Zahlen als Zusammensetzungen verstehen.
幼児数学指導のための学習ウェブアプリ。作成、記録、,
10までの数の範囲で、集合を分解したり組み立てたりする。.

Link zur iOS-App kommt in Kürze (aktuell bei Apple in der Prüfung)

Webapp: dismantle.urff.app

対象読者： 小学校1年生向けの初期指導（支援および学習療法を含む）
数値範囲: 最大10

それはどんな内容ですか？

数字は単なる数列上の位置以上の意味を持つ。例えば、7は…
それらは全体として捉えることもできますが、5と2、4と3、あるいは6と1といった組み合わせとしても捉えることができます。こうした関係性を理解している人は、数字を柔軟に使いこなし、不足している部分を特定し、それぞれの結果を新たに数えるのではなく、既知の数の関係性から足し算や引き算の問題を導き出すことができるようになります。.

アプリ 分解する unterstützt Kinder dabei, dieses Teile-Ganzes-Verständnis als wichtige Grundlagev schrittweise aufzubauen. Im Mittelpunkt steht ein in Fünfer strukturierter Zehnerstreifen. Plättchen werden gelegt, Mengen auf einen Blick erfasst, durch einen verschiebbaren Trennstrich in zwei Teile zerlegt und wieder zu einem Ganzen zusammengesetzt. Die App verbindet dabei vier Zugänge:

• die Handlung am virtuellen Material (Hinzulegen und Wegnehmen, Strich verschieben)
• 構造化された数量イメージ、,
• 言語的記述と
• 数字と数式を用いた記号表現。.

子ども向けの指示やフィードバックはすべて音声で行われます。そのため、まだ文字が読めない子どもでもアプリを使用できます。数字の選択、タスクの範囲、話す速度、練習オプションは、教師用エリアで個々の学習レベルに合わせて調整できます。その他にも、子どもたちは…

• 10個の数字が並んだ帯に数量を配置し、対応する数字に割り当てます。,
• 5や10の構造を用いて、数えずに量を把握する能力を徐々に高めていく。,
• 全体を2つの部分に分割し、同じ数の異なる分解を見つけること。,
• 部分は変化する可能性があるが、全体は同じままであることを認識する。,
• 全体と既知の部分のうち、欠けている部分を特定するため、,
• 隠された数量を頭の中で補完する、,
• 素材、数量画像、数字トリオ、記号表記を切り替える、,
• 足し算を組み合わせ、引き算を部分を決定することとして理解するために、,
• 交換タスクと逆タスクを関連するタスクのファミリーとして認識し、
• 3つのゲームにおいて、理解した数の分解をますます自信を持って流暢に使いこなせるようになる。.

このアプリは主に小学校低学年教育、幼稚園から小学校への移行、および個別支援を目的として設計されています。また、特別支援学校、インクルーシブ教育グループ、学習療法、または家庭でも使用できます。.

教育的概念

1. 算術の基礎となる部分全体概念

Das Teile-Ganzes-Konzept bezeichnet die Einsicht, dass eine Menge oder Zahl auf verschiedene Weise in Teile zerlegt und aus diesen Teilen wieder zusammengesetzt werden kann. Dabei bleibt das Ganze erhalten, solange lediglich seine Aufteilung verändert wird. So ist 7 das Ganze; 5 und 2 sind Teile davon. Ebenso sind 4 und 3 Teile desselben Ganzen.

Diese Einsicht ist für ein relationales Zahlverständnis zentral. Zahlen werden nicht nur als aufeinanderfolgende Positionen – „sechs, sieben, acht“ – verstanden, sondern als miteinander verbundene Größen. Das Teile-Ganzes-Konzept bildet eine wesentliche Grundlage für Zahlbegriff, Addition, Subtraktion und spätere Rechenstrategien (Lenz und Wittmann 2023).

アプリでの実装： Punkte auf einem Zehnerstreifen zeigen stets die Menge ein Ganzes, die durch den roten Trennstrich in zwei sichtbare Teile gegliedert wird. Der Strich kann verschoben werden, ohne dass Plättchen hinzukommen oder verschwinden. So wird die Invarianz des Ganzen unmittelbar erfahrbar: Ein Teil wird um eins größer, während der andere um eins kleiner wird.

