クリスチャン・ウルフ 2025 （テキストを更新したバージョン 2011)

導入

数学ツールは、学生が実践的なインタラクションを通して基本的な数学概念を探求することを可能にする、教育と学習の中心的なツールです（Krauthausen, 2012, 2022）。学習者が自分の手で操作できる物理的なツール（例：物体の移動、傾け、回転）とは対照的に、仮想ツールにおける「現実的な」アクションの選択肢はデジタルインタラクションに限定されます。従来のデスクトップコンピュータやノートパソコンでは、インタラクションは主にマウスクリックまたはキーボード入力によって行われますが、タブレットのタッチスクリーンでは、マルチタッチジェスチャーによる直接的な触覚フィードバックが可能です（Agostinho et al., 2015）。ARグラスでは、自然な手のジェスチャー（指の置き方、回転など）による入力も可能になっています。

仮想ツールにおける実際の動作はコンピュータによって実行され、視覚的にレンダリングされます。ユーザーは、動作を実行するための意図的なインパルスを与えるだけです。これは、仮想の20マスのフィールドの例で明らかになります。回転する駒は仮想的に回転させることができますが、実際に物理的に回転させるわけではありません。回転操作はソフトウェアによってクリックまたはタッチジェスチャーによって実行され、回転操作のアニメーションが表示されます。このような、コンピュータによって実行されるがユーザーによって開始される操作は、回転と呼ばれます。 コンピュータ支援アクション （Urff, 2010）。コンピュータ支援アクションは、アクション自体がユーザーによって開始されるものの、実行の大部分はコンピュータによってサポートされるという特徴があります。

仮想ツールと実体ツールの関係

制限事項と要件

まず、仮想行動においては、具体的に知覚できる行動の選択肢、ひいては行動体験も著しく制限されていると言えるでしょう。触覚的・触覚的な体験の選択肢だけを考えれば、これは確かに当てはまります（Moyer-Packenham & Bolyard, 2016）。子どもは仮想の駒を回転させることを物理的に感じることができず、駒をひっくり返すという行為は駒自体の運動動作と直接結びついていません。

この制限は、仮想ツールが 継続と拡大 これらは、物理的な道具を使った作業の代替ではなく、補完的なものとして用いられるべきです（Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020a）。これは特に小学校および就学前の学習において当てはまります。なぜなら、この発達段階では、基本的な経験が理解を深める上で中心的な役割を果たすからです。子どもがコンピューター上で仮想的に表現された旋盤操作を正しく解釈できるのは、おそらく、既に自分で旋盤加工をしたことがあるか、少なくとも実際の工具でその動作を観察したことがある場合に限られます。

最新の研究では、物理的なリソースと仮想的なリソースを組み合わせること（いわゆる「ブレンデッド・マニピュレータ」）が特に効果的であり、学習成果の向上につながることが示されています（Ahmad et al., 2024; Yakubova et al., 2024）。物理的なリソース、そして仮想的なリソースという順序と相互関係は、教育上依然として重要です。しかし、なぜ物理的なリソースに加えて、仮想的な探究の機会も提供する必要があるのでしょうか？

コンピュータ支援アクションの教育的可能性

仮想アクションの視覚的・聴覚的およびインタラクティブな体験の可能性をさらに詳しく調べると、実際のアクションの延長として、コンピューターでサポートされたアクションは、技術的な可能性を通じて新しい教育的可能性を提供します。

1. 自動化されたアクション実行による認知的緩和とシフト

コンピュータに動作の実行を任せることで、より多くの認知資源が数学の学習そのものに利用できるようになります（Sweller, 2020; Paas & van Merriënboer, 2020）。動作の衝動と実行を切り離すことで、子どもの学習に関連しない運動負荷と認知負荷を軽減することができます（Skulmowski & Xu, 2022）。これは、学習に関連しない運動負荷と認知負荷を軽減するという原則に対応しています。 余分な認知負荷 認知負荷理論（Castro-Alonso、2020）より。

計算フィールドの例: 物理的な20マスゲームでは、タイルを手でマスに押し出す必要があり、子どもはこの動作に追われますが、これはコンピュータ上で自動的に行われます。仮想の20マスゲームでは、クリックまたはタッチするだけで、1つまたは複数のタイルの挿入動作が自動的にアニメーション化されます。子どもはタイルの動きを正しく行う必要はありません（これは数学的概念の形成には無関係です）。むしろ、挿入操作とその効果を観察し、記号レベルの変化（合計の増加）に注意を集中することで、実験を通して関連性をより深く理解することができます。適切に設計された仮想マニピュレータは、このような部分的な自動化によって認知負荷を軽減し、同時に学習をサポートします。特に、「もし…だったら…はどうなるか？」といった様々な選択肢を試すことがはるかに容易になるためです。

