Christian Urff 2025 (texto actualizado a una versión de 2011)

Introducción

Las herramientas matemáticas son instrumentos fundamentales de enseñanza y aprendizaje que permiten la exploración práctica de conceptos matemáticos fundamentales (Krauthausen, 2012, 2022). A diferencia de las herramientas físicas que los estudiantes pueden manipular con sus propias manos (p. ej., mover, girar o rotar objetos), las posibilidades reales de interacción con las herramientas virtuales se limitan a las interacciones digitales. En las computadoras de escritorio y portátiles tradicionales, las interacciones se realizan principalmente mediante clics del ratón o entradas de teclado, mientras que las pantallas táctiles de las tabletas permiten una retroalimentación háptica directa mediante gestos multitáctiles (Agostinho et al., 2015). Las gafas de realidad aumentada (RA) ahora también permiten la entrada mediante gestos naturales de la mano (pellizcar, rotar, etc.).

Con las herramientas virtuales, las acciones reales las realiza la computadora y se representan visualmente: el usuario inicia la acción. Esto se ilustra claramente con el ejemplo de una cuadrícula virtual de veinte cuadrados: las fichas se pueden voltear virtualmente, pero no mediante un giro físico real. En su lugar, el software ejecuta la operación de volteo con un clic o un gesto táctil y muestra una animación de la acción. Me refiero a estas operaciones ejecutadas por la computadora pero iniciadas por el usuario como acciones virtuales o basadas en computadora (Urff, 2010). Las acciones asistidas por computadora se caracterizan por el hecho de que la acción es iniciada por el usuario, pero una parte significativa de la ejecución es apoyada por la computadora.

Relación entre acciones virtuales y físicas

Restricciones y requisitos

Inicialmente, se podría argumentar que las posibilidades concretas de acción, y por ende, las experiencias de acción, son significativamente limitadas en las acciones virtuales. Esto es cierto si solo se consideran las experiencias táctiles-hápticas (Moyer-Packenham y Bolyard, 2016). El niño no puede sentir físicamente una aleta virtual, no puede olerla, y el acto de girarla no está directamente vinculado a un movimiento motor de la propia aleta.

Esta limitación es la razón decisiva por la que se deberían utilizar herramientas virtuales siempre que sea posible. Continuación y expansión Las herramientas de aprendizaje virtualizadas deben utilizarse para complementar, y no para reemplazar, el uso de materiales de aprendizaje físicos (Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020a). Esto es especialmente cierto en la educación primaria y preescolar, ya que las experiencias primarias desempeñan un papel crucial en el desarrollo de la comprensión durante esta etapa del desarrollo. Es probable que un niño solo pueda interpretar correctamente una operación de volteo virtualizada en el ordenador si ya ha volteado una ficha física o ha observado esta acción con una herramienta física.

Las investigaciones actuales demuestran que la combinación de herramientas de aprendizaje concretas y virtuales (los llamados "materiales manipulativos combinados") puede ser especialmente eficaz (Ahmad et al., 2024; Yakubova et al., 2024). La secuencia y la integración —primero concreto/físico, luego virtual— siguen siendo didácticamente significativas. Pero ¿por qué deberían ofrecerse oportunidades de aprendizaje virtual además de herramientas concretas?

Potencial didáctico de las acciones asistidas por ordenador

Si examinamos más de cerca las posibilidades experienciales visuales-auditivas e interactivas de las acciones virtuales, las acciones basadas en computadora, como una continuación de las acciones reales a través de posibilidades tecnológicas, ofrecen un potencial didáctico que puede ampliar la experiencia de la acción físico-concreta:

1. Alivio cognitivo y cambio mediante la ejecución automatizada de acciones.

Al permitir que la computadora gestione la ejecución de las acciones, quedan más recursos cognitivos disponibles para el aprendizaje matemático real (Sweller, 2020; Paas y van Merriënboer, 2020). Desvincular el impulso de actuar de su ejecución puede reducir la carga motora y cognitiva no relevante para el aprendizaje del niño (Skulmowski y Xu, 2022). En términos de la teoría de la carga cognitiva, esto corresponde al principio de reducir la carga cognitiva extraña, es decir, cargas cognitivas que no son necesariamente relevantes para el aprendizaje (Castro-Alonso, 2020).

