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Aritmética escrita

Una aplicación para la exploración comprensiva de la suma y la resta escritas.

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Aritmética escrita
Revelador: cristian urff
Precio: 0,99 €

La aplicación muestra cada factura simultáneamente en múltiples representaciones:

  • notación: la tabla clásica de valor posicional con números, acarreos y subscrituras, tal como está escrita en el cuaderno.
  • Platos: una tabla de valor posicional bidimensional en la que cada valor posicional está representado como su propia columna y las fichas se mueven visiblemente cuando se agrupan o se separan.
  • Dienes 3DUna vista isométrica compuesta por cubos, varillas, placas y mil cubos. Permite visualizar de inmediato la relación espacial entre los valores posicionales: una decena es diez veces mayor que una unidad, y una centena es diez veces mayor que una decena.
  • Soporte de idiomasCada paso va acompañado de instrucciones habladas, tanto por escrito como mediante audio.

Al cambiar un dígito en la notación, se muestra inmediatamente el cambio correspondiente en las demás representaciones. El proceso de agrupación y desagrupación no solo se describe, sino que también se anima. Diez unidades se agrupan en una sola decena, y una centena plana se desagrupa en diez decenas.

Método de resta

La aplicación admite ambos métodos de resta comúnmente utilizados en Alemania:

  • Desagregación (Método de resta): El siguiente dígito más alto del minuendo se reduce en uno y se suman diez unidades a la columna actual.
  • Expandir (Método de relleno): El sustraendo se incrementa en uno en la columna inmediatamente superior, mientras que el minuendo permanece sin cambios.

Se puede alternar entre ambos métodos dentro del mismo contexto de tarea. Incluso en la más difícil. desagregación en cascada (por ejemplo, en) 900 − 191, donde una unidad prestada tiene que viajar a través de varias ubicaciones) está completamente animada y narrada.

Tareas de predicción

Opcionalmente, la aplicación puede hacer una pregunta de opción múltiple antes de cada paso o requerir una acción directa sobre las representaciones: „"¿Qué sucederá después?"“ El niño predice el siguiente paso. La aplicación solo ejecuta el paso después. Los distractores representan deliberadamente ideas erróneas típicas, como "lo mayor menos lo menor" o el olvido de la operación de arrastre.

Antecedentes didácticos

Marco de política educativa

Desde la adopción de los estándares revisados de matemáticas de la KMK (Conferencia Permanente de Ministros de Educación y Asuntos Culturales) para 2022, el énfasis didáctico en los métodos de cálculo escrito ha cambiado significativamente. Mientras que los estándares de 2004 identificaban los algoritmos escritos como un área de competencia central en la escuela primaria, los nuevos estándares hacen mayor hincapié en... aritmética semiescrita y asignar una función basándose en los procedimientos escritos. Los cambios esenciales se explican en un artículo adjunto de la Sociedad para la Didáctica de las Matemáticas (Barzel et al. 2023). Tres puntos son particularmente relevantes para nuestra pregunta:

  1. La aritmética semiescrita está adquiriendo cada vez más importancia. Las estrategias semiescritas se consideran un requisito previo para que los niños aprendan a estructurar sus propios cálculos, visualizar los pasos intermedios y comprender sus propios procesos de pensamiento. Los algoritmos escritos solo se introducen una vez que esta base está sólida (KMK 2022; Folleto de implementación KMK 2023).
  2. La comprensión se convierte en el principio rector. „La premisa de “comprender antes de automatizar” se incluye de forma programática en el folleto de implementación.

Los estados federales lo han implementado de manera inconsistente. El bávaro CurrículoPLUS Por ejemplo, en la escuela primaria, lo siguiente está escrito explícitamente para la resta: Método de deducción (= desagregación) y nombra las placas de centenas, las varillas de decenas y las unidades como materiales didácticos clave (Ministerio de Educación y Asuntos Culturales del Estado de Baviera, 2024). El currículo de Renania del Norte-Westfalia, por otro lado, deja abierta la elección del procedimiento y delega la decisión a las escuelas (PIKAS, 2024).

Esto significa que existe un software de aprendizaje que se puede utilizar en todo el país. ambos procedimientos Debe ser posible, como mínimo, representarlo para poder vincularlo con el libro de texto correspondiente. Además, esto permite realizar un análisis comparativo y comprensivo de ambos métodos.

¿Qué significa "orientado a la comprensión"?

