 10 个图块组成的杆（如果需要，可以在设置中更改）。
掩饰。. 拉下百叶窗，盖住单个碗或数字，以便做出猜测并在随后进行验证。.
分裂。. 每个配置都可以以简短链接或二维码的形式分享给学习者。.

任务示例/任务思路：

找出五个大于 8 的数字。.
在左边画 3 个点，右边画 5 个点。你需要增加或减少多少个点才能使天平平衡？
在天平上展示„3 + 4 = 7“，然后展示„7 = 3 + 4“。比较这两者。为什么可以互换两边的位置？
双方点数都翻倍。什么时候天平保持平衡，什么时候天平不再平衡？
一边有12个点，另一边有15个点。你能自己把天平平衡吗？ 重新分配 如何达到平衡？请解释。.
一边有8个点。另一边有两个碗：一个碗里有5个点，另一个是空的。要使点数与点数平衡，空碗里必须放多少个点？
Richtig oder falsch: „Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn ich auf jeder Seite dieselbe Anzahl dazufüge.“ Begründe.

应用内（„信息“区域 → “任务示例”）存有更丰富的任务示例集合。.

教学背景

将等号的操作解释视为一个问题

自 Behr、Erlwanger 和 Nichols (1980) 进行临床访谈以来，经验已经充分证实，小学生主要将等号视为符号。 行动号召 也就是说，将其解释为执行某项操作并记录结果的请求。形如的等式 3 + 4 = ☐ 处理起来毫不费力，而诸如此类的任务则不然。 ☐ = 3 + 4, 3 + 4 = 5 + ☐ 或者 5 = 5 经常被作为„错误“或„不允许“而拒绝（Behr et al., 1980; Falkner, Levi & Carpenter, 1999; Knuth, Stephens, McNeil & Alibali, 2006）。Falkner et al. (1999) 报道称，大约只有四分之一的六年级学生能够完成这道题 8 + 4 = ☐ + 5 正确解答。其中很大一部分要么是 12 或者 17 一、这两种解决方案都是纯粹操作性解释的典型特征。.

这种现象在不同的语言和教育体制中均有记载：针对德语学习者，有 Borromeo Ferri 和 Blum (2012)、Hagemeister (2013) 以及 Unteregge (2017) 的研究；在英语国家，有 Carpenter、Franke 和 Levi (2003) 的研究；在其他语境中，有 Oksuz (2008)、Wahyuni 和 Herman (2019) 以及 Farfan 和 Schoen (2021) 的研究。.

Knuth等人（2006）的研究表明，对等号的理解是…… 关系或等价符号 与解决简单方程的成功率显著相关：学习者 = 进行关系性解释，解决诸如此类的任务 4米 + 10 = 70 在中学阶段，他们在操作性解释方面比同龄人表现得明显更好。问题是，他们是如何做到这一点的？ = 因此，理解这一点是实现从算术到代数过渡的关键杠杆（Kieran，1981；Sfard，1991）。.

等号的操作和关系解释

Winter (1982) 已经指出，这两种视角——操作性解释（„= 意为：“计算„）以及关系解释（„= 意为：双方是等价的）——应该在小学阶段就开始培养。博罗梅奥-费里和布卢姆（Borromeo Ferri und Blum, 2012）以及翁特雷格（Unteregge, 2017）强调，片面过分强调任务结果的解释会强化误解，并给中学代数教学带来障碍。Sfard (1991) 在其理论中探讨了这种联系。 过程-对象二元性 数学概念是有理论基础的：学习者必须理解诸如“数学概念”之类的术语。 3 + 4 两者兼具过程（发票）以及目的（一个与其他对象相关的数字）。等号是两种解释之间的接口。.

教学设计上的核心结论因此是：任务形式应该系统地兼顾这两种解释，早在小学阶段就应如此，以便尽早纠正错误观念。这包括左侧带有未知数的方程（☐ = a + b），没有运算符号的方程（5 = 5），术语比较（3 + 4 = 5 + 2）尤其是 证明等价性 无论计算结果如何。.

以天平作为视觉辅助工具

在德语区和英语区，等臂天平是用于建构等号关系意义的最普遍的具象-图像式教具（Wittmann, 1981; Mann, 2004; Dooley & Kirwan, 2014）。它具有两个显著的教学优势：

对称性显而易见。. 处于平衡状态的天平一眼就能看出是对称的；失衡的天平则通过其倾斜度显示出多或少。此外，关系符号和 = 可以直接从横梁的位置推导出来，因为横梁总是会向相应方向倾斜，或者在相等时保持水平。.
运营方面的改变是完全可以理解的。. 两边同时增加或减少等量即可保持平衡。这种体验是行动导向的先决条件…… 等价变换, 随后在中学教育中得到正式确立（Carpenter、Franke 和 Levi，2003；Prediger，2009）。.

曼（2004）将该语境下的等号称为„一种平衡行为“（a balancing act），即在现有应用程序的数字实现中被字面化实现的一个隐喻：一旦数量不相符，条形就会倾斜；而在建立平衡时，它会实时水平对齐。因此，天平非常适合作为实验环境，因为根据操作原则，运算及其影响可以直接被体验到。.

了解其重要性及捆绑销售

将十块（或五块）瓷砖自动组合成十根杆状物，这一可选功能采用了迪恩斯多系统积木的经典方案（Dienes，1960），而无需改变材料。这里有两点在教学上至关重要：

表征的连续性。. 这根杆子仍然清晰地由十块瓷砖组成。学习者不会忽略一比一的比例。这与 Krauthausen 和 Scherer (2007) 的建议相符，即设计捆绑材料时，应确保捆绑关系在任何时候都可逆。.
动画连接和解决。. 当积木到达第十个单位时，它们会明显地滑入一列，并由一条细微的边界连接起来。移除一个单位后，连接就会断开。这种可逆性有助于理解捆绑和解捆绑是互补的操作，正如帕德伯格和本茨（2021）所强调的，这是理解位值的前提。.

