Christian Urff 2025 (texto actualizado a una versión de 2011)

Introducción

Mathematische Arbeitsmittel sind zentrale Lehr- und Lernwerkzeuge, mit denen sich handelnd grundlegende mathematische Zusammenhänge erforschen lassen (Krauthausen, 2012, 2022). Im Gegensatz zu gegenständlichen Arbeitsmitteln, die Lernende mit den eigenen Händen manipulieren können (z.B. Objekte verschieben, umlegen, umdrehen), sind die „realen“ Handlungsmöglichkeiten bei virtuellen Arbeitsmitteln auf digitale Interaktionen beschränkt. Bei klassischen Desktop-Computern und Notebooks erfolgen Interaktionen primär über Mausklicks oder Tastatureingaben, während Touchscreens in Tablets durch Multi-Touch-Gesten direkte haptische Rückmeldungen ermöglichen (Agostinho et al., 2015). Über AR-Brillen ist neuerdings auch die Eingabe mit natürlichen Handgesten (Finger aufeinanderlegen, drehen usw.) möglich.

Con las herramientas virtuales, las acciones reales las realiza la computadora y se representan visualmente: el usuario inicia la acción. Esto se ilustra claramente con el ejemplo de una cuadrícula virtual de veinte cuadrados: las fichas se pueden voltear virtualmente, pero no mediante un giro físico real. En su lugar, el software ejecuta la operación de volteo con un clic o un gesto táctil y muestra una animación de la acción. Me refiero a estas operaciones ejecutadas por la computadora pero iniciadas por el usuario como acciones virtuales o basadas en computadora (Urff, 2010). Computergestützte Handlungen zeichnen sich dadurch aus, dass die Handlungsinitiierung durch den Benutzer erfolgt, ein wesentlicher Teil der Ausführung allerdings durch den Computer übernommen wird.

Relación entre acciones virtuales y físicas

Restricciones y requisitos

Inicialmente, se podría argumentar que las posibilidades concretas de acción, y por ende, las experiencias de acción, son significativamente limitadas en las acciones virtuales. Esto es cierto si solo se consideran las experiencias táctiles-hápticas (Moyer-Packenham y Bolyard, 2016). El niño no puede sentir físicamente una aleta virtual, no puede olerla, y el acto de girarla no está directamente vinculado a un movimiento motor de la propia aleta.

Diese Einschränkung ist der entscheidende Grund, warum virtuelle Arbeitsmittel wenn irgend möglich als Continuación y expansión Las herramientas de aprendizaje virtualizadas deben utilizarse para complementar, y no para reemplazar, el uso de materiales de aprendizaje físicos (Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020a). Esto es especialmente cierto en la educación primaria y preescolar, ya que las experiencias primarias desempeñan un papel crucial en el desarrollo de la comprensión durante esta etapa del desarrollo. Es probable que un niño solo pueda interpretar correctamente una operación de volteo virtualizada en el ordenador si ya ha volteado una ficha física o ha observado esta acción con una herramienta física.

Aktuelle Forschung zeigt, dass die Kombination von konkreten und virtuellen Arbeitsmitteln (sogenannte „Blended Manipulatives“) besonders effektiv sein kann (Ahmad et al., 2024; Yakubova et al., 2024). Die Reihenfolge und Vernetzung – erst konkret-physisch, dann virtuell – bleibt dabei didaktisch bedeutsam. Doch warum sollten überhaupt ergänzend zu konkreten Arbeitsmitteln auch noch virtuelle Handlungsmöglichkeiten angeboten werden?

