Christian Urff 2025 (texto actualizado a una versión de 2011)

Introducción

Las herramientas matemáticas son herramientas fundamentales de enseñanza y aprendizaje que permiten a los estudiantes explorar conceptos matemáticos fundamentales mediante la interacción práctica (Krauthausen, 2012, 2022). A diferencia de las herramientas físicas, que los estudiantes pueden manipular con sus propias manos (p. ej., mover, inclinar o girar objetos), las opciones de acción "reales" con las herramientas virtuales se limitan a las interacciones digitales. En las computadoras de escritorio y portátiles tradicionales, las interacciones se realizan principalmente mediante clics del ratón o entradas de teclado, mientras que las pantallas táctiles de las tabletas permiten retroalimentación háptica directa mediante gestos multitáctiles (Agostinho et al., 2015). Las gafas de realidad aumentada (RA) ahora también permiten la entrada mediante gestos naturales de la mano (colocación de los dedos, rotación, etc.).

Las acciones reales en las herramientas virtuales son ejecutadas por el ordenador y representadas visualmente; el usuario simplemente proporciona el impulso para ejecutar la acción. Esto se ve claramente en el ejemplo de un campo virtual de veinte casillas: las piezas giratorias se pueden girar virtualmente, pero no físicamente; el software realiza la operación de giro mediante un clic o un gesto táctil, y se muestra una animación del giro. Estas operaciones, realizadas por el ordenador pero iniciadas por el usuario, se denominan acciones asistidas por computadora (Urff, 2010). Las acciones asistidas por computadora se caracterizan por el hecho de que la acción es iniciada por el usuario, pero una parte significativa de la ejecución es apoyada por la computadora.

Relación entre herramientas virtuales y tangibles

Restricciones y requisitos

En primer lugar, se podría argumentar que las opciones de acción perceptibles concretamente, y por lo tanto también las experiencias de acción, son muy limitadas en las acciones virtuales. Si solo se consideran las opciones de experiencia táctil-háptica, esto es ciertamente cierto (Moyer-Packenham y Bolyard, 2016). El niño no puede sentir físicamente una pieza virtual giratoria, y el acto de girarla no está directamente vinculado a un movimiento motor en la propia pieza.

Esta limitación es una de las razones clave por las que se consideran herramientas virtuales Continuación y expansión Deben utilizarse como complemento al trabajo con herramientas físicas y no como sustitutos (Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020a). Esto es especialmente cierto en el aprendizaje de primaria y preescolar, ya que durante esta fase del desarrollo, las experiencias primarias desempeñan un papel fundamental en la construcción de la comprensión. Un niño probablemente solo podrá interpretar correctamente la operación de torneado virtualizada en el ordenador si ya ha torneado una pieza o, al menos, ha observado esta acción en la herramienta física.

Las investigaciones actuales demuestran que la combinación de recursos físicos y virtuales (los llamados "materiales manipulativos combinados") puede ser especialmente eficaz y conducir a mejores resultados de aprendizaje (Ahmad et al., 2024; Yakubova et al., 2024). La secuencia y la interconexión —primero física, luego virtual— siguen siendo didácticamente importantes. Pero ¿por qué deberían ofrecerse oportunidades de exploración virtual además de los recursos físicos?

Potencial didáctico de las acciones asistidas por ordenador

Si examinamos más de cerca las posibilidades de experiencia visual-auditiva e interactiva de las acciones virtuales, las acciones asistidas por ordenador, como continuación de las acciones reales, ofrecen un nuevo potencial didáctico a través de las posibilidades tecnológicas:

1. Alivio cognitivo y cambio mediante la ejecución automatizada de acciones.

Al permitir que la computadora se encargue de la ejecución de la acción, quedan más recursos cognitivos disponibles para el aprendizaje matemático (Sweller, 2020; Paas y van Merriënboer, 2020). La disociación del impulso de acción y la ejecución puede reducir la carga motora y cognitiva no relevante para el aprendizaje del niño (Skulmowski y Xu, 2022). Esto se corresponde con el principio de reducción. carga cognitiva extraña de la Teoría de la Carga Cognitiva (Castro-Alonso, 2020).

