ウルフアプリ

筆算

筆算による足し算と引き算を、理解を深めながら探求するためのアプリ。.

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筆算
開発者: クリスチャン・ウルフ
価格: 0,99 €

このアプリは、各請求書を複数の表示形式で同時に表示します。

  • 表記法：ノートに書かれている通りの、数字、繰り上がり、繰り下がりを含む古典的な位取り表。.
  • プレート：各位の値がそれぞれ独立した列として表され、タイルが束ねられたり束ねられていない状態になると視覚的に移動する、2次元の位取り表。.
  • ディーンズ3D立方体、棒、板、そして千個の立方体で構成された等角投影図。これにより、位取りの空間的な関係が一目でわかる。10は1の10倍、100は10の10倍である。.
  • 言語サポートすべての手順には、書面と音声出力の両方による音声ガイダンスが付随します。

表記の数字を変更すると、他の表現にも即座に対応する変化が表示されます。束ねたりほどいたりするプロセスは、説明されるだけでなく、アニメーションでも示されます。10個の1は1つの10に束ねられ、100の平らな部分は10本の10の棒にほどかれます。.

減算法

このアプリは、ドイツで一般的に使用されている2つの引き算方法に対応しています。

  • アンバンドリング （減算方法）：被減数の次の桁から1を引いて、現在の桁に10を加算します。.
  • 拡大する （穴埋め方式）：次の桁の減数に1を加え、被減数は変更しません。.

どちらの方法も、同じタスクコンテキスト内で切り替えることができます。難しい方の方法でも同様です。 カスケードアンバンドリング （例えば、at） 900 − 191, （借りたユニットが複数の場所を移動しなければならない）は完全にアニメーション化され、ナレーションも付いています。.

予測タスク

オプションとして、アプリは各ステップの前に複数選択式の質問を表示したり、表現に対して直接的なアクションを要求したりすることができます。 „「次に何が起こるのか？」“ 子どもは次のステップを予測します。アプリはその後にのみそのステップを実行します。意図的に、注意をそらす要素として、「大きい数から小さい数を引く」といった典型的な誤解や、繰り上がりの計算を忘れてしまうといった例が用いられています。.

教育的背景

教育政策の枠組み

2022年に改訂されたKMK（教育文化大臣常設会議）数学基準の採択以来、筆算方法に対する教育上の重点は大きく変化した。2004年の基準では筆算アルゴリズムが小学校における中心的な能力領域として位置づけられていたが、新しい基準では… 半筆算術 そして、記述された手順に基づいて関数を割り当てます。重要な変更点は、数学教育学会による付随記事（Barzel et al. 2023）で説明されています。私たちの質問に特に関連する点は次の3つです。

  1. 半筆算がますます普及しつつある。. 半文書化された戦略は、子どもたちが計算を構造化し、中間段階を視覚化し、自身の思考プロセスを理解するための前提条件として理解されています。文書化されたアルゴリズムは、この基礎がしっかりと確立されてから初めて導入されます（KMK 2022; 実施要旨 KMK 2023）。.
  2. 理解こそが指針となる。. „「自動化する前に理解する」という原則は、導入に関するパンフレットにプログラムとして組み込まれています。.

連邦州はこれを一貫性なく実施している。バイエルン州 カリキュラムプラス 例えば、小学校では、引き算について以下のように明示的に記述されています。 演繹法 （＝アンバンドリング）し、百のプレート、十の棒、一の棒を主要な教材として挙げている（バイエルン州教育文化省 2024）。一方、ノルトライン＝ヴェストファーレン州のカリキュラムでは、手順の選択は自由であり、決定は学校に委ねられている（PIKAS 2024）。.

これは、全国的に使用できる学習ソフトウェアを意味します。 両方の手順 それぞれの教科書と関連付けるためには、少なくともそれを表現できる必要がある。さらに、これにより、2つの方法を比較検討し、理解を深めることも可能になる。.