Ejemplo de campo de cálculo: Mientras que un veinte cuadrado físico requiere deslizar manualmente las fichas sobre la cuadrícula, involucrando al niño en esta actividad motora, este proceso se automatiza en una computadora. Con un veinte cuadrado virtual, un clic o toque anima automáticamente la inserción de una o más fichas. El niño no necesita preocuparse por la correcta ejecución del movimiento de la ficha —lo cual, al menos con suficiente experiencia primaria, es irrelevante para la formación de conceptos matemáticos—, sino que puede observar la operación de inserción y sus efectos, centrando su atención en el cambio a nivel simbólico (la suma aumenta). Esto permite la experimentación y, potencialmente, una mejor comprensión de las relaciones, ya que se dispone de más recursos cognitivos para observar el efecto de la acción. Por lo tanto, las herramientas de aprendizaje virtual bien diseñadas, junto con las tareas adecuadas, tienen el potencial de reducir la carga cognitiva y facilitar la comprensión operativa de la situación de aprendizaje mediante dicha automatización parcial, ya que la experimentación con diferentes opciones de acción, como "¿Qué sucede con... si...?", se simplifica significativamente.

2. Control conceptual de la ejecución de acciones

Si bien las acciones sobre equipos de trabajo físicos permiten no solo acciones matemáticamente significativas (por ejemplo, colocar una ficha), sino también acciones que no tienen equivalente matemático-conceptual (por ejemplo, fichas superpuestas, colocaciones incorrectas, representaciones no coincidentes), las acciones asistidas por computadora pueden limitarse a acciones matemáticas conceptualmente consistentes (Moyer et al., 2002; Bouck & Park, 2018).

Esto garantiza que solo se ofrezcan como acciones aquellas operaciones importantes para que el alumno desarrolle y descubra las propiedades estructurales didácticamente significativas y, por lo tanto, para su comprensión. Otras acciones, que sin embargo son posibles con herramientas analógicas debido a sus propiedades físicas, son limitadas. Por ejemplo, con el cuadro virtual de veinte, se garantiza que:

• Nunca se pueden colocar más de 20 fichas en el campo,
• Los mosaicos rojos siempre están estructurados de manera coherente y, por lo tanto, son más fáciles de entender (si la estructuración automática está activada).
• La estructuración 5 y 10 se tiene en cuenta automáticamente y
• La representación icónica y simbólica siempre coinciden.

Este estructuración conceptual El andamiaje conceptual mediante herramientas digitales favorece el aprendizaje, especialmente en niños con dificultades de aprendizaje (Park et al., 2022; Yakubova et al., 2024). En particular, cuando falta una comprensión profunda, las acciones incorrectas pueden dar lugar a malentendidos fundamentales. Por ejemplo, si un error de colocación en un cuadrado físico de veinte hace que las representaciones icónicas y simbólicas se desalineen (p. ej., hay 14 fichas en el cuadrado, pero el número 15 está junto a ellas), los niños suelen intentar justificar esta discrepancia posteriormente, a veces construyendo modelos mentales erróneos en el proceso. Las herramientas virtuales pueden prevenir mejor estos malentendidos al permitir únicamente operaciones conceptualmente correctas y garantizar automáticamente la coherencia en todos los niveles de representación.

3. Representación sincronizada en múltiples niveles de representación

La ejecución asistida por computadora de la acción permite sincronizar acciones en múltiples niveles de representación (Krauthausen, 2012, 2022). Esto permite redes dinámicas Las diferentes formas de representación son un elemento central para una comprensión matemática profunda (Moyer-Packenham & Bolyard, 2016).

Ejemplo: Si un sumando en el campo de cálculo se reduce en uno, entonces:

• el número correspondiente se reduce (nivel simbólico),
• la suma se reduce en uno,
• Al mismo tiempo, en el nivel icónico, se retira una ficha del campo de veinte y
• La cantidad total visible se reduce en un elemento.