Ejemplo de campo de cálculo: Mientras que en un juego físico de veinte campos, las fichas deben introducirse manualmente en el campo, y el niño se ocupa de este movimiento motor, en el ordenador esto ocurre automáticamente. En el juego virtual de veinte campos, un clic o un toque anima automáticamente el movimiento de inserción de una o más fichas. El niño no tiene que preocuparse por ejecutar correctamente el movimiento de la ficha, lo cual es irrelevante para la formación de conceptos matemáticos, sino que puede observar la operación de inserción y sus efectos y centrar su atención en el cambio a nivel simbólico (la suma aumenta), comprendiendo así mejor las conexiones mediante la experimentación. Los manipuladores virtuales bien diseñados pueden reducir la carga cognitiva mediante esta automatización parcial y, al mismo tiempo, favorecer el aprendizaje, especialmente porque facilita la experimentación con diferentes opciones, como "¿Qué pasa con... si...?".

2. Control conceptual de la ejecución de acciones

Si bien las acciones sobre equipos de trabajo físicos permiten no solo acciones matemáticamente significativas (por ejemplo, colocar una ficha), sino también acciones que no tienen equivalente matemático-conceptual (por ejemplo, fichas superpuestas, colocaciones incorrectas, representaciones no coincidentes), las acciones asistidas por computadora pueden limitarse a acciones matemáticas conceptualmente consistentes (Moyer et al., 2002; Bouck & Park, 2018).

Esto garantiza que solo se ofrezcan las operaciones esenciales para que el alumno desarrolle y descubra las propiedades estructurales didácticamente significativas. Todas las demás operaciones que, de otro modo, serían posibles con herramientas analógicas debido a sus propiedades físicas, están limitadas. Por ejemplo, el campo virtual de veinte garantiza que:

• Nunca se pueden colocar más de 20 fichas en el campo,
• Los mosaicos rojos siempre están estructurados de manera coherente y, por lo tanto, son más fáciles de entender (si la estructuración automática está activada).
• La estructuración 5 y 10 se tiene en cuenta automáticamente y
• La representación icónica y simbólica siempre coinciden.

Este estructuración conceptual El andamiaje conceptual mediante herramientas digitales facilita el aprendizaje, especialmente en niños con dificultades de aprendizaje (Park et al., 2022; Yakubova et al., 2024). Especialmente cuando aún no se posee una comprensión profunda, las acciones incorrectas pueden dar lugar a malentendidos fundamentales. Por ejemplo, si un error de colocación en el cuadrado de concreto de veinte fichas provoca una discrepancia entre la representación icónica y la simbólica (p. ej., hay 14 fichas en el cuadrado, pero el número 15 está junto a él), los niños suelen intentar justificar posteriormente esta discrepancia y construir modelos mentales erróneos. Las herramientas virtuales evitan estos errores al permitir únicamente operaciones conceptualmente correctas y garantizar automáticamente la coherencia entre todos los niveles de representación.

3. Representación sincronizada en múltiples niveles de representación

La ejecución asistida por computadora de la acción permite sincronizar acciones en múltiples niveles de representación (Krauthausen, 2012, 2022). Esto permite redes dinámicas diferentes representaciones como elemento central para una comprensión matemática profunda (Moyer-Packenham y Bolyard, 2016).

Ejemplo: Si un sumando en el campo de cálculo se reduce en uno, entonces:

• el número correspondiente se reduce (nivel simbólico),
• la suma se reduce en uno,
• Al mismo tiempo, en el nivel icónico, se retira una ficha del campo de veinte y
• La cantidad total visible se reduce en un elemento.

Mediante esta ejecución asistida y la visualización dinámica, la experiencia de la acción se vincula a través de múltiples niveles de representación. Esto crea oportunidades de aprendizaje que pueden ser significativas para desarrollar una comprensión más profunda de las operaciones matemáticas básicas. Esto es especialmente cierto para los niños que aún no pueden transferir la información completamente o que cometen errores. Pueden validar, modificar y corregir su modelo mental mediante las acciones. Sin embargo, esta representación en red y sincrónica debe estar bien equilibrada en cuanto al alcance y el diseño de los elementos visuales, ya que la interconexión a través de múltiples niveles de representación también puede generar una carga cognitiva adicional. En este caso, menos es más: se recomienda reducir a unas pocas representaciones interconectadas a la vez.