「理解重視」とはどういう意味ですか？

この概念は2010年代後半からドイツの数学教育の中心となっており、特にスザンネ・プレディガーとクリストフ・セルター（ドルトムント工科大学）によって発展させられた（Prediger & Selter 2014; Selter et al. 2014）。理解重視の数学教育は、相互に関連する3つの特徴によって特徴づけられる。

  • 計算よりもアイデアを優先する。. 正式な算術規則を導入する前に、数と演算に関する確かな理解を確立する必要がある。この基礎があって初めて、手順を体系化することができる（Prediger & Selter 2014）。.
  • 代表者の交代が頻繁に繰り返される。. 概念と操作は、複数の表現レベル（具体物、図像、象徴、言語）にわたって相互に関連しており、子どもたちはレベルを切り替える際に、自身の考えを検証し、洗練させることができる。.
  • 構造的、数学内部の概念。. この推進は、応用場面を奨励するだけでなく、例えば位取り記数法の束ね論理（Prediger 2024）のような数学的構造の認識も目的としている。.

したがって、このアプリは、 アイデアを構築する そして 代表者の変更を要求する これは助けとなり、コミュニケーション処理のモデルとなる言語的サポートをもたらす。.

文書化された手順をバンドル手順として扱う

記述されたアルゴリズムは、 小数点以下の位取りシステム 派生。位取り表の各列はグループ化のレベルを表します。筆算による加算は、列ごとに2つのステップで行われます。まず合計を足し合わせ、列の合計が10以上になった場合は、次の高い位の単位にグループ化します。コピーとは、このグループ化を書き留めることです（Padberg & Benz 2021、第8章）。.

筆算による引き算は2段階のプロセスです。まず、最上位の位の単位を比較し、最上位の位の単位が不足している場合は、次の上位の位の単位を現在の桁の10の単位として利用できるようにします。この操作を被減数を減らす（「アンバンドリング」）か、減数を増やして被減数に10を加える（「拡張」）かは手順の問題ですが、数学的にはどちらも同等です（Padberg & Benz 2021）。.

子供たちがこの論理を真に理解し、単に列の数字で無思慮に計算するのではなく、 バンドルに関する理解 記号を用いて（純粋に）象徴的に作業する前に、能動的かつ象徴的なレベルで作業を行う。.

典型的な理解の障壁

追加

科目別の教授法に関する文献では、筆算の足し算に関する以下の誤り訂正戦略が主に記録されています（ピカス (2024) およびパドベルグ & ベンツ (2021)):

  • 分離エラーまたは完全な転写エラー子供は、桁を足し算し（例：8 + 7 = 15）、5と書いて1を繰り上げるのではなく、2桁の数字全体を1の位に書きます。.
  • 送金を忘れた列は正しく追加されますが、前の列からの繰り越し値が含まれません。.
  • ゼロの不適切な処理: 列 0 誤解されている (例:. 0 + n = 0)、またはゼロへの繰り上がりは行われません。.
  • 位取りの逆転オペランドの桁数が異なる場合、桁は右揃えではなく左揃えで上下に並べて表示されます。.

引き算

引き算では、障害となるものの範囲が著しく広くなります。最も一般的な誤りは次のとおりです（KIRA 2024）。

  1. 送金に関する問題 （繰り越しは入力されていません、空欄への繰り越しはありません、繰り越しが1つ多すぎます）。.
  2. ゼロによるエラー （「0 − x = 0」、「x − 0 = 0」、0 を超える繰り上がりや繰り上がりなし）。.
  3. 計算方向の誤差 （左から右へ数える）.
  4. 作戦逆転 （引き算ではなく足し算）.
  5. 列ごとの差分「大きい値マイナス小さい値」„ 最も一般的な系統誤差として。.
  6. 重要性の誤った理解.
  7. 複数のプロセスを組み合わせる 例えば、同じタスク内で拡張とアンバンドリングを同時に適用する場合など。.
  8. 1+1エラー （列自体に番号の誤りがあります。）.

頻度 „「大きい値から小さい値を引く」誤差. ビーレフェルト地方の31の4年生クラスを対象とした大規模な調査で、Schipperは1983年の時点で、このエラーが減算エラー全体の約30%を占め、最も頻繁に発生する系統的エラーであることを明らかにしました（Schipper 1983; Padberg & Benz 2021に引用）。Wartha & Schulz（2014）は、このエラーが位取りの理解の弱さと確実に相関していることを示しています。.

これらのよくある誤りに基づいて、アプリは各ステップのインパルスと予測を具体的に調整し、さらにそれらを視覚化することで、そのような誤りや誤解に対処し、表現ネットワークを通じてこれらの誤解を克服するための学習機会を提供します。.

手続き上の混乱

子供たちが成長し、それぞれの個性を解き放つとき、また別の障害が生じる。 ミックス. このエラーは、教科書と家庭学習支援で異なる方法が用いられる場合に経験的に発生します（Schipper 2009）。これは、多くの親が依然として拡張学習法を覚えている一方で、子供たちは現在、主にアンバンドリング学習法を教えられていることが一因です（Padberg & Benz 2021）。.

