Virtuelle Arbeitsmittel als Weiterführung konkreter Erfahrungen – Überlegungen zur didaktischen Gestaltung computergestützter Handlungen

Christian Urff 2025 (updated text to a version of 2011)

Introduction

Mathematische Arbeitsmittel sind zentrale Lehr- und Lernwerkzeuge, mit denen sich handelnd grundlegende mathematische Zusammenhänge erforschen lassen (Krauthausen, 2012, 2022). Im Gegensatz zu gegenständlichen Arbeitsmitteln, die Lernende mit den eigenen Händen manipulieren können (z.B. Objekte verschieben, umlegen, umdrehen), sind die „realen“ Handlungsmöglichkeiten bei virtuellen Arbeitsmitteln auf digitale Interaktionen beschränkt. Bei klassischen Desktop-Computern und Notebooks erfolgen Interaktionen primär über Mausklicks oder Tastatureingaben, während Touchscreens in Tablets durch Multi-Touch-Gesten direkte haptische Rückmeldungen ermöglichen (Agostinho et al., 2015). Über AR-Brillen ist neuerdings auch die Eingabe mit natürlichen Handgesten (Finger aufeinanderlegen, drehen usw.) möglich.

With virtual tools, the actual actions are performed by the computer and visually rendered – the user initiates the action. This is clearly illustrated by the example of a virtual twenty-square grid: Counters can be virtually flipped, but not by actual physical turning. Instead, the software executes the flip operation with a click or touch gesture and displays an animation of the action. I refer to such computer-executed but user-initiated operations as computer-based or virtual actions (Urff, 2010). Computergestützte Handlungen zeichnen sich dadurch aus, dass die Handlungsinitiierung durch den Benutzer erfolgt, ein wesentlicher Teil der Ausführung allerdings durch den Computer übernommen wird.

Relationship between virtual and physical actions

Restrictions and requirements

One could initially argue that the concrete possibilities for action, and thus the action experiences, are significantly limited in virtual actions. This is certainly true if only tactile-haptic experiences are considered (Moyer-Packenham & Bolyard, 2016). The child cannot physically feel a virtual flipper, cannot smell it, and the act of turning it over is not directly linked to a motor movement of the flipper itself.

Diese Einschränkung ist der entscheidende Grund, warum virtuelle Arbeitsmittel wenn irgend möglich als Continuation and expansion Virtualized learning tools should be used to complement, not replace, the use of physical learning materials (Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020a). This is especially true for primary and preschool education, as primary experiences play a crucial role in developing understanding during this phase of development. A child will likely only be able to correctly interpret a virtualized flipping operation on the computer if they have already flipped a physical counter themselves or observed this action being performed with a physical tool.

Aktuelle Forschung zeigt, dass die Kombination von konkreten und virtuellen Arbeitsmitteln (sogenannte „Blended Manipulatives“) besonders effektiv sein kann (Ahmad et al., 2024; Yakubova et al., 2024). Die Reihenfolge und Vernetzung – erst konkret-physisch, dann virtuell – bleibt dabei didaktisch bedeutsam. Doch warum sollten überhaupt ergänzend zu konkreten Arbeitsmitteln auch noch virtuelle Handlungsmöglichkeiten angeboten werden?

Didactic potential of computer-assisted actions

Werden die visuell-auditiven und interaktiven Erfahrungsmöglichkeiten virtueller Handlungen genauer in den Blick genommen, bieten computergestützte Handlungen als Fortführung realer Handlungen durch die technologischen Möglichkeiten einige didaktische Potenziale, die physisch-konkrete Handlungserfahrungen erweitern können:

1. Cognitive relief and shifting through automated action execution

Durch die Übernahme der Handlungsausführung durch den Computer bleiben mehr kognitive Ressourcen für das eigentliche mathematische Lernen verfügbar (Sweller, 2020; Paas & van Merriënboer, 2020). Die Entkopplung von Handlungsimpuls und -ausführung kann die nicht lernrelevante motorische und kognitive Belastung des Kindes verringern (Skulmowski & Xu, 2022). Mit der Cognitive Load Theory gesprochen, entspricht dies dem Prinzip der Reduktion der extraneous cognitive load, i.e., cognitive loads that are not necessarily relevant to learning (Castro-Alonso, 2020).