4. Realización de acciones didácticamente valiosas que no son objetivamente posibles

Especialmente interesante es la visualización de procesos de acción que ilustran conceptos centrales de la educación matemática, pero que no pueden realizarse con materiales de trabajo físicos o solo con gran esfuerzo.

Ejemplo “Poder de cinco”: Si bien no es fácil colocar cantidades en porciones de cinco piezas simultáneamente en el tablero físico de veinte casillas, esto es fácilmente posible en uno virtual (Krauthausen, 1995, 2012). En el tablero virtual de veinte casillas, se pueden insertar porciones de cinco y una. Esto permite al niño experimentar vívidamente que es más efectivo (y requiere menos clics) combinar seis fichas reversibles, compuestas por una ficha de cinco piezas y una ficha individual, en lugar de insertar seis fichas individuales.

Ejemplo de un sistema de cien cuadrados y valor posicional: Aquí, las cantidades se pueden introducir en decenas y unidades, lo que permite una clara comprensión del valor posicional en todos los niveles de visualización. Algunas aplicaciones incluso pueden visualizar dinámicamente el proceso de agrupación y desagrupación, por ejemplo, combinando automáticamente diez unidades en una decena.

5. Apoyo adaptativo y rutas de aprendizaje diferenciadas

Además del entorno puramente experimental, las herramientas virtuales también pueden incluir ofertas de soporte y diferenciación, como:

• Tareas sustancialesEstas tareas fomentan la exploración e investigación independientes sobre las conexiones. Estas tareas (preguntas de investigación) pueden ofrecerse dentro o fuera de la aplicación.
• Notas y comentarios: Durante el proceso de exploración, se puede proporcionar retroalimentación inmediata sobre las acciones completadas, ya sea previa solicitud o de forma proactiva a través del sistema de aprendizaje digital. Esto puede hacerse visual o textualmente, por ejemplo, mediante pistas visuales (p. ej., mostrar el número de fichas, añadir elementos de estructuración visual al material) o una pregunta estimulante ("Prueba esto...", "Piénsalo...") en el momento oportuno del proceso de aprendizaje.
• Revelación gradual: Las operaciones complejas pueden descomponerse en pasos individuales. También es posible descomponer representaciones complejas en subrepresentaciones interconectadas.
• Niveles de dificultad ajustables: Se pueden ajustar varias opciones de visualización dependiendo del nivel de aprendizaje del niño o, en un sistema de aprendizaje adaptativo, pueden adaptarse automáticamente al nivel de aprendizaje del niño y al progreso del aprendizaje.
• Documentación de rutas de aprendizaje Mediante grabación y reproducción. La representación fugaz de las acciones experimentales puede convertirse en una colección no volátil de unidades de documentación importantes (estáticas: imagen o texto) o secuencias de acción (dinámicas: vídeo o descripción). Utilizando herramientas permanentemente disponibles, como grabaciones de pantalla, capturas de pantalla y grabaciones de audio, esto también es posible si la herramienta no las ofrece (como en la aplicación "Rechenfeld", por ejemplo). La colección de unidades de documentación facilita procesos de aprendizaje posteriores, como la estructuración de la colección, la presentación de los resultados, la exploración de estrategias y las opciones de diagnóstico para el profesor (Wollring, 2008).

Estas opciones permiten personalizar las herramientas virtuales para satisfacer las necesidades de aprendizaje de los estudiantes.

Desarrollos y tecnologías actuales

Tecnología táctil y aprendizaje incorporado

Los dispositivos con funcionalidad multitáctil permiten interacciones hápticas más directas que los controles tradicionales con ratón. El seguimiento de los dedos y los gestos de deslizamiento pueden utilizarse como conocimiento biológico primario, reduciendo así la carga cognitiva (Agostinho et al., 2015; Ginns et al., 2020). Por ejemplo, la escala de una recta numérica virtual puede modificarse rápida y dinámicamente mediante un gesto intuitivo de deslizamiento o acercamiento/alejado con dos dedos. Estas acciones no son posibles con los medios analógicos.