Potencial didáctico de las acciones asistidas por ordenador

Werden die visuell-auditiven und interaktiven Erfahrungsmöglichkeiten virtueller Handlungen genauer in den Blick genommen, bieten computergestützte Handlungen als Fortführung realer Handlungen durch die technologischen Möglichkeiten einige didaktische Potenziale, die physisch-konkrete Handlungserfahrungen erweitern können:

1. Alivio cognitivo y cambio mediante la ejecución automatizada de acciones.

Durch die Übernahme der Handlungsausführung durch den Computer bleiben mehr kognitive Ressourcen für das eigentliche mathematische Lernen verfügbar (Sweller, 2020; Paas & van Merriënboer, 2020). Die Entkopplung von Handlungsimpuls und -ausführung kann die nicht lernrelevante motorische und kognitive Belastung des Kindes verringern (Skulmowski & Xu, 2022). Mit der Cognitive Load Theory gesprochen, entspricht dies dem Prinzip der Reduktion der carga cognitiva extraña, es decir, cargas cognitivas que no son necesariamente relevantes para el aprendizaje (Castro-Alonso, 2020).

Ejemplo de campo de cálculo: Während bei einem gegenständlichen Zwanzigerfeld Plättchen von Hand auf das Feld geschoben werden müssen und das Kind mit dieser motorischen Bewegung beschäftigt ist, erfolgt dies am Computer automatisiert. Beim virtuellen Zwanzigerfeld wird durch einen Klick oder Touch automatisch eine Einfügebewegung eines oder mehrerer Plättchen animiert. Das Kind muss sich nicht um die korrekte Ausführung der Plättchenbewegung kümmern – was zumindest mit genügend Primärerfahrung für die mathematische Konzeptbildung irrelevant ist –, sondern kann die Einfügeoperation und ihre Auswirkungen beobachten und die Aufmerksamkeit auf die Veränderung auf der symbolischen Ebene richten (die Summe vergrößert sich) und dadurch experimentierend potenziell besser die Zusammenhänge gedanklich nachvollziehen, da mehr kognitive Ressourcen für die Beobachtung der Auswirkung der Handlung zur Verfügung stehen. Gut gestaltete virtuelle Arbeitsmittel haben also im Zusammenspiel mit geeigneten Aufgabenstellungen durch solche Teilautomatisierungen das Potenzial, die kognitive Belastung zu reduzieren und das operative Durchdringen der Lernsituation zu erleichtern, da das Experimentieren mit verschiedenen Handlungsoptionen im Sinne von „Was passiert mit …, wenn …?“ deutlich erleichtert wird.

2. Control conceptual de la ejecución de acciones

Si bien las acciones sobre equipos de trabajo físicos permiten no solo acciones matemáticamente significativas (por ejemplo, colocar una ficha), sino también acciones que no tienen equivalente matemático-conceptual (por ejemplo, fichas superpuestas, colocaciones incorrectas, representaciones no coincidentes), las acciones asistidas por computadora pueden limitarse a acciones matemáticas conceptualmente consistentes (Moyer et al., 2002; Bouck & Park, 2018).

Dadurch werden nur diejenigen Operationen als Handlungen angeboten, die für den Lernenden zur Erarbeitung und Entdeckung der didaktisch bedeutsamen Struktureigenschaften und damit für das Verständnis wichtig sind. Andere, bei analogen Arbeitsmitteln aufgrund der physikalischen Eigenschaften trotzdem mögliche Handlungen werden begrenzt. Beispielsweise wird beim virtuellen Zwanzigerfeld gewährleistet, dass:

• Nunca se pueden colocar más de 20 fichas en el campo,
• Los mosaicos rojos siempre están estructurados de manera coherente y, por lo tanto, son más fáciles de entender (si la estructuración automática está activada).
• La estructuración 5 y 10 se tiene en cuenta automáticamente y
• La representación icónica y simbólica siempre coinciden.