Esta ejecución asistida y la visualización dinámica vinculan la experiencia de acción a través de múltiples niveles de representación. Esto crea oportunidades de aprendizaje significativas para desarrollar una comprensión integral de las operaciones matemáticas fundamentales. Esto es especialmente cierto para los niños que, si bien son capaces de realizar esta transferencia por sí mismos, aún son propensos a errores. Pueden ampliar, validar, modificar y corregir su modelo mental de las relaciones entre las representaciones mediante estas acciones, siempre que se les asignen tareas adecuadas (por ejemplo: "¿Qué pasa con el marco de veinte si añado cinco fichas rojas? Piénsalo primero y luego compruébalo"). Sin embargo, esta representación interconectada y sincrónica debe estar bien equilibrada en cuanto al alcance y el diseño de los elementos visuales, ya que la vinculación simultánea entre múltiples niveles de representación también puede generar una carga cognitiva adicional. En este caso, menos es más: por lo tanto, se recomienda reducir el uso de unas pocas representaciones interconectadas a la vez.

4. Realización de acciones didácticamente valiosas que no son objetivamente posibles

De particular interés es la visualización de procesos de acción que ilustran conceptos centrales en la educación matemática, pero que no pueden realizarse en absoluto o solo con un esfuerzo desproporcionadamente alto utilizando ayudas didácticas físicas.

Ejemplo “Poder de cinco”: Si bien no es fácil colocar simultáneamente cantidades de cinco en una cuadrícula física de veinte cuadrados, esto es bastante posible virtualmente (Krauthausen, 1995, 2012). En una cuadrícula virtual de veinte cuadrados, se pueden insertar porciones de cinco y uno. Esto permite al niño experimentar de primera mano que es más eficiente (y requiere menos clics) ensamblar seis fichas a partir de un cuadrado de cinco y una sola ficha, en lugar de insertar seis fichas individuales.

Ejemplo de un sistema de cien cuadrados y valor posicional: Aquí, por ejemplo, se pueden insertar cantidades en conjuntos de diez o como unidades, lo que hace que la notación del valor posicional sea claramente tangible en diferentes niveles de representación. Algunas aplicaciones (p. ej., www.lernsoftware-mathematik.de/zahlen) incluso pueden visualizar dinámicamente el proceso de agrupación y desagregación, por ejemplo, agrupando automáticamente diez unidades en una decena.

Si bien estas acciones son teóricamente posibles con materiales físicos, requerirían recursos cognitivos considerables. Agrupar unidades en decenas requiere primero identificar diez unidades, agruparlas e intercambiarlas con una varilla de diez. Para cuando se completa esta acción, es probable que el niño haya perdido de vista el concepto de valor posicional.

5. Apoyo adaptativo y rutas de aprendizaje diferenciadas

Además del entorno puramente experimental, las herramientas virtuales también pueden incluir ofertas de soporte y diferenciación, como:

• Tareas sustancialesSe refiere a tareas que fomentan la exploración e investigación independientes de las conexiones. Estas tareas (por ejemplo, en forma de preguntas de investigación) pueden ofrecerse dentro de la aplicación o externamente. Una buena herramienta de aprendizaje (virtual) es tan adecuada para el aprendizaje orientado a la comprensión como las tareas que la acompañan.
• Notas y comentarios: Se puede ofrecer retroalimentación inmediata sobre las acciones realizadas durante el proceso de exploración, ya sea a petición o de forma proactiva mediante el sistema de aprendizaje digital. Esto puede hacerse visual o textualmente, por ejemplo, mediante pistas visuales (p. ej., un número de fichas parpadeantes, añadiendo elementos de estructuración visual al material) o una pregunta estimulante ("¿Por qué no intentas esto…?", "Piénsalo…") en el momento oportuno del proceso de aprendizaje. Apoyo al aprendizaje con apoyo de IA Esto puede ser un complemento útil para aliviar y complementar a los docentes durante la exploración con la herramienta de aprendizaje virtual.
• Descomposición de representaciones y operaciones complejas: Las operaciones complejas pueden descomponerse en pasos individuales, lo que facilita su comprensión y manipulación. También es posible descomponer representaciones complejas en subrepresentaciones interconectadas.
• Niveles de dificultad ajustables: Los elementos y funciones de las herramientas de aprendizaje virtual se pueden ajustar manualmente dependiendo del nivel de aprendizaje, o pueden adaptarse automáticamente al nivel de aprendizaje y progreso del niño en un sistema de aprendizaje adaptativo.
• Documentación de rutas de aprendizaje Mediante la grabación y reproducción de acciones. La representación fugaz de acciones experimentales puede transformarse en una colección de unidades de documentación (estáticas: imagen o texto) o secuencias de acción (dinámicas: vídeo o descripción) para su posterior análisis y debate. Esto es posible incluso si la herramienta didáctica no ofrece estas funciones (como en la aplicación "Rechenfeld") gracias a herramientas permanentemente disponibles como grabación de pantalla, capturas de pantalla, notas o grabaciones de audio. La colección de unidades de documentación facilita procesos de aprendizaje posteriores para el profesor, como la estructuración de la colección, la presentación de los resultados, la exploración de estrategias y la provisión de opciones de diagnóstico (Wollring, 2008).