Inteligencia artificial y sistemas adaptativos

Las herramientas modernas de aprendizaje virtual pueden facilitar rutas de aprendizaje adaptativas mediante sistemas basados en IA que se adaptan automáticamente al nivel de aprendizaje y las necesidades de cada estudiante (Haryana et al., 2022). Estos sistemas pueden regular dinámicamente la carga cognitiva y crear condiciones óptimas de aprendizaje. Sin embargo, la investigación en este campo aún se encuentra en sus primeras etapas. Aún quedan muchas preguntas abiertas, en particular sobre cómo integrar significativamente la IA generativa para apoyar el aprendizaje en lugar de reemplazarlo o dificultarlo.

Realidad aumentada y virtual

Las tecnologías de RA y RV abren nuevas posibilidades para el aprendizaje espacio-geométrico al permitir la manipulación tridimensional de objetos virtuales (Altmeyer et al., 2024). Estas tecnologías ofrecen un potencial especialmente prometedor para la imaginación espacial. Los enfoques de aprendizaje corporal, en los que los movimientos físicos promueven la comprensión matemática, por ejemplo, combinando experiencias reales con virtuales, también son posibles con las tecnologías de RA y RV.

Ejemplo de recta numérica de RA: En la app AR Number Line, los niños pueden realizar acciones en una recta numérica virtual. Esta recta numérica puede proyectarse directamente sobre una superficie de referencia del entorno y extenderse indefinidamente. Esto permite establecer la relación entre la cardinalidad de las cantidades, su ubicación en la recta numérica y las razones de longitud en el entorno real (por ejemplo, el pasillo o el patio de la escuela).

Reflexión crítica y límites

A pesar del potencial descrito, sigue siendo necesaria una mirada crítica a las herramientas de trabajo virtuales, especialmente en lo que respecta a su diseño e integración en entornos de aprendizaje sustanciales.

No todos los manipuladores virtuales son igualmente efectivos

Los resultados de las investigaciones sobre la eficacia de los recursos didácticos virtuales no son uniformes. Por ejemplo, un estudio reciente muestra que los materiales manipulativos concretos pueden generar mejores resultados de aprendizaje en ciertas áreas (como fracciones) que los virtuales (Al Mutawah et al., 2024). Sin embargo, esto no aplica a todos los recursos didácticos. Así como existen criterios para la selección y el uso de recursos visuales físicos, su uso debería basarse menos en la tecnología y más en criterios didácticos específicos de cada asignatura. Calidad del diseño El uso de la herramienta virtual es crucial (Moyer-Packenham y Bolyard, 2016), así como su integración en entornos de aprendizaje y preguntas adecuadamente diseñados.

Peligro de sobrecarga cognitiva

Paradójicamente, los entornos de aprendizaje digital mal diseñados también pueden provocar una mayor carga cognitiva, por ejemplo, mediante animaciones innecesarias, elementos que distraen o interfaces de usuario demasiado complejas (Skulmowski y Xu, 2022). Reducir la carga cognitiva innecesaria requiere un diseño instruccional cuidadoso.

Importancia del docente

Los materiales didácticos virtuales no sustituyen la instrucción profesional específica impartida por el profesor. Todo lo contrario: los materiales didácticos virtuales solo alcanzan su máximo potencial cuando su uso se complementa con tareas, preparación y seguimiento adecuados, y situaciones de debate. Los estudios demuestran que la forma en que los profesores utilizan los materiales didácticos virtuales es crucial para el éxito del aprendizaje (Larkin, 2016). competencia didáctica de las matemáticas El profesor sigue siendo central.

Conclusión y perspectiva

Con un diseño adecuado, las actividades virtuales pueden utilizarse para crear oportunidades de acción y experiencia en el aprendizaje matemático que pueden ofrecer un valor didáctico añadido real en comparación con las actividades que utilizan herramientas no virtuales (Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020b). Son adición y continuación significativas de acciones reales, no como sustituto. A menudo requieren experiencias primarias analógicas con materiales de trabajo físicos como base para la interpretación y la aplicación significativa. Las condiciones clave para el uso rentable de herramientas y acciones virtuales son:

1. Fundamentación didáctica-sujeta: Orientación hacia conceptos y principios didácticos matemáticos probados
2. Calidad del diseño: Diseño cuidadoso de materiales de trabajo virtuales basados en hallazgos del aprendizaje con multimedia y principios didácticos-sujetos (Urff, 2014)
3. Integración de lo analógico y lo digital:Las acciones virtuales se basan en experiencias con herramientas físicas.
4. Profesionalización docente: Los docentes necesitan habilidades para el uso reflexivo de los medios digitales
5. Diferenciación: Utilizando las posibilidades tecnológicas para caminos de aprendizaje adaptativos

En el diseño de herramientas de trabajo virtuales y ofertas de acción se aplican los siguientes principios de diseño desde una perspectiva didáctica-sujeta (cf. Urff, 2012):

• Diseñar herramientas virtuales que liberen al usuario de actividades no relevantes para la formación de conceptos matemáticos al realizar acciones. Esto pone a su disposición la mayor cantidad posible de recursos cognitivos para la exploración matemática.
• Se intenta utilizar ofertas de acciones virtuales y visualizaciones para representar las operaciones matemáticas (de pensamiento) que se deben promover lo mejor posible.
• Diseñar recursos virtuales para que la conexión entre diferentes representaciones sea comprensible para los niños.
• Posibilitar acciones que no son o son muy difíciles de lograr con herramientas de trabajo concretas.

La digitalización y el consiguiente avance en la educación ofrecen oportunidades, pero no deben conducir a una euforia tecnológica acrítica. El objetivo no es reemplazar las herramientas tradicionales, sino ampliar el repertorio didáctico. expandirse sabiamente (Krauthausen, 2022). Las investigaciones futuras deberían continuar investigando bajo qué condiciones y combinaciones de herramientas de aprendizaje físicas y virtuales son óptimas para cada objetivo de aprendizaje y grupo objetivo.

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literatura

Agostinho, S., Tindall-Ford, S., Ginns, P., Howard, SJ, Leahy, W. y Paas, F. (2015). Ayudando al aprendizaje: Trazado de gráficos de temperatura con el dedo en un iPad. Revista de psicología educativa, 27(3), 427-443. https://doi.org/10.1007/s10648-015-9315-5

Ahmad, K., Khalid, M. y Khan, S. (2024). El efecto de la instrucción combinada manipulativa, concreta y virtual, en el rendimiento matemático de estudiantes de primaria. Revista Canadiense de Educación en Ciencias, Matemáticas y Tecnología, 24(4), 515-532. https://doi.org/10.1007/s42330-024-00336-y

Al Mutawah, M., Thomas, R. y Khine, MS (2024). Impacto del uso de materiales manipulativos virtuales y concretos en el aprendizaje de fracciones por parte de los estudiantes. Educación coherente, 11(1), Artículo 2379712. https://doi.org/10.1080/2331186X.2024.2379712

Altmeyer, K., Kapp, S., Thees, M., Malone, S., Kuhn, J. y Brünken, R. (2024). El impacto de las diferencias individuales en el aprendizaje con realidad aumentada. En F. Krieglstein et al. (ed.), Teoría de la carga cognitiva: tendencias emergentes e innovaciones(págs. 112-128). MDPI.

Bouck, E.C., y Park, J. (2018). Revisión sistemática de la literatura sobre materiales manipulativos matemáticos para apoyar a estudiantes con discapacidades. Educación y tratamiento de los niños, 41(1), 65-106.

Bouck, E.C., Park, J., Sprick, J., Shurr, J., Bassette, L. y Whorley, A. (2017). Uso del enfoque virtual-representacional-abstracto para apoyar a estudiantes con discapacidad intelectual en matemáticas. Enfoque en el autismo y otras discapacidades del desarrollo, 33(4). https://doi.org/10.1177/1088357618755696

Bouck, E.C., Satsangi, R. y Park, J. (2020). El enfoque concreto-representacional-abstracto para estudiantes con discapacidades de aprendizaje: Una síntesis práctica basada en la evidencia. Remedio y Educación Especial, 39(4), 211-228. https://doi.org/10.1177/07419325187926112

Bouck, E., Park, J. y Stenzel, K. (2020). Manipulativos virtuales como tecnología de asistencia para apoyar a estudiantes con discapacidades en matemáticas. Prevención del fracaso escolar: Educación alternativa para niños y jóvenes, 64, 1–9. https://doi.org/10.1080/1045988X.2020.1762157