2. 厳密な計数ではなく、構造化された数量記録を行う。

Größere Anzahlen lassen sich sicherer erfassen, wenn sie in überschaubare Teilmengen gegliedert sind. Der Zehnerstreifen nutzt deshalb die パワー・オブ・ファイブ: Nach dem fünften Platz ist die Struktur deutlich markiert. Acht kann so als „fünf und drei“ oder als „zwei weniger als zehn“ gesehen werden. Die einzelnen Plättchen bleiben sichtbar, sollen aber zunehmend nicht mehr einzeln abgezählt werden.

Bei richtigen Lösungen hebt die App passende Fünfer- oder Zehnerbeziehungen visuell hervor und benennt sie sprachlich. Bei Fehlern zählt sie größere Mengen bewusst nicht einfach vor. Stattdessen pulsiert die Menge als Gruppe und die Aufmerksamkeit wird auf die Struktur gelenkt. Nur bei sehr kleinen Anzahlen, für die ein Fünfer- oder Zehneranker wenig hilfreich wäre, wird punktweise unterstützt. Diese Gestaltung greift die mathematikdidaktische Forderung auf, Mengen strukturiert wahrzunehmen und Zahlbeziehungen für die Ablösung vom zählenden Rechnen zu nutzen. Sie verhindert das Zählen nicht technisch – das wäre weder möglich noch sinnvoll –, macht aber wiederholt andere, langfristig tragfähigere Sichtweisen zugänglich.

3. Handeln, Bild, Sprache und Symbol verknüpfen

Das Verschieben eines Trennstrichs allein führt noch nicht automatisch zu einem mathematischen Verständnis. Entscheidend ist, dass das Kind die Handlung mit dem Mengenbild, den beteiligten Zahlen und einer passenden sprachlichen Beziehung verknüpft. Deshalb verwendet die App konsequent Formulierungen wie:

„「7は3と4に分けられる。」“
„「３＋４を合わせると７になる。」“
„「7引く4は3です。」“

Das Ganze ist durchgängig blau, die Teile sind rot gekennzeichnet. Dieselbe Rollenzuordnung erscheint am Zehnerstreifen, im Zahlentrio, im Zahlenhaus und in den Aufgabenfamilien. Die Farbe soll nicht als Merkschema an die Stelle des Denkens treten, sondern die Aufmerksamkeit auf die mathematische Rolle einer Zahl lenken: Ist sie in
この状況全体、それとも一部？

Die verschiedenen Übungen verlangen gezielt Darstellungswechsel: vom sichtbaren Streifen zu den Teilzahlen, vom Zahlentrio zum Material, vom verdeckten Teil zur Ergänzung und schließlich vom strukturierten Bild zur Gleichung.

4. すべての分解を見つけ、それらを順序付け、それらの関係を説明する。

演習では „「群衆を二分する」“ suchen Kinder nicht nur irgendeine Zerlegung, sondern alle Zerlegungen einer gewählten Zahl. Gefundene Zerlegungen werden geordnet in einem Zahlenhaus gesammelt. Dadurch kann aus dem Probieren ein systematisches Vorgehen entstehen. Das systematische Finden und Ordnen ist wichtig, weil Kinder dadurch Beziehungen zwischen den Zerlegungen erkennen können. Die App stellt dafür eine dynamische Umgebung bereit; das Beschreiben und Begründen im Unterrichtsgespräch bleibt Aufgabe der Kinder und der Lehrkraft.

ゼロを含む分解は、教師エリアで有効または無効に設定できます。
有効化すると、「0と7」もまた、7の分解の一つの例として認識されるようになる。
は。.

5. 加算と減算の関連性

このアプリは、部分と全体の概念に基づいてプラスとマイナスを導入します。
それに加えて 2つの部品が組み合わさって全体を形成する。 取り除く
全体のもう一方の部分が探されている。.

演習では „「入って、また出る」“ 子供は最初はたくさん追加し、
そして、まさにその部分を再び削除します。削除されたタイル
それらは跡形もなく消え去るのではなく、淡い「幽霊タイル」として残る。„
これは明白だ。元の全体、取り除かれた部分、そして残った部分はすべて同時に再構築できる。加算と減算の逆相関関係は、これらの操作を通して具体的に、そして目に見える形で示される。.

運動 „「タスクファミリー」“ 次に、分解と
関連方程式:

3 + 4 = 7 4 + 3 = 7
7 − 4 = 3 7 − 3 = 4

Jede gelöste Zeile wird am Material nachvollzogen. Bei Minusaufgaben steht das Ganze immer vorn. Dadurch soll die Aufgabenfamilie nicht zu einem bloßen Umstellen dreier Ziffern werden, sondern in der gemeinsamen Teil-Ganzes-Beziehung verankert bleiben.