Este concepto ha sido fundamental para la enseñanza de las matemáticas en Alemania desde la segunda mitad de la década de 2010 y fue desarrollado en particular por Susanne Prediger y Christoph Selter (TU Dortmund) (Prediger y Selter 2014; Selter et al. 2014). La enseñanza de las matemáticas orientada a la comprensión se caracteriza por tres rasgos interconectados:

  • Las ideas dan prioridad a los cálculos. Es fundamental establecer un conocimiento sólido de los números y las operaciones antes de introducir las reglas aritméticas formales. Solo sobre esta base se pueden condensar los procedimientos en esquemas (Prediger y Selter, 2014).
  • Cambio constante de representación. Los conceptos y las operaciones están interconectados a través de múltiples niveles de representación (concreto, icónico, simbólico, lingüístico), lo que permite a los niños probar y perfeccionar sus propias ideas al cambiar entre los diferentes niveles.
  • Conceptos estructurales e intramatemáticos. La promoción no solo busca motivar contextos de aplicación, sino también el reconocimiento de estructuras matemáticas, por ejemplo, la lógica de agrupamiento del sistema de valor posicional (Prediger 2024).

La aplicación está diseñada, por lo tanto, como una herramienta que, en el sentido de Desarrollando ideas y Exigir un cambio de representación lo cual ayuda y aporta un apoyo lingüístico que sirve de modelo para el procesamiento comunicativo.

Procedimientos escritos como procedimientos de agrupación

Los algoritmos escritos se toman directamente de la sistema de valor posicional decimal Derivado. Cada columna de una tabla de valor posicional representa un nivel de agrupación; la suma escrita es entonces un proceso de dos pasos por columna: sumar y, si la columna da como resultado ≥ 10, agrupar en una unidad del siguiente valor posicional superior. Copiar consiste simplemente en escribir este grupo (Padberg y Benz, 2021, Capítulo 8).

La resta escrita es un proceso de dos pasos: comparar las unidades de la posición superior y, si esta es insuficiente, disponer de una unidad de la siguiente posición superior como diez unidades de la columna actual. Si esto se realiza reduciendo el minuendo ("desagrupando") o aumentando el sustraendo y sumando diez al minuendo ("expandiendo") es una cuestión de procedimiento; matemáticamente, ambos métodos son equivalentes (Padberg y Benz, 2021).

Para que los niños comprendan realmente esta lógica y no solo calculen sin pensar con números en columnas, necesitan un Comprensión de la agrupación en el nivel enactivo e icónico, antes de que trabajen (puramente) simbólicamente con la notación.

Barreras típicas para la comprensión

suma

La literatura didáctica específica de la materia documenta principalmente las siguientes estrategias de error para la suma escrita (PIKAS (2024) y Padberg & Benz (2021)):

  • Errores de separación o transcripción completaEl niño suma la columna (por ejemplo, 8 + 7 = 15) y escribe el número completo de dos dígitos en la columna de las unidades, en lugar de escribir 5 y llevar 1.
  • Olvidé transferirLas columnas se agregan correctamente, pero no se incluye el valor remanente de la columna anterior.
  • Manejo incorrecto del cero: Columnas con 0 se malinterpretan (por ejemplo,. 0 + n = 0), o no se realiza un acarreo a cero.
  • Inversión del valor de posiciónCuando los operandos tienen un número diferente de dígitos, estos se escriben uno encima del otro, alineados a la izquierda en lugar de a la derecha.

sustracción

La gama de obstáculos es significativamente más amplia en la resta. Los errores más comunes son (KIRA 2024):

  1. Dificultades con la transferencia (no se ingresaron arrastres, no se arrastraron a espacios vacíos, hubo un arrastre de más).
  2. Error con cero („0 − x = 0„, “x − 0 = 0”, sin acarreo hacia o sobre cero).
  3. Error de dirección de cálculo (contando de izquierda a derecha).
  4. Intercambio de operaciones (Suma en lugar de resta).
  5. Diferenciación por columnas "mayor menos menor"„ como el error sistemático más común.
  6. Comprensión incorrecta de la importancia.
  7. Mezclar varios procesos — por ejemplo, la aplicación simultánea de expansión y desagregación en la misma tarea.
  8. Un error más uno (Error de numeración en la propia columna).

La frecuencia de la „Error de "mayor menos menor". En un estudio a gran escala realizado con 31 clases de cuarto grado en la región de Bielefeld, Schipper documentó ya en 1983 que este error representa aproximadamente el 30 % de todos los errores de resta y, por lo tanto, es el error sistemático más frecuente (Schipper, 1983; citado en Padberg y Benz, 2021). Wartha y Schulz (2014) demuestran que este error se correlaciona de manera fiable con una comprensión deficiente del valor posicional.

Basándose en estos errores comunes, la aplicación adaptó específicamente los impulsos y las predicciones para cada paso y, además, los visualizó para abordar dichos errores y conceptos erróneos, y ofrecer oportunidades de aprendizaje para superar estos conceptos erróneos a través de redes representacionales.