Estas opciones permiten personalizar las herramientas virtuales para satisfacer las necesidades de aprendizaje de los estudiantes.

Desarrollos y tecnologías actuales para ampliar las experiencias de acción virtual

Tecnología táctil y aprendizaje incorporado

Los dispositivos con funcionalidad multitáctil permiten interacciones hápticas más directas que el control tradicional con ratón. Por lo tanto, los dispositivos con tecnología táctil son ahora muy populares en entornos educativos, especialmente en escuelas primarias. El seguimiento y el deslizamiento de los dedos pueden utilizarse como conocimiento biológico primario, reduciendo así la carga cognitiva (Agostinho et al., 2015; Ginns et al., 2020). Por ejemplo, la escala de una recta numérica virtual puede modificarse rápida y dinámicamente con un gesto intuitivo de deslizamiento o acercamiento/alejado con dos dedos. Estas posibilidades de interacción no son posibles con medios analógicos y estáticos.

Inteligencia artificial y sistemas adaptativos

Las herramientas modernas de aprendizaje virtual pueden facilitar rutas de aprendizaje adaptativas mediante sistemas basados en IA que se adaptan automáticamente al nivel de aprendizaje y las necesidades de cada estudiante (Haryana et al., 2022). Estos sistemas pueden regular dinámicamente la carga cognitiva y crear condiciones óptimas de aprendizaje. Sin embargo, la investigación en este campo aún se encuentra en sus primeras etapas. Aún quedan muchas preguntas abiertas, en particular sobre cómo integrar significativamente la IA generativa para apoyar el aprendizaje en lugar de reemplazarlo o dificultarlo.

Realidad aumentada y virtual

Las tecnologías de RA y RV abren nuevas posibilidades para la interacción virtual físico-espacial que integran el movimiento y el aprendizaje al permitir la manipulación tridimensional de objetos virtuales y el aprendizaje basado en el movimiento (Altmeyer et al., 2024). Estas tecnologías ofrecen un potencial especialmente prometedor para el razonamiento espacial. Los enfoques de aprendizaje incorporado, en los que los movimientos físicos promueven la comprensión matemática de forma integrada, por ejemplo, combinando experiencias del mundo real con las virtuales, también son posibles gracias a las tecnologías de RA y RV.

Ejemplo de recta numérica de RA: En la app de recta numérica de RA, los niños pueden realizar acciones en una recta numérica virtual. Esta recta numérica puede proyectarse directamente sobre una superficie de referencia en su entorno y extenderse indefinidamente. Mediante la experiencia tangible de avanzar y retroceder a lo largo de la recta numérica virtual de RA, se puede establecer la relación entre el tamaño de los conjuntos, su posición en la recta numérica y las razones de longitud en el entorno real (por ejemplo, el pasillo o el patio de la escuela).

Reflexión crítica y límites

A pesar del potencial descrito, sigue siendo necesaria una mirada crítica a las posibilidades de acción virtual, especialmente en lo que respecta a su diseño e integración en entornos de aprendizaje sustanciales.

No todas las herramientas virtuales son automáticamente efectivas.