6. 理解を深めるためのフィードバック

間違った答えは単に「間違い」と表示されるだけではありません。アプリは問題点を指摘します。
zurück auf das Material: Eine relevante Teilmenge pulsiert, ein fehlender Bereich wird sichtbar oder eine Fünfer-/Zehnerbeziehung wird hervorgehoben. Die Lösung wird dabei nicht vorschnell genannt. Das Kind kann weiterdenken und erneut handeln.

Für die Lernstandsübersicht zählt nur der erste Versuch einer Aufgabe. Danach wird die Aufgabe dennoch bis zur richtigen Lösung weitergeführt. So erhält die Lehrkraft einen vorsichtigen Hinweis darauf, was bereits selbstständig gelingt, ohne dass Fehler dem Kind den Zugang zum erfolgreichen Abschluss versperren. Die Übersicht ist eine förderorientierte Beobachtungshilfe, aber kein standardisierter Test und keine Grundlage für Benotung.

7．理解してから自動化する。

Die Spiele wie „「恋する数字たち」“, „「家を建てる」“ そして „「家族単位の隔離」“ これらのゲームは、既に理解している分解と問題群を強化するために用いられます。数字と構造化された数量の画像が交互に表示され、一致するピースを見つけたり、追加したり、問題群に割り当てたりする必要があります。ゲームは、子どもが教材を使って関連する分解を説明できるようになってから使用するようにしてください。スピードや得点は自信と流暢さを高めるのに役立ちますが、理解に取って代わるものではありません。そのため、ゲームの結果は意図的に演習の能力評価表には含まれていません。.

トレーニングエリアの概要

学習の焦点	適切な運動	中心的な問題
数量が定められ、記録される	Lege die Menge · Finde die Menge · Blitzblick · Feld und Legen	„「タイルを一枚一枚数えずに、どうやってその数を把握するのですか？」“
数量を変更する	数量を追加する・追加してから削除する	„「何が加えられるのか？同じ部分を再び取り除いた後、何が残るのか？」“
動作による分解を調べる	Teile die Menge · Teile und finde die Zahlen · Verschieben und Vorhersagen · Zerlege in drei Teile	„In welche zwei Teile ist das Ganze zerlegt? Wie findest du alle Möglichkeiten? Wie verändern sich die Teile, wenn ich den Strich verändere“
部分と全体を決定する	全体と部分 · いくつ隠されている？ · 部分を使ったクイックルック	„「どの部分が分かっているのか？どの部分が欠けているのか？全体はどのようなものなのか？」“
アイデアを内面化する	数字を分解する	„「まず頭の中で欠落している部分を特定して、それからストリップ上で確認できますか？」“
業務上の関係性を理解する	タスクファミリー	„「これらの3つの数字には、どのような足し算と引き算の問題が当てはまりますか？」“
自由に探索する	実験環境	„「境界線が移動されると、何が変わり、何が変わらないのか？」“
統合と自動化	Verliebte Zahlen · Häuser bauen · Familien-Blasen · Treppenhaus · Zahlen-Waage · Wackelhaus · Paare-Finder · Bushaltestelle	„「どの分解構造とタスクファミリーを既に自信を持って特定できますか？」“

教育のための指導ガイドライン

初めて使用する前に

Die App sollte nicht ohne gemeinsame inhaltliche Einführung als beliebiges Lernspiel gestartet werden. Lassen Sie zunächst an realem Material und in Alltagssprache erkunden, was „zerlegen“ bedeutet: Eine Tafel Schokolade kann in Teile zerlegt werden; sechs Plättchen können in vier und zwei Plättchen zerlegt werden. Wichtig ist die sprachliche Begleitung wie:

„「6は全体である。4と2はその部分である。それらを合わせると、再び6になる。」“

Nutzen Sie den Zehnerstreifen und seine Fünfermarkierung gezielt mit der angebotenen Struktur. Lassen Sie Kinder beschreiben, woran sie eine Menge schnell erkennen. Hierfür eignen sich hier ebenfalls Blitzblickübungen und ein Stift als Zerlegungsstrich, der verschoben werden kann.

推奨される学習シナリオ

Je nach Lernstand können Phasen wiederholt, verkürzt oder parallel angeboten werden.