Errores de procedimiento

Surge un obstáculo aparte cuando los niños se expanden y se separan. mezcla. Este error se produce empíricamente cuando los libros de texto y el apoyo en el hogar utilizan métodos diferentes (Schipper 2009). Esto se debe en parte a que muchos padres aún recuerdan el método de extensión, mientras que a sus hijos ahora se les enseña predominantemente el método de desagregación (Padberg y Benz 2021).

Ampliación versus desagregación: Un debate didáctico específico de cada materia.

Los dos métodos de resta que se utilizan habitualmente en las escuelas primarias alemanas han sido objeto de un polémico debate durante décadas. La situación actual se puede resumir de la siguiente manera:

Desagregación (método de extracción)

Lógica de la justificación: El siguiente dígito más alto del minuendo se reduce en uno; la unidad prestada se agrega a la columna actual como diez unidades.

Fortalecer (Padberg y Benz 2021; Krauthausen 2018; Ministerio del Estado de Baviera 2024):

  • Conexión directa con la actividad material enactiva: Una varilla de diez se divide en diez cubos de uno.
  • Lógica coherente: solo cambia el minuendo, el sustraendo permanece igual.
  • El endeudamiento en cascada puede representarse como un movimiento espacial.

Debilitar:

  • La notación ("tachar las decenas, escribir -1 al lado") se vuelve confusa, especialmente cuando se pide prestado varias veces.
  • Para tareas como 1000 − 1 Una unidad debe propagarse en cascada a través de tres lugares.

Expansión (proceso de recarga)

Lógica de la justificación: La constancia de la diferencia: Si se suma el mismo valor a ambos números (10 unidades = 1 decena), la diferencia permanece igual.

Fortalecer (Schipper 2009; Padberg y Benz 2021):

  • Anotación limpia, sin tachaduras.
  • Conexión con el añadir ("¿6 más cuánto es 13?"), lo cual es cognitivamente más accesible para muchos niños que la resta.

Debilitar:

  • La justificación ("sumamos 10 en la parte superior y tenemos que compensarlo en la parte inferior") es compleja y más difícil de demostrar con el material real. Selter (1995) describe esta discrepancia entre la operación real y la registrada como típica. Trampa de ficción.

La aplicación ofrece visualizaciones para ambos métodos, facilitando así su comprensión. En el método de desagregación, se tacha una ficha del siguiente valor posicional superior, quedando 10 fichas del siguiente valor posicional inferior. En el método de extensión, se añade una "ficha menos" (ficha que desaparece/hueco) y, para compensar, se añaden 10 fichas de posiciones inferiores.

Implementación en la aplicación: Decisiones de diseño didáctico

Las siguientes decisiones de diseño se basan en los principios didácticos específicos de la materia que se han descrito anteriormente.

Múltiples representaciones sincrónicas

La decisión didáctica central es la acoplamiento síncrono Múltiples niveles de representación: cada acción (cambiar un dígito, realizar un paso) afecta simultáneamente la notación, las fichas 2D o los dienes 3D y la descripción lingüística. Esto es precisamente lo que Bruner (1966) describe como cambio representacional y lo que Krauthausen (2018) identifica como la tarea central del software de aprendizaje digital: no la animación como un fin en sí misma, sino estructuralmente idénticos Animando las relaciones matemáticas.

Las persianas enrollables situadas encima de cada panel permiten a los profesores seleccionar uno El objetivo es ocultar un nivel y obligar a los niños a traducir desde los demás. Esto se corresponde con el requisito de la didáctica operativa (Wittmann y Müller, 1990 y ss.) de exigir activamente y anticipar cada vez más los cambios en la representación. Esto permite una amplia variedad de tareas dadas y requeridas.

Elección explícita del procedimiento

Dado que los planes de estudio federales y estatales prefieren procedimientos diferentes, la aplicación ambos procedimientos como opciones igualmente válidas. Esto también resuelve el obstáculo de la mezcla mencionado en el apartado 4.3: los profesores pueden establecer el procedimiento de su propio libro de texto y, al mismo tiempo, hacer visible el procedimiento alternativo para fines comparativos como una posibilidad, ya que los niños a menudo no pueden asignar claramente su propia estrategia mental a un procedimiento específico.

La salida de voz como lenguaje modelo

La salida de voz utiliza consistentemente Términos técnicamente correctosSe utilizan las palabras „agrupar“, „desagrupar“, „llevar“, „minuendo“ y „sustraendo“. Esto transforma el algoritmo en una secuencia explicativa que los niños pueden usar como guía lingüística. Pueden usar este modelo lingüístico como plantilla para traducirlo a sus propias palabras. Esto corresponde al principio QuaMath. Fomentar la comunicación (QuaMath 2024) y el de Definitivamente puedo hacer matemáticaspráctica propagada, Verbalización tratar como una parte central de la comprensión matemática (Selter et al. 2014).