Los resultados de las investigaciones sobre la eficacia de las herramientas virtuales de aprendizaje son inconsistentes. Por ejemplo, un estudio reciente muestra que las herramientas físicas de aprendizaje pueden generar mejores resultados en ciertas áreas (como fracciones) que las herramientas virtuales (Al Mutawah et al., 2024). Sin embargo, estos resultados no pueden generalizarse ni a las herramientas de aprendizaje ni a la propia tecnología. Así como existen criterios para seleccionar y utilizar recursos didácticos tangibles, su uso debería guiarse menos por la propia tecnología y más por criterios pedagógicos específicos de cada asignatura. Calidad del diseño El uso de la herramienta virtual es crucial (Moyer-Packenham y Bolyard, 2016), así como su integración en entornos de aprendizaje y preguntas adecuadamente diseñados.

Peligro de sobrecarga cognitiva

Paradójicamente, los entornos de aprendizaje digital mal diseñados también pueden generar una mayor carga cognitiva, por ejemplo, a través de animaciones innecesarias, elementos que distraen o interfaces de usuario demasiado complejas (Skulmowski y Xu, 2022).

Importancia del docente

Las herramientas de aprendizaje virtual no sustituyen el apoyo pedagógico profesional del docente, específico de la asignatura. Al contrario, las herramientas de aprendizaje virtual despliegan todo su potencial cuando su uso se complementa con tareas, preparación y seguimiento adecuados, y entornos de aprendizaje adecuados. Los estudios demuestran que la forma en que los docentes utilizan las herramientas de aprendizaje virtual es crucial para el éxito del aprendizaje (Larkin, 2016). competencia didáctica de las matemáticas El profesor sigue siendo central.

Conclusión y perspectiva

Con un diseño adecuado, las actividades virtuales pueden crear oportunidades de acción y experiencia en el aprendizaje matemático que ofrecen un potencial didáctico significativo en comparación con las actividades que utilizan herramientas no virtuales (Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020b). Se consideran adición y continuación significativas Las acciones virtuales no deben considerarse un sustituto de las acciones del mundo real. Como base para la interpretación y la aplicación significativa, las acciones virtuales suelen requerir experiencias primarias y análogas con materiales de trabajo tangibles. Las condiciones clave para el uso exitoso de herramientas y acciones virtuales son:

1. Fundamentación didáctica-sujeta: El diseño de acciones virtuales sobre herramientas de enseñanza debe basarse en conceptos y principios probados de la educación matemática.
2. Calidad del diseño: Es esencial un diseño cuidadoso de herramientas de aprendizaje virtual basadas en conocimientos del aprendizaje multimedia y principios didácticos específicos de cada materia (Urff, 2014).
3. Interacción de lo físico y lo digital (Dúo de artefactos): Las acciones virtuales se basan en experiencias con herramientas tangibles y también pueden usarse juntas de manera efectiva como un „Dúo de artefactos“ (Bonow, 2020).
4. Profesionalización docente: Los docentes necesitan habilidades para el uso reflexivo de los medios digitales con el fin de aprovechar las posibilidades específicas de los materiales y acciones de aprendizaje digitales y no simplemente usarlos como un reemplazo de los medios analógicos.

En el diseño de herramientas de trabajo virtuales y ofertas de acción se aplican los siguientes principios de diseño desde una perspectiva didáctica-sujeta (cf. Urff, 2012):

• Diseñar herramientas virtuales que liberen al usuario de actividades no relevantes para la formación de conceptos matemáticos al realizar acciones. Esto pone a su disposición la mayor cantidad posible de recursos cognitivos para la exploración matemática.
• Se intenta utilizar ofertas de acciones virtuales y visualizaciones para representar las operaciones matemáticas (de pensamiento) que se deben promover lo mejor posible.
• Diseñar recursos virtuales para que la conexión entre diferentes representaciones sea comprensible para los niños.
• Posibilitar acciones que no son o son muy difíciles de lograr con herramientas de trabajo concretas.

La digitalización y el consiguiente avance en la educación ofrecen oportunidades, pero no deben conducir a una euforia tecnológica acrítica. El objetivo no es reemplazar las herramientas tradicionales, sino ampliar el repertorio didáctico. expandirse sabiamente (Krauthausen, 2022). Por lo tanto, la investigación y la práctica futuras deberían seguir examinando críticamente bajo qué condiciones, qué combinaciones de herramientas concretas y virtuales son óptimas para qué objetivos de aprendizaje y grupos objetivo.

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literatura

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