Este estructuración conceptual El andamiaje conceptual mediante herramientas digitales favorece el aprendizaje, especialmente en niños con dificultades de aprendizaje (Park et al., 2022; Yakubova et al., 2024). En particular, cuando falta una comprensión profunda, las acciones incorrectas pueden dar lugar a malentendidos fundamentales. Por ejemplo, si un error de colocación en un cuadrado físico de veinte hace que las representaciones icónicas y simbólicas se desalineen (p. ej., hay 14 fichas en el cuadrado, pero el número 15 está junto a ellas), los niños suelen intentar justificar esta discrepancia posteriormente, a veces construyendo modelos mentales erróneos en el proceso. Las herramientas virtuales pueden prevenir mejor estos malentendidos al permitir únicamente operaciones conceptualmente correctas y garantizar automáticamente la coherencia en todos los niveles de representación.

3. Representación sincronizada en múltiples niveles de representación

La ejecución asistida por computadora de la acción permite sincronizar acciones en múltiples niveles de representación (Krauthausen, 2012, 2022). Esto permite redes dinámicas Las diferentes formas de representación son un elemento central para una comprensión matemática profunda (Moyer-Packenham & Bolyard, 2016).

Ejemplo: Si un sumando en el campo de cálculo se reduce en uno, entonces:

• el número correspondiente se reduce (nivel simbólico),
• la suma se reduce en uno,
• Al mismo tiempo, en el nivel icónico, se retira una ficha del campo de veinte y
• La cantidad total visible se reduce en un elemento.

Durch diese gestützte Ausführung und dynamische Visualisierung wird die Handlungserfahrung über mehrere Darstellungsebenen hinweg gekoppelt. Dies ermöglicht Lernchancen, die für die Entwicklung eines umfassenden Verständnisses grundlegender mathematischer Operationen bedeutsam sein können. Besonders für Kinder, die diese Übertragung zwar grundsätzlich selbst vornehmen könnten, bei denen sie aber noch fehleranfällig ist, bestehen hier besondere Lernchancen. Sie können durch die Handlungen ihr mentales Modell der Zusammenhänge zwischen den Darstellungen ausbauen, validieren, verändern und korrigieren – wenn entsprechende Aufgabenstellungen dies anregen (beispielsweise: „Was passiert mit dem Zwanzigerfeld, wenn ich fünf rote Plättchen dazulege? Überlege erst selbst und prüfe dann.“). Allerdings muss diese vernetzte synchrone Darstellung im Umfang und der Ausgestaltung der visuellen Elemente gut ausbalanciert sein, denn durch die Vernetzung gleichzeitig über mehrere Darstellungsebenen hinweg können auch zusätzliche kognitive Belastungen entstehen. Weniger ist hier oft mehr: Eine Reduktion auf jeweils wenige gleichzeitig miteinander verknüpfte Darstellungen ist deshalb empfehlenswert.

4. Realización de acciones didácticamente valiosas que no son objetivamente posibles

De particular interés es la visualización de procesos de acción que ilustran conceptos centrales en la educación matemática, pero que no pueden realizarse en absoluto o solo con un esfuerzo desproporcionadamente alto utilizando ayudas didácticas físicas.

Beispiel „Kraft der Fünf“: Während es am gegenständlichen Zwanzigerfeld nicht ohne weiteres gelingt, Mengen in Fünferportionen simultan auf das Feld zu legen, ist dies virtuell gut möglich (Krauthausen, 1995, 2012). Beim virtuellen Zwanzigerfeld können Fünfer- und Einerportionen eingefügt werden. Dadurch kann das Kind anschaulich erfahren, dass es effektiver ist (und weniger „Klicks“ benötigt), sechs Wendeplättchen aus einem Fünfer und einem Einzelplättchen zusammenzulegen, anstatt sechsmal einzelne Plättchen einzufügen.

Ejemplo de un sistema de cien cuadrados y valor posicional: Aquí, por ejemplo, se pueden insertar cantidades en conjuntos de diez o como unidades, lo que hace que la notación del valor posicional sea claramente tangible en diferentes niveles de representación. Algunas aplicaciones (p. ej., www.lernsoftware-mathematik.de/zahlen) incluso pueden visualizar dinámicamente el proceso de agrupación y desagregación, por ejemplo, agrupando automáticamente diez unidades en una decena.