Tareas de predicción

La opción pronóstico Antes de cada paso, el Predecir-Observar-Explicar-formato de enseñanza de las ciencias (White & Gunstone 1992). En lugar de una simple animación que se observa, cada paso está enmarcado por preguntas apropiadas: ¿Qué está pasando aquí? ¿Qué debo hacer aquí? ¿Cuál de los distractores es plausible pero falso?

Los elementos distractores de la aplicación reflejan deliberadamente las estrategias de error documentadas, por ejemplo „"el mayor menos el menor"“, acarreo olvidado, valores posicionales invertidos, confusión procedimental, basado en la literatura de análisis de errores (Schipper 1983, 2009; Padberg y Benz 2021; Wartha y Schulz 2014; KIRA 2024). Esto da como resultado un Activación cognitiva (QuaMath 2024) tendrá lugar.

Generador de tareas y dificultad adaptativa

El generador de tareas ofrece varios niveles de dificultad y, en modo "adaptativo", ajusta la dificultad de la siguiente tarea ofrecida ("generada") en función de la tasa de éxito de la predicción.

Acción virtual: Desafiando la relación entre representaciones

Durante ciertas fases (colocación del arrastre, introducción de la corrección de expansión), la pregunta de opción múltiple se reemplaza por una Tarea de consejos Se sustituye el material o la notación. El niño señala directamente la columna correcta y, por lo tanto, trabaja a nivel icónico-simbólico.

Limitaciones, necesidades de investigación y recomendaciones prácticas

Por muy diversas que sean las posibilidades de la aplicación, no reemplaza la material tangible (Cubo Dienes que puedes tocar) y eso Hablando de matemáticas en el espacio social de la clase. Krauthausen (2018, pág. 215 y ss.) señala que las animaciones digitales mejoran la experiencia háptica. añadir, No puede sustituir la instrucción oral. Lo mismo ocurre con el trabajo oral: la comunicación sobre matemáticas es esencial y no se puede delegar (QuaMath 2024). Sin embargo, la aplicación puede utilizarse como complemento, especialmente para la práctica independiente y en el marco de tareas de investigación (algunas ideas están incluidas en la aplicación).

literatura

  • Barzel, B., Gasteiger, H., Greefrath, G., Maritzen, N., Nührenbörger, M. y Stanat, P. (2023). Desarrollo ulterior de los estándares educativos en matemáticas para la educación primaria y secundaria inferior. Comunicaciones de la Sociedad para la Didáctica de las Matemáticas. https://ojs.didaktik-der-mathematik.de/index.php/mgdm/article/view/1113
  • Bruner, JS. (1966). Hacia una teoría de la instrucción. Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Krauthausen, G. (2018). Introducción a la didáctica de las matemáticas — Educación primaria (4.ª ed.). Berlín/Heidelberg: Springer Spektrum.
  • Padberg, F. y Benz, C. (2021). Didáctica de la aritmética: bien fundamentada, versátil y práctica. (5ª ed.). Berlín/Heidelberg: Springer Spektrum.
  • Predicador, S. (2024). „Las matemáticas no tienen por qué ser dolorosas“. Artículo publicado en el Portal Escolar Alemán. https://deutsches-schulportal.de/expertenstimmen/susanne-prediger-didaktik-mathematik-muss-nicht-wehtun/
  • Prediger, S. y Selter, C. (2014). Actualización en la enseñanza de las matemáticas: perspectivas actuales para la investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje y la formación del profesorado.. https://wwwold.mathematik.tu-dortmund.de/prediger/veroeff/14-FuCo-Prediger-Selter.pdf
  • Schipper, W. (1983). Errores típicos de los estudiantes al restar números naturales por escrito. Universidad de Bielefeld. https://pub.uni-bielefeld.de/record/1775198
  • Schipper, W. (2009). Manual para la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Braunschweig: Schroedel.
  • Selter, C. (1995). Sobre la naturaleza ficticia de la "hora cero" en la enseñanza temprana de la aritmética. Práctica de la enseñanza de las matemáticas, 16(2), 11–19.
  • Selter, C., Prediger, S., Nührenbörger, M. y Hußmann, S. (eds.) (2014). Dominar las matemáticas con confianza: un concepto de diagnóstico y apoyo para afianzar las habilidades matemáticas básicas. Módulo temático „Números naturales“. Berlín: Cornelsen.
  • Wartha, S. y Schulz, A. (2014). Prevención de problemas de cálculo (2ª ed.). Berlín: Cornelsen.
  • White, R. y Gunstone, R. (1992). Profundizando en la comprensión. Londres: Falmer Press.
  • Wittmann, E. Ch. y Müller, GN. (1990 y siguientes). Manual de ejercicios aritméticos productivos, Volúmenes 1 y 2. Stuttgart: Klett.

Documentos de política educativa

Plataformas en línea y programas de financiación