Example calculation field: Während bei einem gegenständlichen Zwanzigerfeld Plättchen von Hand auf das Feld geschoben werden müssen und das Kind mit dieser motorischen Bewegung beschäftigt ist, erfolgt dies am Computer automatisiert. Beim virtuellen Zwanzigerfeld wird durch einen Klick oder Touch automatisch eine Einfügebewegung eines oder mehrerer Plättchen animiert. Das Kind muss sich nicht um die korrekte Ausführung der Plättchenbewegung kümmern – was zumindest mit genügend Primärerfahrung für die mathematische Konzeptbildung irrelevant ist –, sondern kann die Einfügeoperation und ihre Auswirkungen beobachten und die Aufmerksamkeit auf die Veränderung auf der symbolischen Ebene richten (die Summe vergrößert sich) und dadurch experimentierend potenziell besser die Zusammenhänge gedanklich nachvollziehen, da mehr kognitive Ressourcen für die Beobachtung der Auswirkung der Handlung zur Verfügung stehen. Gut gestaltete virtuelle Arbeitsmittel haben also im Zusammenspiel mit geeigneten Aufgabenstellungen durch solche Teilautomatisierungen das Potenzial, die kognitive Belastung zu reduzieren und das operative Durchdringen der Lernsituation zu erleichtern, da das Experimentieren mit verschiedenen Handlungsoptionen im Sinne von „Was passiert mit …, wenn …?“ deutlich erleichtert wird.

2. Conceptual control of action execution

While actions on physical work equipment allow not only mathematically meaningful actions (e.g., placing a tile) but also actions that have no mathematical-conceptual equivalent (e.g., overlapping tiles, misplacements, mismatched representations), computer-assisted actions can be limited to conceptually consistent mathematical actions (Moyer et al., 2002; Bouck & Park, 2018).

Dadurch werden nur diejenigen Operationen als Handlungen angeboten, die für den Lernenden zur Erarbeitung und Entdeckung der didaktisch bedeutsamen Struktureigenschaften und damit für das Verständnis wichtig sind. Andere, bei analogen Arbeitsmitteln aufgrund der physikalischen Eigenschaften trotzdem mögliche Handlungen werden begrenzt. Beispielsweise wird beim virtuellen Zwanzigerfeld gewährleistet, dass:

never more than 20 tiles can be placed on the field,
red tiles are always structured in a coherent manner and are therefore easier to understand (if automatic structuring is switched on),
the 5 and 10 structuring is automatically taken into account and
the iconic and symbolic representation always match each other.

This conceptual structuring Conceptual scaffolding using digital tools supports learning, especially for children with learning difficulties (Park et al., 2022; Yakubova et al., 2024). Particularly when a deep understanding is lacking, incorrect actions can lead to fundamental misunderstandings. For example, if a placement error on a physical twenty-square causes the iconic and symbolic representations to misalign (e.g., 14 tiles are on the square, but the number 15 is next to them), children often try to rationalize this discrepancy afterward, sometimes constructing flawed mental models in the process. Virtual tools can better prevent such misunderstandings by allowing only conceptually correct operations and automatically ensuring consistency across all representational levels.

3. Synchronized representation across multiple representation levels

The computer-assisted execution of the action makes it possible to synchronize actions across multiple representational levels (Krauthausen, 2012, 2022). This enables the dynamic networking Different forms of representation are a central element for a deep mathematical understanding (Moyer-Packenham & Bolyard, 2016).

Example: If a summand on the calculation field is reduced by one, then:

the corresponding number is reduced (symbolic level),
the sum is reduced by one,
At the same time, on the iconic level, a tile is removed from the twenty-field and
the total visible quantity is reduced by one element.