2. 行動実行の概念的制御

物理的な作業機器に対するアクションでは、数学的に意味のあるアクション（タイルの配置など）だけでなく、数学的概念的に同等なものがないアクション（タイルの重なり、配置ミス、表現の不一致など）も可能になりますが、コンピューター支援によるアクションは概念的に一貫した数学的アクションに限定できます（Moyer et al.、2002; Bouck & Park、2018）。

これにより、学習者が教育的に重要な構造特性を発達させ、発見するために不可欠な操作のみが提供されます。アナログツールでは物理的特性上可能なその他の操作は、その制限によって制限されます。例えば、仮想20フィールドは以下を保証します。

• フィールドに配置できるタイルは20枚までです。
• 赤いタイルは常に一貫した方法で構造化されているため、理解しやすくなります（自動構造化がオンになっている場合）。
• 5と10の構造は自動的に考慮され、
• 象徴的な表現と象徴的な表現は常に一致します。

これ 概念構造化 デジタルツールを用いた概念的足場構築は、特に学習障害のある子どもたちの学習をサポートします（Park et al., 2022; Yakubova et al., 2024）。特に深い理解がまだ確立されていない段階では、誤った行動が根本的な誤解につながる可能性があります。例えば、コンクリート製の20個のタイルの正方形への配置ミスにより、象徴的な表現と記号的な表現が一致しなくなる場合（例えば、正方形には14個のタイルがあるが、その隣に15の数字がある場合）、子どもたちはその後、この矛盾を合理化しようとし、誤ったメンタルモデルを構築しようとすることがよくあります。仮想ツールは、概念的に正しい操作のみを許可し、すべての表現レベル間の一貫性を自動的に確保することで、このような誤りを回避します。

3. 複数の表現レベルにわたる同期表現

コンピュータ支援による行動実行は、複数の表現レベルにまたがる行動の同期を可能にする（Krauthausen, 2012, 2022）。これにより、 動的ネットワーキング 異なる表現は、深い数学的理解のための中心的要素である（Moyer-Packenham & Bolyard、2016）。

例： 計算フィールドの加数が 1 減少した場合、次のようになります。

• 対応する数字が減る（記号レベル）、
• 合計は1つ減ります。
• 同時に、象徴的なレベルでは、20のフィールドからタイルが1つ取り除かれ、
• 表示される合計量は 1 つの要素だけ減少します。

このサポートされた実行と動的な視覚化を通して、動作体験は複数の表現レベルにまたがって結び付けられます。これにより、基本的な数学演算へのより深い理解を育む上で重要な学習機会が創出されます。これは特に、情報を完全に伝達できない、あるいは間違いを犯している子どもたちに当てはまります。子どもたちは動作を通して、自らのメンタルモデルを検証、修正、そして修正することができます。しかしながら、このネットワーク化された同期表現は、視覚要素の範囲とデザインに関して、バランスの取れたものでなければなりません。複数の表現レベルにまたがるネットワーク化は、認知負荷を増加させる可能性もあるからです。ここでは、少ない方がより効果的であることが多いため、一度に相互接続された表現を少数に減らすことが推奨されます。

4. 客観的には不可能だが、教訓的に価値のある行動の実現

特に興味深いのは、数学教育の中核概念を示すアクション プロセスの視覚化ですが、これは物理的な作業教材ではまったく実現できないか、多大な労力を要します。

「Power of Five」の例: 物理的な20マスのボード上で5個ずつの数量を同時に配置するのは簡単ではありませんが、仮想の20マスのボードでは簡単に可能です (Krauthausen, 1995, 2012)。仮想の20マスのボードでは、5個と1個の数量を配置できます。これにより、子どもは、6個のタイルを個別に配置するのではなく、5個と1個のタイルを組み合わせた6個のリバーシブルタイルを組み合わせる方が効果的（かつクリック回数が少ない）であることを鮮明に体験できます。

百マスと位取り記数法の例: ここでは、数量を10の位と1の位で入力できるため、あらゆる表示レベルで位取り記法を明確に確認できます。一部のアプリでは、例えば10個の1を10個に自動的に結合するなど、バンドルとアンバンドルのプロセスを動的に視覚化することもできます。

