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笔算

Eine App für die verständnisorientierte Erkundung der schriftlichen Addition und Subtraktion.

App-Icon Schriftlich Rechnen
克里斯蒂安·乌尔夫 · iPad
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该应用程序以多种形式同时显示每张发票：

  • 符号：经典的位值表，包含数字、进位和减位，就像在笔记本上写的那样。.
  • 盘子：一种二维位值表，其中每个位值都用自己的一列表示，并且捆绑或解绑时，方块会明显移动。.
  • 二烯3D这是一个由立方体、棒状物、板状物和数千个立方体组成的等距视图。它使位值之间的空间关系一目了然——10 是 1 的十倍，100 是 10 的十倍。.
  • 语言支持每一步都有书面和语音两种形式的指导。

符号中任何一个数字的改变，都会立即反映在其他表示形式中的相应变化。捆绑和解捆绑的过程不仅有文字描述，还有动画演示。十个一捆绑成一个十，一百张纸可以解捆绑成十根十的纸条。.

减法

该应用程序支持德国常用的两种减法方法：

  • 解绑 （减法）：被减数的次高位数字减 1，当前列加 10 个单位。.
  • 扩张 （填空法）：减数在下一列中加 1，被减数保持不变。.

两种方法可以在同一任务情境下切换使用，即使是最困难的任务也不例外。 级联式解绑 （例如，在） 900 − 191, 其中，借来的单位必须穿越多个地点）完全由动画和旁白组成。.

预测任务

Optional kann die App vor jedem Schritt eine Multiple-Choice-Frage stellen, oder das Kind muss direkt an den Repräsentationen handeln: „Was passiert als Nächstes?“ Das Kind sagt den nächsten Schritt vorher. Die App führt den Schritt erst danach aus. Die Distraktoren bilden bewusst typische Fehlvorstellungen ab, etwa „das Größere minus das Kleinere“ oder den vergessenen Übertrag.

教学背景

教育政策框架

Die schriftlichen Rechenverfahren sind seit der Verabschiedung der weiterentwickelten KMK-Bildungsstandards Mathematik 2022 deutlich anders didaktisch akzentuiert. Während die Bildungsstandards von 2004 die schriftlichen Algorithmen als zentralen Kompetenzbereich der Grundschule auswiesen, betonen die neuen Standards stärker das 半书写算术 und ordnen den schriftlichen Verfahren eine darauf aufbauende Funktion zu. Die wesentlichen Änderungen werden in einem Begleitartikel der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik (Barzel et al. 2023) ausgeführt. Zwei Punkte sind für unsere Frage besonders relevant:

  1. 半书写式算术越来越普遍。. 半书面策略被认为是儿童学习构建自己的计算框架、可视化中间步骤以及理解自身思维过程的先决条件。只有在这些基础牢固之后，才会引入书面算法（KMK 2022；实施手册 KMK 2023）。.
  2. 理解成为指导原则。. „Verstehen vor Automatisieren“ wird in der Implementierungsbroschüre programmatisch aufgenommen.

Die Bundesländer haben dies uneinheitlich umgesetzt. Der bayerische 课程PLUS 例如，对于小学来说，减法的具体形式如下： 扣除法 （= 解构）并将数百个盘子、数十根杆和一列为关键教学材料（巴伐利亚州教育和文化事务部 2024）。另一方面，北莱茵-威斯特法伦州的课程则将程序选择权留给了学校，并将决定权下放给了学校（PIKAS 2024）。.

这意味着一款可以在全国范围内使用的学习软件。 两种手术 zumindest darstellen können muss, um den Anschluss an das jeweilige Schulbuch zu erlauben. Darüber hinaus lassen sich dadurch sogar beide Verfahren vergleichend und verstehensorientiert untersuchen.

Was heißt „Verstehensorientierung“?

自2010年代后半期以来，这一概念一直是德国数学教育的核心，尤其由苏珊娜·普雷迪格和克里斯托夫·塞尔特（多特蒙德工业大学）发展完善（Prediger & Selter 2014; Selter et al. 2014）。理解导向型数学教学的特点是三个相互关联的特征：

  • 思想优先于计算。. 在引入正式的算术规则之前，必须先建立对数字和运算的透彻理解。只有在此基础上，才能将程序简化为模式（Prediger & Selter 2014）。.
  • 表征方式的持续变化。. 概念和运算在多个表征层次（具体、图像、符号、语言）上相互关联，使儿童能够在不同层次之间切换时检验和完善自己的想法。.
  • 结构性的、数学内部的概念。. 该推广活动不仅旨在激发应用情境，而且还旨在认识数学结构，例如位值系统的捆绑逻辑（Prediger 2024）。.