Durch diese gestützte Ausführung und dynamische Visualisierung wird die Handlungserfahrung über mehrere Darstellungsebenen hinweg gekoppelt. Dies ermöglicht Lernchancen, die für die Entwicklung eines umfassenden Verständnisses grundlegender mathematischer Operationen bedeutsam sein können. Besonders für Kinder, die diese Übertragung zwar grundsätzlich selbst vornehmen könnten, bei denen sie aber noch fehleranfällig ist, bestehen hier besondere Lernchancen. Sie können durch die Handlungen ihr mentales Modell der Zusammenhänge zwischen den Darstellungen ausbauen, validieren, verändern und korrigieren – wenn entsprechende Aufgabenstellungen dies anregen (beispielsweise: „Was passiert mit dem Zwanzigerfeld, wenn ich fünf rote Plättchen dazulege? Überlege erst selbst und prüfe dann.“). Allerdings muss diese vernetzte synchrone Darstellung im Umfang und der Ausgestaltung der visuellen Elemente gut ausbalanciert sein, denn durch die Vernetzung gleichzeitig über mehrere Darstellungsebenen hinweg können auch zusätzliche kognitive Belastungen entstehen. Weniger ist hier oft mehr: Eine Reduktion auf jeweils wenige gleichzeitig miteinander verknüpfte Darstellungen ist deshalb empfehlenswert.

4. Realization of didactically valuable actions that are not objectively possible

Of particular interest is the visualization of action processes that illustrate core concepts in mathematics education, but which cannot be realized at all or only with disproportionately high effort using physical teaching aids.

Beispiel „Kraft der Fünf“: Während es am gegenständlichen Zwanzigerfeld nicht ohne weiteres gelingt, Mengen in Fünferportionen simultan auf das Feld zu legen, ist dies virtuell gut möglich (Krauthausen, 1995, 2012). Beim virtuellen Zwanzigerfeld können Fünfer- und Einerportionen eingefügt werden. Dadurch kann das Kind anschaulich erfahren, dass es effektiver ist (und weniger „Klicks“ benötigt), sechs Wendeplättchen aus einem Fünfer und einem Einzelplättchen zusammenzulegen, anstatt sechsmal einzelne Plättchen einzufügen.

Example of a hundred square and place value system: Here, for example, quantities can be inserted into bundles of ten or as units, making place value notation clearly tangible across different levels of representation. Some apps (e.g., www.lernsoftware-mathematik.de/zahlen) can even dynamically visualize the bundling and unbundling process, for example, by automatically grouping ten units into one ten.

While these actions are theoretically possible with physical materials, they would require significant cognitive resources. Grouping ones into tens requires first identifying ten ones, grouping them together, and exchanging them with a ten-rod. By the time this action is completed, a child has likely lost sight of the concept of place value.

5. Adaptive support and differentiated learning paths

In addition to the pure experimental environment, virtual tools can also include support and differentiation offers, such as:

Substantial tasksThis refers to tasks that encourage independent exploration and investigation of the connections. These tasks (for example, in the form of research questions) can be offered either within the app or externally. A good (virtual) learning tool is only as suitable for understanding-oriented learning as the accompanying tasks!
Notes and feedback: Es können während des Erkundungsprozesses unmittelbare Rückmeldungen zu durchgeführten Handlungen angeboten werden – entweder auf Anforderung oder auch proaktiv durch das digitale Lernsystem. Dies kann visuell oder textuell-sprachlich geschehen, beispielsweise durch visuelle Hinweise (z.B. aufblinkende Plättchenmenge, Hinzufügen von visuellen Strukturierungsmerkmalen am Material) oder eine anregende Frage („Probier doch mal …“, „Überlege …“) zum passenden Zeitpunkt im Lernprozess. Auch AI-supported learning guidance kann hier eine sinnvolle Ergänzung sein, um Lehrkräfte während der Exploration mit dem virtuellen Arbeitsmittel zu entlasten und zu ergänzen.
Decomposition of complex representations and operations: Complex operations can be broken down into individual steps, making them easier to understand and manipulate. It is also possible to decompose complex representations into interconnected sub-representations.
Adjustable difficulty levels: Die Elemente und Funktionen virtueller Arbeitsmittel können je nach Lernstand selbst angepasst werden oder sich in einem adaptiven Lernsystem automatisch an den Lernstand und Lernverlauf des Kindes anpassen.
Documentation of learning paths durch die Aufzeichnung und Wiedergabe von Handlungen. Die flüchtige Darstellung der Experimentierhandlungen kann für eine spätere Analyse und Besprechung in eine nichtflüchtige Sammlung von Dokumentationseinheiten (statisch – Bild oder Text) oder Handlungssequenzen (dynamisch – Video oder Beschreibung) umgewandelt werden. Durch permanent zur Verfügung stehende Werkzeuge wie eine Bildschirmaufnahme, Screenshots, Notizen oder Tonaufnahmen ist dies auch möglich, wenn das Arbeitsmittel dies nicht selbst anbietet (wie beispielsweise in der App „Rechenfeld“). Durch die Sammlung von Dokumentationseinheiten sind nachgelagerte Lernprozesse wie beispielsweise die Strukturierung der Sammlung, die Darstellung der Ergebnisse, Strategieerkundungen und auch Diagnosemöglichkeiten für die Lehrkraft möglich (Wollring, 2008).