拡張か分割か：教科別教育法論争

ドイツの小学校で一般的に用いられている2つの引き算の方法は、数十年にわたり議論の的となってきた。現状は以下のように要約できる。

アンバンドリング（プル方式）

正当化の論理： 被減数の次の桁から1を引いた数。借りた単位を現在の桁に10単位として加算する。.

強化する （パドベルク＆ベンツ 2021; クラウトハウゼン 2018; バイエルン州政府 2024）

  • 物質的な活動に直接結びつく例：10本の棒を10個の1立方体に分割する。.
  • 論理的に一貫している。減数だけが変化し、減数は同じままである。.
  • 連鎖的な借入は、空間的な移動として表現することができる。.

弱める：

  • 「十の位を消して、その横に-1を書く」という表記は、特に複数回繰り下がりを行う場合に混乱を招く。.
  • 次のようなタスクの場合 1000 − 1 ユニットは3箇所にまたがって配置されなければならない。.

拡張（補充プロセス）

正当化の論理： 差の不変性：両方の数に同じ値を加えると（10個の1＝1個の10）、差は変わりません。.

強化する (シッパー 2009; パドベルグ & ベンツ 2021):

  • 整然とした表記、削除なし。.
  • 接続先 に追加 （「6に足すと13はいくつ？」）は、多くの子供にとって引き算よりも認知的に理解しやすい。.

弱める：

  • 「上部に10を加えるので、下部でその分を補わなければならない」という論理は複雑で、実際の材料を使って実証するのはより困難です。セルター（1995）は、材料の操作と記録された操作との間のこの不一致を典型的なものとして説明しています。 フィクションの罠.

このアプリは、両方の方法を理解しやすくするために、視覚的な表示を提供しています。アンバンドリング方式では、次の高い位のタイルが消され、次の低い位のタイルが10個残ります。拡張方式では、「マイナスタイル」（消えるタイル／穴）が追加され、その分、低い位のタイルが10個追加されます。.

アプリへの実装：教育設計上の決定

以下の設計上の決定は、上記で概説した教科固有の教育原則に基づいています。

複数の表現が同期的に

中心的な教訓的決定は 同期結合 複数の表現レベル: すべてのアクション (数字の変更、ステップの実行) は、表記法、2D タイルまたは 3D ディーン、および言語的記述に同時に影響します。これはまさにブルーナー (1966) が表現シフトと表現し、クラウトハウゼン (2018) がデジタル学習ソフトウェアの中心的なタスクとして特定しているものです。アニメーション自体が目的ではなく、 構造的に同一 数学的な関係性をアニメーション化する。.

各パネルの上にあるローラーシャッターにより、教師は選択的に 1つ その目的は、あるレベルを隠蔽し、子どもたちに他のレベルから翻訳させることにある。これは、能動的に表現の変化を要求し、ますます予測していくという、操作的教育学（Wittmann & Müller 1990 ff.）の要求に合致する。これにより、多様な既知課題と要求課題が可能となる。.

手続きの明示的な選択

連邦州のカリキュラムは異なる手順を好むため、アプリ 両方の手順 これらを同等に有効な選択肢として扱うことができます。これは、4.3で述べた混合のハードルにも対処します。教師は独自の教科書の手順を設定すると同時に、比較のために代替の手順も可能性として示すことができます。なぜなら、子どもは自分の思考戦略を特定の手順に明確に割り当てられないことが多いからです。.

音声出力をモデル言語として用いる

音声出力は一貫して 技術的に正しい用語「まとめる」「取り出す」「繰り上がり」「被減数」「減数」といった言葉が使われています。これにより、アルゴリズムは子どもたちが言語的な手引きとして使える説明的な手順へと変換されます。子どもたちはこの言語モデルをテンプレートとして、自分の言葉で翻訳することができます。これはQuaMathの原理に合致しています。 コミュニケーションの促進 （QuaMath 2024）と 数学は間違いなくできる普及した実践, 言語化 数学的理解の中心的な部分として扱う（Selter et al. 2014）。.