5个装和10个装的选择自由度有助于衔接„五方格“和„十方格“材料的教学理念（Van de Walle, Karp & Bay-Williams, 2019），这些材料被用作直觉式数量感知与位值表示之间的桥梁。.

多种表征及其之间的切换

该应用程序同时以三种表示形式显示体重秤的每种状态：

极具标志性： 作为物理反应尺度上的一个盘子，,
象征性的： 作为图像上的等式或不等式，,
语言-语言： 根据要求作为口语句子读出（„三小于四“），也可选择通过语音输出。.

Bruner (1966) 的经典 EIS 原则（具身认知-图像认知-符号认知）和 Ainsworth (2006) 的 DeFT 框架（多种外部表征的设计、功能和任务）提供理论依据，说明为什么同时和 持续的 不同表征形式的可用性促进了概念构建：学习者可以积极探索不同表征之间的转换，而不只是被动地理解。通过卷帘遮挡单个表征的功能，该应用程序成为一个用于 给定-寻求任务 按照 Selter 和 Spiegel (1997) 的意义上来说。.

概念设计决策

元素	教学原理
每边一到两个碗	允许使用如下的期限结构 `(a + b) = c` 或者 `（a + b）= （c + d）` 由此可进行关系比较
可选的负壳层	将减法体验为„拿走“，其运算理解与加法相同：总量保持可见，但天平上起作用的只有剩余量。.
外遮阳卷帘，适用于碗状物和数字	结构化猜想学习，减少显示以促进心智运作
带比较线的堆叠模式	两个集合之间保持顺序的双射的标志性前身，其符号源自顶部和底部两条横线的视觉呈现。.
限制瓷砖数量	按数字范围区分（一年级：10-20；二年级：100；三年级及以上：至500）
通过链接/二维码分享	教师与学习者之间低门槛的任务迁移，也适用于远程学习
无需注册，不跟踪数据，仅收集本地数据	在学校环境中实现符合 GDPR 标准的使用，无需额外的组织工作

文学

Ainsworth, S. (2006). DeFT：考虑具有多种表征的学习的概念框架。. 学习与教学, ，16(3)，183–198。.

Behr, M.、Erlwanger, S. 和 Nichols, E. (1980)。儿童如何看待等号。. 数学教学, ，92，13-15。.

Borromeo Ferri, R., & Blum, W. (2012). 小学和中学衔接教育中学习者对等号用法的理解。. 2012年数学教育贡献, ，127–130。.

Bruner, JS (1966)。. 迈向教学理论. 哈佛大学出版社贝尔纳普出版社。.

Carpenter, T.P.、Franke, M.L. 和 Levi, L. (2003)。. 数学思维：小学算术与代数的融合. 海涅曼。.

Dienes, ZP (1960)。. 构建数学. 哈钦森教育集团。.

杜利，T.，和基尔万，A.（2014）。. 帮助幼儿理解‚等号‘. 演讲于2014年11月24日在都柏林NCCA数学会议。https://www.ncca.ie/media/2006/ncca-maths-conf_equal-sign_24-11-14-2.pdf

Falkner, KP, Levi, L., & Carpenter, T.P. (1999). 儿童对等式的理解：代数的基础。. 教孩子数学, ，6(4)，232–236。.

Farfan, G. 和 Schoen, R.C. (2021)。小学生对等号的理解：佛罗里达州的学生是否优于同龄人？ 数学中的维度, ，41(1), 27–38。.

Hagemeister, V. (2013). 小学等号问题。. 蒙大拿大学, ，66(7), 393–398。.

Kieran, C. (1981). 与等号相关的概念。. 数学教育研究, ，12(3)，317–326。.

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Krauthausen, G. 和 Scherer, P. (2007)。. 数学教学法导论 （第三版）。 Spektrum Akademischer Verlag。.

Mann, R.L. (2004). 平衡之道：等号背后的真相。. 教孩子数学, ，11(3)，65-69。.

Oksuz, C. (2008). 儿童对平等和等号的理解。. 国际数学教学与学习期刊, ，八月。.

帕德伯格，F. 和本茨，C. (2021)。. 算术教学法 （第5版）。施普林格光谱出版社。.

Prediger, S. (2009). „… nee, so darf man das Gleich doch nicht denken!“ — Lehramtsstudierende auf dem Weg zur fachdidaktisch fundierten diagnostischen Kompetenz. In B. Barzel et al. (Hrsg.), 代数思维。丽莎·赫芬德尔-赫贝克尔节文 （第 89-99 页）。弗朗茨贝克。.

Selter, C. 和 Spiegel, H. (1997)。. 儿童如何计数. 魔术贴。.

Sfard, A. (1991). 论数学概念的二元性：对过程和对象作为同一枚硬币两面的反思。. 数学教育研究, ，22(1)，1-36。.

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Van de Walle, JA、Karp, KS 和 Bay-Williams, JM (2019)。. 小学和初中数学：循序渐进教学 （第10版）。培生集团。.

Wahyuni, R., & Herman, T. (2019). 学生对等号的理解：以郊区学校为例。. 第一届国际教育科学会议论文集, ，351–355。.

Winter, H. (1982). 小学数学教学中的等号。. 数学教学, ，5(4), 185–211。.

Wittmann, EC (1981)。. 数学教学的基本问题 （第6版）。Vieweg。.

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