These options allow virtual tools to be personalized to meet learners’ learning needs.

Current developments and technologies for expanding virtual action experiences

Touch technology and embodied learning

Geräte mit Multi-Touch-Funktion ermöglichen direktere haptische Interaktionen als die klassische Maussteuerung. Deshalb sind Geräte mit Touch-Technologie mittlerweile sehr beliebt im schulischen Kontext, insbesondere in der Primarstufe. Fingertracing und Wischgesten können als biologically primary knowledge genutzt werden und somit die kognitive Belastung reduzieren (Agostinho et al., 2015; Ginns et al., 2015). Beispielsweise kann die Skalierung auf einem virtuellen Zahlenstrahl durch eine intuitive Geste des Wischens oder des Zoom-In/Out mit zwei Fingern schnell und dynamisch verändert werden. Solche Handlungsmöglichkeiten sind mit analogen, statischen Medien nicht umsetzbar.

Artificial intelligence and adaptive systems

Moderne virtuelle Arbeitsmittel können durch KI-basierte Systeme adaptive Lernpfade ermöglichen, die sich automatisch an den Lernstand und die Bedürfnisse einzelner Schülerinnen und Schüler anpassen (Haryana et al., 2022). Solche Systeme können die kognitive Belastung dynamisch regulieren und optimale Lernbedingungen schaffen. Die Forschung steht hier allerdings noch am Anfang. Es gibt noch viele offene Fragestellungen insbesondere dazu, wie generative KI sinnvoll integriert werden sollte, um das Lernen zu unterstützen und nicht zu ersetzen bzw. zu verhindern.

Augmented and Virtual Reality

AR- und VR-Technologien eröffnen neue Möglichkeiten für räumlich-physische virtuelle Handlungsmöglichkeiten, die Bewegung und Lernen integrieren, indem sie dreidimensionale Manipulationen virtueller Objekte und bewegtes Lernen ermöglichen (Altmeyer et al., 2024). Besonders für das räumliche Vorstellungsvermögen bieten solche Technologien vielversprechende Potenziale. Auch embodied learning-Ansätze, bei denen körperliche Bewegungen das mathematische Verständnis integriert fördern, beispielsweise durch die Vermischung realer Erfahrungen mit virtuellen Erfahrungen, sind durch AR- und VR-Technologien möglich.

Beispiel AR Zahlenstrahl: In der App AR Zahlenstrahl können Kinder Handlungen an einem virtuellen Zahlenstrahl vornehmen. Dieser Zahlenstrahl kann direkt auf eine Bezugsfläche des Umfeldes projiziert werden und potenziell unendlich fortgeführt werden. Durch die eigene erfahrbare Bewegung vorwärts und rückwärts am virtuellen AR-Zahlenstrahl können Mächtigkeit der Mengen, Verortung auf dem Zahlenstrahl und Längenverhältnisse in der realen Umgebung (z.B. Schulflur, Schulhof) miteinander in Bezug gesetzt werden.

Critical reflection and limits

Despite the potential described, a critical look at virtual action possibilities remains necessary, especially with regard to their design and integration into substantial learning environments.

Not all virtual tools are automatically effective.