予測タスク

オプション 予報 各ステップの前に、 予測・観察・説明科学教育の形式（ホワイト＆ガンストーン 1992）。単にアニメーションを見るのではなく、各ステップは適切な質問によって構成されています。 ここで何が起こっているのですか？ここで何をすればいいのですか？どれがもっともらしく見えるが、実際には間違っている選択肢ですか？

アプリの妨害要素は、例えば、文書化されたエラー戦略を意図的に反映しています。 „「大きい方から小さい方を引く」“, エラー分析文献に基づくと、繰り上がりの忘れ、位取りの反転、手続き上の混乱などが生じる。(Schipper 1983, 2009; Padberg & Benz 2021; Wartha & Schulz 2014; KIRA 2024)。 認知活性化 （QuaMath 2024）が開催されます。.

タスク生成器と適応型難易度

タスク生成機能は複数の難易度レベルを提供し、「適応型」モードでは、予測成功率に基づいて次に提示される（「ロールアウトされる」）タスクの難易度を調整します。.

仮想アクション：表現間の関係性への挑戦

特定のフェーズ（繰り越し、拡張修正の入力）では、多肢選択問題は ヒントタスク 教材や表記法が置き換えられます。子どもは正しい列を直接指し示すことで、図像的・記号的なレベルで学習を進めます。.

限界、研究ニーズ、および実践的な提言

アプリの可能性は多岐にわたるが、 有形物 （触れることができるディーンズキューブ）そして 数学について話す 授業という社会的空間において、クラウトハウゼン（2018年、215頁以降）は、デジタルアニメーションが触覚体験を向上させると指摘している。 に追加, 口頭指導に取って代わることはできません。口頭での学習についても同様で、数学に関するコミュニケーションは不可欠であり、委任することはできません（QuaMath 2024）。しかし、このアプリは補助教材として、特に自主学習や研究課題の枠組みの中で活用できます（アプリにはいくつかのアイデアが含まれています）。.

文学

  • Barzel、B.、Gasteiger、H.、Greefrath、G.、Maritzen、N.、Nührenbörger、M.、スタナット、P. （2023年）初等教育および前期中等教育における数学の教育基準のさらなる発展。. 数学教授学会通信. https://ojs.didaktik-der-mathematik.de/index.php/mgdm/article/view/1113
  • ブルーナー、JS. (1966). 指導理論に向けて. ケンブリッジ、マサチューセッツ州：ハーバード大学出版局。.
  • クラウトハウゼン、G. (2018). 数学教育法入門 ― 小学校 （第4版）。ベルリン／ハイデルベルク：シュプリンガー・スペクトラム。.
  • パドバーグ、F. & ベンツ、C. (2021). 算術の教授法 ― しっかりとした根拠に基づき、多用途で、実践的 （第5版）。ベルリン/ハイデルベルク: Springer Spektrum。.
  • 説教者、S. （2024年）「数学は苦痛である必要はない」。ドイツの学校ポータルサイトに掲載された記事。. https://deutsches-schulportal.de/expertenstimmen/susanne-prediger-didaktik-mathematik-muss-nicht-wehtun/
  • プレディガー、S. & セルター、C. (2014). 数学教育最新情報 ― 教育と学習研究および教員養成に関する最新の視点. https://wwwold.mathematik.tu-dortmund.de/prediger/veroeff/14-FuCo-Prediger-Selter.pdf
  • シッパー、W. (1983). 自然数の筆算による引き算における典型的な生徒の誤り. ビーレフェルト大学。. https://pub.uni-bielefeld.de/record/1775198
  • シッパー、W. (2009). 小学校における数学指導のためのハンドブック. ブラウンシュヴァイク：シュレーデル。.
  • セルター、C. （1995年）初期算数教育における「ゼロ時間」の虚構性について。. 数学教育実践, 、16(2)、11–19。.
  • セルター、C.、プレディガー、S.、ニューレンベルガー、M.、フスマン、S. (編著) (2014). 自信を持って数学をマスターする ― 基本的な数学スキルを確実に身につけるための診断とサポートの概念。. テーマ別モジュール「自然数」。ベルリン：コルネルゼン。.
  • ワルタ、S. & シュルツ、A. (2014). 計算上の問題を防止する （第2版）。ベルリン：コルネルゼン。.
  • ホワイト、R. & ガンストーン、R. (1992). 理解を深める. ロンドン：ファルマー・プレス。.
  • ウィットマン、E. Ch. およびミュラー、GN. （1990年以降）. 生産的な算術演習ハンドブック, 第 1 巻と第 2 巻。シュツットガルト: クレット。.

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