Die App ist deshalb als ein Werkzeug konzipiert, das in diesem Sinne hilft, Vorstellungen aufzubauen 和 Repräsentations­wechsel einzufordern, und das eine sprachliche Begleitung mitbringt, die als Modell für die kommunikative Bearbeitung dient.

书面程序作为捆绑程序

所编写的算法直接取自…… 十进制位值制 推导过程。位值表的每一列代表一个分组级别；因此，书写加法是按列分两步进行的：先将各列数字相加，如果该列数字之和大于等于 10，则将该列数字分组为更高一位数的单位。抄写就是简单地写下这个分组（Padberg & Benz 2021，第 8 章）。.

Das schriftliche Subtrahieren ist zwei­schrittig: vergleichen, und falls die obere Stelle nicht ausreicht, eine Einheit der nächsthöheren Stelle als zehn Einheiten der aktuellen Spalte verfügbar machen. Ob dies durch Reduktion des Minuenden („Entbündeln“) oder durch Erhöhung des Subtrahenden plus Aufstockung des Minuenden um zehn („Erweitern“) geschieht, ist eine Verfahrens­frage; mathematisch sind beide äquivalent (Padberg & Benz 2021).

Damit Kinder diese Logik tragfähig erfassen und nicht nur verständnislos mit Ziffern in Spalten rechnen, brauchen sie ein 理解捆绑销售 在具身认知和图像认知层面，它们（纯粹地）以符号的方式进行符号化工作。.

典型的理解障碍

添加

学科教学文献主要记录了以下几种书面加法错误策略（皮卡丘 2024; Padberg & Benz 2021):

  • 分离或完全转录错误孩子将列相加（例如，8 + 7 = 15），并将整个两位数写在个位上，而不是写 5 并进位 1。.
  • 忘记转账了列添加正确，但未包含上一列的延续值。.
  • 对零的处理不正确：列 0 被误解（例如：. 0 + n = 0），或者不执行进位到零的操作。.
  • 位值反转当操作数的位数不同时，数字要上下左对齐而不是右对齐。.

减法

减法运算中出现的障碍范围要广泛得多。最常见的错误有（KIRA 2024）：

  1. 转会困难 （没有进位，没有进位到空位，进位过多）。.
  2. 错误率为零 („0 − x = 0“, „x − 0 = 0“, kein Übertrag zur oder über die Null).
  3. 计算方向误差 （从左到右计数）。.
  4. 操作互换 （用加法代替减法）.
  5. Spaltenweise Unterschiedsbildung „größere minus kleinere“ 这是最常见的系统误差。.
  6. 对重要性的错误理解.
  7. 混合多种工艺 — 例如，在同一任务中同时应用扩展和解绑。.
  8. 一加一错误 （列本身编号有误）。.

频率 „Größere minus Kleinere“-Fehlers. 在比勒费尔德地区31个四年级班级的大规模研究中，Schipper早在1983年就记录到，这种错误约占所有减法错误的30%，因此是最常见的系统性错误（Schipper 1983；引自Padberg & Benz 2021）。Wartha & Schulz (2014)的研究表明，这种错误与学生对位值的理解不足密切相关。.

In der App wurden basierend auf diesen häufigen Fehlern die Impulse und Vorhersagen für jeden Schritt gezielt angepasst und zusätzlich visuell verdeutlicht, um genau solche Fehler aufzugreifen, Fehlvorstellungen zu adressieren und durch die Repräsentationsvernetzung Lerngelegenheiten zu ihrer Überwindung anzubieten.

程序上的混乱

当孩子长大、独立时，又会出现另一个难题。 混合. 当教科书和家庭辅导采用不同的方法时，就会出现这种错误（Schipper 2009）。部分原因是许多家长仍然记得拓展教学法，而他们的孩子现在主要学习的是分解教学法（Padberg & Benz 2021）。.