1. 建物の数量表現： 「集合を並べる」「集合を見つける」から始めましょう„
   そして、ゆっくりとした「フラッシュ」アプローチ。まずは、4、5、6など、少数の数字を選ぶことから始めましょう。.
2. 分解という行為： 実験環境を使用し、
   „「量を分割してください。」全体とその2つの部分について尋ねてください。.
3. 分解の体系化： 数のすべての分解を見つけ、
   数字を数字の家に並べましょう。隣り合う階の数字を比較しましょう。.
4. 不足している部品を特定する： 「全体と部分」、「いくつありますか」に切り替えます
   隠されているのか？そして「部品の閃光」。.
5. アイデアを内面化する： 「数値を分解する」を挿入します。
   現在では、主に監視とフィードバックのために利用されているようだ。.
6. プラスとマイナスを組み合わせる： Bearbeiten Sie „Dazu und wieder weg“ und danach die „Aufgabenfamilie“.
7. セキュリティと自動化： Nutzen Sie die Spiele und alle weiteren Übungen, wenn die Beziehungen verstanden und sprachlich beschrieben werden können.

Für die meisten Kinder sind kurze, regelmäßige Einheiten von etwa 10 bis 15 Minuten sinnvoller als seltene lange Übungsphasen.

会話のきっかけ

適切な質問の例としては、以下のようなものがあります。

• „「全体とは何か？ 部分とは何か？」“
• „「どうやってそんなに早く群衆に気づいたのですか？」“
• „「その5人はどこにいると思いますか？あと何人追加されるのでしょうか？」“
• „「線を1つずらすと、左側の部分はどうなりますか？」“
• „「何が変わるのか？何が変わらないのか？」“
• „「解剖標本は全て見つかりましたか？どうしてそんな確信が持てるのですか？」“
• „「これに対する交換分解はどれですか？」“
• „「どの足し算の問題が絵に合っていますか？どの引き算の問題が合っていますか？」“
• „「引き算の問題で、なぜ整数部分を前に置かなければならないのですか？」“
• „「試験紙で答えを確認する前に、答えを予測できますか？」“

Entscheidend ist, dass Kinder nicht nur Ergebnisse nennen, sondern Beziehungen beschreiben und begründen. Die Sprachausgabe der App bietet dafür ein Sprachmodell. Das mathematische Gespräch mit anderen Kindern oder der Lehrkraft kann sie jedoch nicht ersetzen.

教師が観察できること

観察	考えられる解釈と次の展開
子供はタイルを一枚ずつ数える。.	5つの要素からなる構造に注目してください。「まず5つの要素を見せてください。他に何が見えますか？」„
位置を変えた分解は、新たな全体として解釈される。.	Invarianz thematisieren und das Ganze vor und nach dem Verschieben vergleichen: „Was hat sich verändert? Was ist gleich geblieben?“
分解は体系的ではない形で繰り返される。.	Zerlegungen, auch auf Papier, dokumentieren und danach die Aufgabe geben: „Ordne die gefundenen Zerlegungen sinnvoll? Wie hast du geordnet?“ Evtl. auch bereits eine Ordnung weiterführen oder Ergänzen lassen. Veränderungen versprachlichen.
子供は、完全に数え直すことによってのみ、欠けている部分を見つけることができる。.	Bekannten Teil markieren und vom Fünfer- oder Zehneranker aus ergänzen lassen. Relationen nutzen (eins mehr, eins weniger, Tauschbeziehungen)
3 + 4 と 4 + 3 は、完全に別々の問題として扱われます。.	同じストリップ上で両方のパルスシーケンスを比較し、交換関係について説明してください。.
マイナス記号の場合、部分的な数値はランダムに交換されます。.	役割を明確にする：全体が最優先事項であり、削除された部分と残った部分は互いに補完し合い、全体を形成する。.
象徴的な作業は実行できるが、適切な表現はできない。.	数字の3つ組に戻り、10個の数字が並んだ帯に切り替えます。そして、その教材を使って方程式を実演します。.

Die kindbezogene Lernstandsübersicht der App zeigt für jede Zahl, welche Bereiche noch nicht, bereits teilweise oder wiederholt sicher bearbeitet wurden. Sie eignet sich zur Planung weiterer Lernangebote durch die Lehrkraft und als Rückmeldung über den Lernstand. Einzelne Fehlversuche, Zeitwerte oder farbige Anzeigen sollten jedoch nie isoliert interpretiert werden; aussagekräftig werden sie erst zusammen mit der Beobachtung von Handlungen und Erklärungen.