Si bien estas acciones son teóricamente posibles con materiales físicos, requerirían recursos cognitivos considerables. Agrupar unidades en decenas requiere primero identificar diez unidades, agruparlas e intercambiarlas con una varilla de diez. Para cuando se completa esta acción, es probable que el niño haya perdido de vista el concepto de valor posicional.

5. Apoyo adaptativo y rutas de aprendizaje diferenciadas

Además del entorno puramente experimental, las herramientas virtuales también pueden incluir ofertas de soporte y diferenciación, como:

• Tareas sustancialesSe refiere a tareas que fomentan la exploración e investigación independientes de las conexiones. Estas tareas (por ejemplo, en forma de preguntas de investigación) pueden ofrecerse dentro de la aplicación o externamente. Una buena herramienta de aprendizaje (virtual) es tan adecuada para el aprendizaje orientado a la comprensión como las tareas que la acompañan.
• Notas y comentarios: Es können während des Erkundungsprozesses unmittelbare Rückmeldungen zu durchgeführten Handlungen angeboten werden – entweder auf Anforderung oder auch proaktiv durch das digitale Lernsystem. Dies kann visuell oder textuell-sprachlich geschehen, beispielsweise durch visuelle Hinweise (z.B. aufblinkende Plättchenmenge, Hinzufügen von visuellen Strukturierungsmerkmalen am Material) oder eine anregende Frage („Probier doch mal …“, „Überlege …“) zum passenden Zeitpunkt im Lernprozess. Auch Apoyo al aprendizaje con apoyo de IA kann hier eine sinnvolle Ergänzung sein, um Lehrkräfte während der Exploration mit dem virtuellen Arbeitsmittel zu entlasten und zu ergänzen.
• Descomposición de representaciones y operaciones complejas: Las operaciones complejas pueden descomponerse en pasos individuales, lo que facilita su comprensión y manipulación. También es posible descomponer representaciones complejas en subrepresentaciones interconectadas.
• Niveles de dificultad ajustables: Die Elemente und Funktionen virtueller Arbeitsmittel können je nach Lernstand selbst angepasst werden oder sich in einem adaptiven Lernsystem automatisch an den Lernstand und Lernverlauf des Kindes anpassen.
• Documentación de rutas de aprendizaje durch die Aufzeichnung und Wiedergabe von Handlungen. Die flüchtige Darstellung der Experimentierhandlungen kann für eine spätere Analyse und Besprechung in eine nichtflüchtige Sammlung von Dokumentationseinheiten (statisch – Bild oder Text) oder Handlungssequenzen (dynamisch – Video oder Beschreibung) umgewandelt werden. Durch permanent zur Verfügung stehende Werkzeuge wie eine Bildschirmaufnahme, Screenshots, Notizen oder Tonaufnahmen ist dies auch möglich, wenn das Arbeitsmittel dies nicht selbst anbietet (wie beispielsweise in der App „Rechenfeld“). Durch die Sammlung von Dokumentationseinheiten sind nachgelagerte Lernprozesse wie beispielsweise die Strukturierung der Sammlung, die Darstellung der Ergebnisse, Strategieerkundungen und auch Diagnosemöglichkeiten für die Lehrkraft möglich (Wollring, 2008).

Estas opciones permiten personalizar las herramientas virtuales para satisfacer las necesidades de aprendizaje de los estudiantes.

Desarrollos y tecnologías actuales para ampliar las experiencias de acción virtual

Tecnología táctil y aprendizaje incorporado

Geräte mit Multi-Touch-Funktion ermöglichen direktere haptische Interaktionen als die klassische Maussteuerung. Deshalb sind Geräte mit Touch-Technologie mittlerweile sehr beliebt im schulischen Kontext, insbesondere in der Primarstufe. Fingertracing und Wischgesten können als biologically primary knowledge genutzt werden und somit die kognitive Belastung reduzieren (Agostinho et al., 2015; Ginns et al., 2015). Beispielsweise kann die Skalierung auf einem virtuellen Zahlenstrahl durch eine intuitive Geste des Wischens oder des Zoom-In/Out mit zwei Fingern schnell und dynamisch verändert werden. Solche Handlungsmöglichkeiten sind mit analogen, statischen Medien nicht umsetzbar.