Erweitern vs. Entbündeln: Eine fachdidaktische Debatte

德国小学常用的两种减法方法几十年来一直备受争议。目前的情况可以概括如下：

解绑（拉取法）

论证逻辑： 被减数的下一个最高位数字减 1；借入的单位作为 10 个单位添加到当前列中。.

加强 （Padberg & Benz 2021；Krauthausen 2018；巴伐利亚州政府 2024）：

  • 与实际物质活动直接相关：一根十杆被分成十个一立方体。.
  • 逻辑一致：只有被减数会改变，减数保持不变。.
  • 级联借贷可以表现为空间运动。.

削弱：

  • Die Notation („Zehner durchstreichen, daneben −1 schreiben“) wird unübersichtlich, vor allem bei mehrfachem Borgen.
  • 对于诸如此类的任务 1000 − 1 一个单元必须级联到三个地方。.

膨胀（补充过程）

论证逻辑： 差的恒定性：如果将相同的值加到两个数上（10 个一 = 1 个十），则差保持不变。.

加强 （Schipper 2009；Padberg 和 Benz 2021）：

  • 干净的记谱，没有删除任何内容。.
  • 连接到 添加 („6 plus wieviel sind 13?“), das für viele Kinder kognitiv zugänglicher ist als das Abziehen.

削弱：

  • Die Begründung („wir geben oben 10 dazu und müssen das unten ausgleichen“) ist anspruchsvoll und am gegenständlichen Material schwerer zu zeigen. Selter (1995) bezeichnet diese Diskrepanz zwischen Material-Operation und notierter Operation als typische 虚构陷阱.

In der App werden für beide Verfahren Visualisierungen angeboten, um sie verständlicher zu machen. Beim Entbündeln wird ein Plättchen der nächsthöheren Stelle durchgestrichen und wird zu 10 Plättchen der nächstniedrigeren Stelle. Beim Erweiterungsverfahren wird ein „Minusplättchen“ (Verschwindeplättchen/Loch) hinzugefügt und als Ausgleich daraus 10 Plättchen der niedrigeren Stellen hinzugefügt.

应用内实现：教学设计决策

Die folgenden Designentscheidungen orientieren sich an den oben skizzierten fachdidaktischen Prinzipien.

多种表示形式同步

核心的教学决策是 同步耦合 mehrerer Darstellungs­ebenen: jede Aktion (eine Ziffer ändern, einen Schritt ausführen) wirkt simultan auf Notation, 2D-Plättchen oder 3D-Dienes und sprachliche Beschreibung. Das ist genau das, was Bruner (1966) als Repräsentations­wechsel beschreibt und was Krauthausen (2018) als zentrale Aufgabe digitaler Lern­software nennt: nicht Animation als Selbstzweck, sondern 结构相同 将数学关系生动地展现出来。.

每个面板上方的卷帘门允许教师选择性地 一 其目的是隐藏一个层次，迫使儿童从其他层次进行转换。这符合操作性教学法（Wittmann & Müller 1990 ff.）的要求，即积极要求并逐步预测表征的转变。这使得各种既定任务成为可能。.

明确选择程序

由于联邦和州课程设置偏好不同的程序，因此该应用程序 两种手术 als gleichberechtigte Optionen bereit. Das adressiert auch die oben genannte Vermischungs-Hürde: Lehrkräfte können das Verfahren des eigenen Schulbuchs einstellen und gleichzeitig das alternative Verfahren zu Vergleichs­zwecken sichtbar machen als eine Möglichkeit, weil Kinder ihre eigene mentale Strategie oft nicht klar einem Verfahren zuordnen können.

语音输出作为模型语言

语音输出始终如一 技术上正确的术语: „bündeln“, „entbündeln“, „Übertrag“, „Minuend“, „Subtrahend“. Sie macht den Algorithmus zu einer Erklär-Sequenz, an der sich die Kinder sprachlich orientieren können. Sie können das Sprachvorbild als Modell nutzen, das sie in eigene Worte übersetzen. Dies entspricht dem QuaMath-Prinzip 促进沟通 （QuaMath 2024）和其中之一 数学肯定没问题。 传播实践, 口头表达 将其视为数学理解的核心部分（Selter 等人，2014）。.