Forschungsergebnisse zur Effektivität virtueller Arbeitsmittel sind nicht einheitlich. Eine aktuelle Studie zeigt beispielsweise, dass konkrete Arbeitsmittel in bestimmten Bereichen (wie Bruchrechnung) zu besseren Lernergebnissen führen können als virtuelle Arbeitsmittel (Al Mutawah et al., 2024). Solche Ergebnisse sind jedoch nicht übertragbar auf Arbeitsmittel bzw. die Technologie an sich. Ähnlich wie es Kriterien für die Auswahl und den Einsatz von gegenständlichen Veranschaulichungsmitteln gibt, sollte der Einsatz weniger an der Technologie, sondern an fachdidaktischen Kriterien ausgerichtet werden. Die Design quality of the virtual tool is crucial (Moyer-Packenham & Bolyard, 2016), as is its integration into appropriately designed learning environments and questions.

Danger of cognitive overload

Paradoxically, poorly designed digital learning environments can also lead to increased cognitive load – for example, through unnecessary animations, distracting elements, or overly complex user interfaces (Skulmowski & Xu, 2022).

Importance of the teacher

Virtuelle Arbeitsmittel ersetzen nicht die professionelle fachdidaktische Begleitung durch die Lehrkraft. Ganz im Gegenteil: Virtuelle Arbeitsmittel entfalten ihr Potenzial dann, wenn ihre Nutzung durch entsprechende Aufgabenstellungen, Vor- und Nachbereitung und Lernumgebungen gerahmt ist. Untersuchungen zeigen, dass die Art und Weise, wie Lehrkräfte virtuelle Arbeitsmittel einsetzen, entscheidend für den Lernerfolg ist (Larkin, 2016). Die mathematics didactic competence the teacher remains central.

Conclusion and outlook

With appropriate design, virtual activities can create opportunities for action and experience in mathematical learning that offer significant didactic potential compared to activities using non-virtual tools (Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020b). They are considered meaningful addition and continuation Virtual actions should not be seen as a replacement for real-world actions. As a basis for interpretation and meaningful application, virtual actions often require primary, analogous experiences with tangible work materials. Key conditions for the successful use of virtual tools and virtual actions are:

Subject-didactic foundation: Die Ausgestaltung virtueller Handlungen an Arbeitsmitteln sollte sich an bewährten mathematikdidaktischen Konzepten und Prinzipien orientieren.
Design quality: Eine sorgfältige Gestaltung der virtuellen Arbeitsmittel nach Erkenntnissen des Lernens mit Multimedia und fachdidaktischen Prinzipien ist unabdingbar (Urff, 2014).
interplay of physical and digital (Duo of artefacts): Virtuelle Handlungen bauen auf Erfahrungen mit gegenständlichen Arbeitsmitteln auf und können auch sinnvoll gemeinsam als „Duo of Artifacts“ eingesetzt werden (Bonow, 2020).
Teacher professionalization: Teachers need skills for the reflective use of digital media in order to utilize the specific possibilities of digital learning materials and actions and not simply use them as a replacement for analog media.

When designing virtual work tools and action offers, the following design principles are guiding from a subject-didactic perspective (cf. Urff, 2012):

Gestalte virtuelle Arbeitsmittel so, dass der Nutzer bei der Ausführung von Handlungen entlastet wird von nicht für die mathematische Konzeptbildung relevanten Aktivitäten. Dadurch werden möglichst viele kognitive Ressourcen für das mathematische Erkunden verfügbar.
Versuche über virtuelle Handlungsangebote und Visualisierungen möglichst gut die zu fördernden mathematischen (Denk-)Operationen abzubilden.
Design virtual resources so that the connection between different representations becomes understandable for children.
Enable actions that are not or only very difficult to achieve with concrete work tools.

Digitalization and the resulting advance in digitalization in education offer opportunities, but should not lead to uncritical technological euphoria. The goal is not to replace traditional tools, but to expand the didactic repertoire. to expand wisely (Krauthausen, 2022). Zukünftige Forschung und Praxis sollten deshalb weiterhin immer kritisch untersuchen, unter welchen Bedingungen welche Kombinationen von konkreten und virtuellen Arbeitsmitteln für welche Lernziele und Zielgruppen optimal sind.

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urff.app

Virtual tools as a continuation of concrete experiences – reflections on the didactic design of computer-supported activities