Inteligencia artificial y sistemas adaptativos

Moderne virtuelle Arbeitsmittel können durch KI-basierte Systeme adaptive Lernpfade ermöglichen, die sich automatisch an den Lernstand und die Bedürfnisse einzelner Schülerinnen und Schüler anpassen (Haryana et al., 2022). Solche Systeme können die kognitive Belastung dynamisch regulieren und optimale Lernbedingungen schaffen. Die Forschung steht hier allerdings noch am Anfang. Es gibt noch viele offene Fragestellungen insbesondere dazu, wie generative KI sinnvoll integriert werden sollte, um das Lernen zu unterstützen und nicht zu ersetzen bzw. zu verhindern.

Realidad aumentada y virtual

AR- und VR-Technologien eröffnen neue Möglichkeiten für räumlich-physische virtuelle Handlungsmöglichkeiten, die Bewegung und Lernen integrieren, indem sie dreidimensionale Manipulationen virtueller Objekte und bewegtes Lernen ermöglichen (Altmeyer et al., 2024). Besonders für das räumliche Vorstellungsvermögen bieten solche Technologien vielversprechende Potenziale. Auch embodied learning-Ansätze, bei denen körperliche Bewegungen das mathematische Verständnis integriert fördern, beispielsweise durch die Vermischung realer Erfahrungen mit virtuellen Erfahrungen, sind durch AR- und VR-Technologien möglich.

Beispiel AR Zahlenstrahl: In der App AR Zahlenstrahl können Kinder Handlungen an einem virtuellen Zahlenstrahl vornehmen. Dieser Zahlenstrahl kann direkt auf eine Bezugsfläche des Umfeldes projiziert werden und potenziell unendlich fortgeführt werden. Durch die eigene erfahrbare Bewegung vorwärts und rückwärts am virtuellen AR-Zahlenstrahl können Mächtigkeit der Mengen, Verortung auf dem Zahlenstrahl und Längenverhältnisse in der realen Umgebung (z.B. Schulflur, Schulhof) miteinander in Bezug gesetzt werden.

Reflexión crítica y límites

A pesar del potencial descrito, sigue siendo necesaria una mirada crítica a las posibilidades de acción virtual, especialmente en lo que respecta a su diseño e integración en entornos de aprendizaje sustanciales.

No todas las herramientas virtuales son automáticamente efectivas.

Forschungsergebnisse zur Effektivität virtueller Arbeitsmittel sind nicht einheitlich. Eine aktuelle Studie zeigt beispielsweise, dass konkrete Arbeitsmittel in bestimmten Bereichen (wie Bruchrechnung) zu besseren Lernergebnissen führen können als virtuelle Arbeitsmittel (Al Mutawah et al., 2024). Solche Ergebnisse sind jedoch nicht übertragbar auf Arbeitsmittel bzw. die Technologie an sich. Ähnlich wie es Kriterien für die Auswahl und den Einsatz von gegenständlichen Veranschaulichungsmitteln gibt, sollte der Einsatz weniger an der Technologie, sondern an fachdidaktischen Kriterien ausgerichtet werden. Die Calidad del diseño El uso de la herramienta virtual es crucial (Moyer-Packenham y Bolyard, 2016), así como su integración en entornos de aprendizaje y preguntas adecuadamente diseñados.

Peligro de sobrecarga cognitiva

Paradójicamente, los entornos de aprendizaje digital mal diseñados también pueden generar una mayor carga cognitiva, por ejemplo, a través de animaciones innecesarias, elementos que distraen o interfaces de usuario demasiado complejas (Skulmowski y Xu, 2022).