预测任务

可选 预报 在每个步骤之前， 预测-观察-解释-科学教育的一种形式（White & Gunstone 1992）。它并非仅仅是一段动画供人观看，而是每个步骤都配有相应的问题： 这里发生了什么？我该怎么办？哪个干扰项看似合理但却是错误的？

该应用程序的干扰项刻意反映了已记录的错误策略，例如 „das Größere minus das Kleinere“, 根据错误分析文献（Schipper 1983, 2009; Padberg & Benz 2021; Wartha & Schulz 2014; KIRA 2024），遗忘进位、位值颠倒、程序混乱等都会导致错误。这最终会导致…… kognitive Aktivierung （QuaMath 2024）举行。.

任务生成器和自适应难度

Der Aufgabengenerator bietet mehrere Schwierigkeits­stufen und passt im Modus „adaptiv“ die Schwierigkeit der als nächstes angebotenen („gewürfelten“) Aufgabe anhand der Vorhersage-Trefferquote an.

虚拟行动：挑战表征之间的关系

在某些阶段（例如放置结转数字、输入扩展修正项），多项选择题会被替换为 提示任务 材料或符号被替换。孩子直接指向正确的列，从而在图像符号层面进行学习。.

局限性、研究需求和实用建议

So vielfältig die Möglichkeiten der App sind, sie ersetzt weder das 有形物质 （你可以触摸的迪恩斯立方体） 谈论数学 在阶级的社会空间中。克劳特豪森（2018，第215页及后续页）指出，数字动画增强了触觉体验。 添加, nicht ersetzen. Dasselbe gilt für die mündliche Bearbeitung: Kommunikation über Mathematik ist essenziell und nicht delegierbar (QuaMath 2024). Die App kann aber ergänzend und vor allem zum selbstständigen Üben und im Rahmen von Forscheraufgaben (in der App sind einige Ideen hinterlegt) genutzt werden.

文献及其他资料

  • Barzel, B.、Gasteiger, H.、Greefrath, G.、Maritzen, N.、Nührenbörger, M. 和 Stanat, P. （2023）。进一步发展小学和初中数学教育标准。. 数学教学学会通讯. https://ojs.didaktik-der-mathematik.de/index.php/mgdm/article/view/1113
  • 布鲁纳，JS. (1966). 迈向教学理论. 马萨诸塞州剑桥：哈佛大学出版社。.
  • 克劳特豪森，G. (2018). 小学数学教学法导论 （第4版）。柏林/海德堡：施普林格光谱出版社。.
  • Padberg, F. 和 Benz, C. (2021). 算术教学法——理论扎实、用途广泛、实用性强 （第五版）。柏林/海德堡：Springer Spektrum。.
  • 传道者，S. (2024). „Mathematik muss nicht wehtun.“ Beitrag im Deutschen Schulportal. https://deutsches-schulportal.de/expertenstimmen/susanne-prediger-didaktik-mathematik-muss-nicht-wehtun/
  • Prediger, S. 和 Selter, C. (2014). 数学教育最新动态——教学研究与教师教育的最新视角. https://wwwold.mathematik.tu-dortmund.de/prediger/veroeff/14-FuCo-Prediger-Selter.pdf
  • 希珀，W. (1983). 学生在书写自然数减法时常犯的错误. 比勒费尔德大学。. https://pub.uni-bielefeld.de/record/1775198
  • 希珀，W. (2009). 小学数学教学手册. 布伦瑞克：施罗德尔。.
  • 塞尔特，C. （1995）。论早期算术教学中‚零点‘的虚构性。. 数学教学实践, ，16(2)，11-19。.
  • Selter, C.、Prediger, S.、Nührenbörger, M. 和 Hußmann, S.（编辑） (2014). 自信掌握数学——一种确保基本数学技能的诊断和支持理念。. Themenmodul „Natürliche Zahlen“. Berlin: Cornelsen.
  • Wartha, S. 和 Schulz, A. (2014). 防止计算问题 （第2版）。柏林：Cornelsen出版社。.
  • 怀特，R.和冈斯通，R. (1992). 深入理解. 伦敦：Falmer出版社。.
  • Wittmann, E. Ch. & Müller, GN. （1990 年及以后）。. 高效算术练习手册, 第 1 卷和第 2 卷。斯图加特：Klett。.

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