理論的および経験的基盤

この教育概念は、特に以下の知見に基づいている。

1. 数の分解は、数の関係性を明らかにする。. Das Teile-Ganzes-Konzept umfasst die Einsicht, dass eine Zahl verschieden zerlegt und aus ihren Teilen wieder zusammengesetzt werden kann. Es bildet eine Grundlage für die Deutung von Addition, Subtraktion und operativen Aufgabenbeziehungen
   (レンツ＆ウィットマン、2023年).
2. 構造化された数量図は、非計数的なアプローチをサポートする。. Fünfer- und Zehnerstrukturen ermöglichen es, größere Mengen als gegliederte Einheiten wahrzunehmen. Mahiko fasst die Bedeutung verstandener Zerlegungen bis 10 für das spätere Rechnen über den Zehner zusammen und warnt zugleich davor, zu früh von der Materialhandlung zur bloßen Additionsübung überzugehen
   (真彦/DZLM).
3. 行動、秩序、そして言語は密接に関係している。. PIKAS empfiehlt, Zerlegungen mit unterschiedlichem Material durchzuführen, verschiedene Möglichkeiten zu ordnen
   そして、言語的に行動に付随させる（ピカス).
4. 介入研究では、対象を絞った部分的・全体的な支援が学習に肯定的な効果をもたらすことが報告されている。. In einer Kindergartenstudie zeigte ein explizites Teil-Teil-Ganzes-Curriculum größere Lernzuwächse als ein vorwiegend auf Zählen und Beziffern gerichtetes Angebot (フィッシャー、1990年). Eine weitere Studie fand nach einer Förderung mit sichtbar gemachten Zahlbeziehungen bessere Additions- und
   減算演算（クルバーグら、2020年実験的研究では、分解戦略を促進することで、解決率の向上、より柔軟な戦略、およびカウント頻度の低下が実現しました（チェン、2012年).

Diese Befunde begründen die Auswahl der mathematischen Inhalte und didaktischen Prinzipien. Sie sind jedoch アプリ自体の有効性を示す証拠はない. Welche Lernwirkungen die konkrete digitale Lernumgebung unter schulischen Bedingungen erzielt, wird in einer begleitenden Studie mit Vor-, Nach- und Follow-up-Erhebung untersucht. Bei Interesse an einer Teilnahme gerne melden bei christian.urff@ph-weingarten.de

教室におけるアプリの役割

アプリ 分解は、現実世界での行動や数学的な議論の代わりにはならない。. Die besondere Stärke der App liegt darin, mathematische Beziehungen dynamisch und konsistent sichtbar zu machen, Aufgaben gezielt zu variieren, sprachliche Modelle anzubieten und individuelle Übungswege zu ermöglichen. Der größte didaktische Nutzen entsteht, wenn die digitale Tätigkeit mit Legen, Zeichnen, Sprechen, Begründen und gemeinsamem Reflektieren verbunden wird. Die App eignet sich daher besonders …

• 数の分解の導入のためのガイド付き学習環境として、,
• 短期間の定期的な運動段階では、,
• パートナーとの共同作業や数学的な議論のために,
• zur gezielten Förderung bei Schwierigkeiten mit Zahlbeziehungen oder zählendem Rechnen und
• 既に理解済みの分解作業を安全に自動化するため。.

文献および関連資料

PIKASを含む：基本課題および応用課題「数の分解」„

Cheng, Z.-J. (2012). 幼児に追加的な問題を解決するための分解戦略を教える：実験的研究。. 数学的行動ジャーナル、,
31(1), 29–47. DOI

フィッシャー、FE（1990）。. 幼稚園で数を教えるための、部分・部分・全体を組み合わせたカリキュラム。. 数学教育研究ジャーナル、21(3)、207-215。.
DOI

ガースター、H.-D. & シュルツ、R. (2004)。. 幼児教育における数学的概念の習得の困難さ。.
全文

A. クルバーグ、C. ビョルクルンド、I. ブルコビッチ、U. ルネソン・ケンペ (2020)。. 幼児期に足し算と引き算を学ぶ際に、最初の10個の数字とその関係性を指のパターンを使って視覚化することで得られる効果。. 数学教育学、,
103、157～172。. DOI

レンツ、K. & ウィットマン、G. (2023). 初等数学教育において部分と全体の関係を理解するために：教科書は小学1年生にどのような学習機会を提供するのか？ 数学教育学ジャーナル。.
DOI

Mahiko/DZLM：数の分解 – 基礎

PIKAS：数の分解