Importancia del docente

Virtuelle Arbeitsmittel ersetzen nicht die professionelle fachdidaktische Begleitung durch die Lehrkraft. Ganz im Gegenteil: Virtuelle Arbeitsmittel entfalten ihr Potenzial dann, wenn ihre Nutzung durch entsprechende Aufgabenstellungen, Vor- und Nachbereitung und Lernumgebungen gerahmt ist. Untersuchungen zeigen, dass die Art und Weise, wie Lehrkräfte virtuelle Arbeitsmittel einsetzen, entscheidend für den Lernerfolg ist (Larkin, 2016). Die competencia didáctica de las matemáticas El profesor sigue siendo central.

Conclusión y perspectiva

Con un diseño adecuado, las actividades virtuales pueden crear oportunidades de acción y experiencia en el aprendizaje matemático que ofrecen un potencial didáctico significativo en comparación con las actividades que utilizan herramientas no virtuales (Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020b). Se consideran adición y continuación significativas Las acciones virtuales no deben considerarse un sustituto de las acciones del mundo real. Como base para la interpretación y la aplicación significativa, las acciones virtuales suelen requerir experiencias primarias y análogas con materiales de trabajo tangibles. Las condiciones clave para el uso exitoso de herramientas y acciones virtuales son:

1. Fundamentación didáctica-sujeta: Die Ausgestaltung virtueller Handlungen an Arbeitsmitteln sollte sich an bewährten mathematikdidaktischen Konzepten und Prinzipien orientieren.
2. Calidad del diseño: Eine sorgfältige Gestaltung der virtuellen Arbeitsmittel nach Erkenntnissen des Lernens mit Multimedia und fachdidaktischen Prinzipien ist unabdingbar (Urff, 2014).
3. Interacción de lo físico y lo digital (Duo of artefacts): Virtuelle Handlungen bauen auf Erfahrungen mit gegenständlichen Arbeitsmitteln auf und können auch sinnvoll gemeinsam als „Duo of Artifacts“ eingesetzt werden (Bonow, 2020).
4. Profesionalización docente: Los docentes necesitan habilidades para el uso reflexivo de los medios digitales con el fin de aprovechar las posibilidades específicas de los materiales y acciones de aprendizaje digitales y no simplemente usarlos como un reemplazo de los medios analógicos.

En el diseño de herramientas de trabajo virtuales y ofertas de acción se aplican los siguientes principios de diseño desde una perspectiva didáctica-sujeta (cf. Urff, 2012):

• Gestalte virtuelle Arbeitsmittel so, dass der Nutzer bei der Ausführung von Handlungen entlastet wird von nicht für die mathematische Konzeptbildung relevanten Aktivitäten. Dadurch werden möglichst viele kognitive Ressourcen für das mathematische Erkunden verfügbar.
• Versuche über virtuelle Handlungsangebote und Visualisierungen möglichst gut die zu fördernden mathematischen (Denk-)Operationen abzubilden.
• Diseñar recursos virtuales para que la conexión entre diferentes representaciones sea comprensible para los niños.
• Posibilitar acciones que no son o son muy difíciles de lograr con herramientas de trabajo concretas.

La digitalización y el consiguiente avance en la educación ofrecen oportunidades, pero no deben conducir a una euforia tecnológica acrítica. El objetivo no es reemplazar las herramientas tradicionales, sino ampliar el repertorio didáctico. expandirse sabiamente (Krauthausen, 2022). Zukünftige Forschung und Praxis sollten deshalb weiterhin immer kritisch untersuchen, unter welchen Bedingungen welche Kombinationen von konkreten und virtuellen Arbeitsmitteln für welche Lernziele und Zielgruppen optimal sind.

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literatura

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Lecturas complementarias

Nicht im Text zitiert, aber thematisch einschlägig.

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