Castro-Alonso, J.C. (2020). Últimas tendencias para optimizar el aprendizaje basado en computadora: Directrices de la teoría de la carga cognitiva. Las computadoras en el comportamiento humano, 112, Artículo 106458. https://doi.org/10.1016/j.chb.2020.106458

Ginns, P., Hu, F.T., Byrne, E., y Bobis, J. (2015). Aprendizaje mediante el seguimiento de ejemplos resueltos. Psicología cognitiva aplicada, 30(2), 160-169. https://doi.org/10.1002/acp.3656

Haryana, MRA, Rambli, DRA, Sulaiman, S. y Sunar, MS (2022). Medios de aprendizaje de realidad virtual con materiales innovadores para mejorar los resultados de aprendizaje individuales basados en la teoría de la carga cognitiva. Revista internacional de educación en gestión, 20(3), Artículo 100657. https://doi.org/10.1016/j.ijme.2022.100657

Krauthausen, G. (1995). El «Poder de Cinco» y el pensamiento calculador. En GN Müller y EC Wittmann (eds.), Contando con los niños (pp. 87-108). Grupo de Trabajo de Educación Primaria.

Krauthausen, G. (2012). Medios digitales en las clases de matemáticas de primaria. Espectro Springer.

Krauthausen, G. (2022). Sobre el debate sobre la digitalización en la educación matemática de primaria. En AS Steinweg (ed.), La educación matemática hoy y mañana: desafíos y perspectivas (págs. 25-40). Editorial de la Universidad de Bamberg. https://doi.org/10.20378/irb-55799

Krauthausen, G., y Scherer, P. (2010). Abordar la heterogeneidad: diferenciación natural en la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Materiales del IPN. http://www.sinus-an-grundschulen.de/fileadmin/uploads/Material_aus_SGS/Handreichung_Krauthausen-Scherer.pdf

Larkin, K. (2016). Educación matemática y materiales manipulativos: ¿Cuáles, cuándo, cómo? Aula de matemáticas de primaria australiana, 21(1), 12-17.

Moyer, PS, Bolyard, JJ y Spikell, MA (2002). ¿Qué son los manipuladores virtuales? Enseñando matemáticas a los niños, 8(6), 372-377.

Moyer-Packenham, P.S., y Bolyard, J.J. (2016). Revisitando la definición de un manipulador virtual. En P.S. Moyer-Packenham (Ed.), Perspectivas internacionales sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas con manipulativos virtuales (págs. 3-23). Saltador. https://doi.org/10.1007/978-3-319-32718-1_1

Paas, F., y van Merriënboer, JJG (2020). Teoría de la carga cognitiva: métodos para gestionar la carga de la memoria de trabajo en el aprendizaje de tareas complejas. Direcciones actuales en la ciencia psicológica, 29(4), 394-398. https://doi.org/10.1177/0963721420922183

Park, J., Bryant, D.P. y Shin, M. (2022). Efectos de las intervenciones con manipuladores virtuales para estudiantes con dificultades de aprendizaje: Una síntesis de una investigación de caso único. Revista de discapacidades del aprendizaje, 55(4), 325-337. https://doi.org/10.1177/00222194211006336

Skulmowski, A., y Xu, K.M. (2022). Comprensión de la carga cognitiva en el aprendizaje digital y en línea: Una nueva perspectiva sobre la carga cognitiva extrínseca. Revista de psicología educativa, 34(1), 171-196. https://doi.org/10.1007/s10648-021-09624-7

Sweller, J. (2020). Teoría de la carga cognitiva y tecnología educativa. Investigación y desarrollo de tecnología educativa, 68(1), 1-16. https://doi.org/10.1007/s11423-019-09701-3

Urff, C. (2014). Medios de aprendizaje digitales para promover habilidades matemáticas básicas.
Análisis teóricos, estudios de casos empíricos e implementación práctica a partir del desarrollo de herramientas de trabajo virtual. El hombre y el libro

Urff, C. (2012). Recursos virtuales en la enseñanza de matemáticas en primaria. En S. Ladel y C. Schreiber (eds.): Aprendizaje, enseñanza e investigación en primaria (volumen 1) (pp. 59-82). Franzbecker