5. 適応型サポートと差別化された学習パス

純粋な実験環境に加えて、仮想ツールには次のようなサポートや差別化の提供も含まれます。

• 実質的なタスク: これらは、つながりについての自主的な探求と調査を促すタスクです。これらのタスク（調査質問）は、アプリ内またはアプリ外で提供できます。
• メモとフィードバック: 探索プロセス中は、完了したアクションに関する即時フィードバックを、リクエストに応じて、またはデジタル学習システムを通じて事前に提供できます。これは、視覚的またはテキスト形式で提供できます。例えば、視覚的なヒント（タイルの数を点滅させる、教材に視覚的な構造化要素を追加するなど）や、学習プロセスの適切なタイミングで刺激的な質問（「これを試してみて…」「考えてみよう…」など）を提示するなどです。
• 徐々に明らかになるもの： 複雑な操作は個々のステップに分解できます。また、複雑な表現を相互に関連するサブ表現に分解することも可能です。
• 調整可能な難易度: さまざまな表示オプションは、お子様の学習レベルに応じて調整できます。また、適応型学習システムでは、お子様の学習レベルと学習の進捗状況に自動的に適応できます。
• 学習パスのドキュメント 記録と再生によって。実験行動の瞬間的な表現は、重要な記録単位（静的 - 画像またはテキスト）または行動シーケンス（動的 - 動画または説明）の不揮発性コレクションに変換できます。画面録画、スクリーンショット、音声録音などの永続的に利用可能なツールを使用することで、ツール自体がこの機能を提供していない場合（例えば「Rechenfeld」アプリなど）でも、同様のことが可能です。記録単位のコレクションは、コレクションの構造化、結果の提示、戦略の探求、教師のための診断オプションといった、その後の学習プロセスを可能にします（Wollring, 2008）。

これらのオプションにより、学習者の学習ニーズに合わせて仮想ツールをカスタマイズできます。

現在の開発と技術

タッチテクノロジーと体現型学習

マルチタッチ機能を備えたデバイスは、従来のマウス操作よりも直接的な触覚インタラクションを可能にします。指のなぞりやスワイプのジェスチャーは生物学的に基本的な知識として活用できるため、認知負荷を軽減できます（Agostinho et al., 2015; Ginns et al., 2020）。例えば、仮想的な数直線上のスケールは、2本指による直感的なスワイプやズームイン／アウトのジェスチャーによって、迅速かつ動的に変更できます。このような操作はアナログメディアでは実現できません。

人工知能と適応システム

現代の仮想学習ツールは、個々の生徒の学習レベルとニーズに自動的に適応するAIベースのシステムを通じて、適応型学習パスを可能にします（Haryana et al., 2022）。このようなシステムは、認知負荷を動的に調整し、最適な学習環境を作り出すことができます。しかし、この分野の研究はまだ初期段階にあります。特に、生成AIを学習に取って代わったり妨げたりするのではなく、学習を支援するためにどのように効果的に統合すべきかなど、多くの未解決の課題が残っています。

拡張現実と仮想現実

ARおよびVR技術は、仮想オブジェクトの3次元操作を可能にすることで、空間幾何学的学習コンテンツの新たな可能性を切り開きます（Altmeyer et al., 2024）。これらの技術は、特に空間想像力において有望な可能性を秘めています。例えば、現実体験と仮想体験を融合させることで、身体的な動作を通して数学的理解を促進するような、身体化された学習アプローチも、ARおよびVR技術によって可能になります。

AR数直線の例：AR数直線アプリでは、子どもたちは仮想の数直線上で操作を行うことができます。この数直線は、環境内の参照面に直接投影でき、無限に拡張することも可能です。これにより、数量の濃度、数直線上の位置、そして現実環境（例：学校の廊下、校庭）における長さの比の関係性を構築することができます。

批判的反省と限界

説明した可能性にもかかわらず、仮想作業ツールについては、特にその設計と実質的な学習環境への組み込みに関して、批判的に検討する必要があります。

すべての仮想操作が同じように効果的というわけではない

バーチャル教材の有効性に関する研究結果は一貫していません。例えば、最近の研究では、分数など特定の分野において、具体的な教具を用いた方がバーチャル教材を用いた場合よりも学習成果が向上する可能性があることが示されています（Al Mutawah et al., 2024）。しかし、これはすべての教材に当てはまるわけではありません。物理的な視覚教材の選択と使用には基準があるように、その使用はテクノロジーではなく、教科特有の教育基準に基づいて判断されるべきです。 デザイン品質 仮想ツールの有用性は極めて重要であり (Moyer-Packenham & Bolyard、2016)、適切に設計された学習環境や質問への統合も重要です。

認知過負荷の危険性

逆説的ですが、デジタル学習環境の設計が不十分だと、例えば不要なアニメーション、気を散らす要素、過度に複雑なユーザーインターフェースなどによって、認知負荷が増大することもあります（Skulmowski & Xu, 2022）。不要な認知負荷を軽減するには、綿密な指導設計が必要です。

教師の重要性

バーチャル教材は、教師による専門的な教科指導に取って代わるものではありません。むしろその逆です。バーチャル教材は、適切な課題、準備とフォローアップ、そしてディスカッションの機会によって支えられて初めて、その真価を発揮します。研究によると、教師によるバーチャル教材の活用方法は、学習の成功にとって非常に重要であることが示されています（Larkin, 2016）。 数学の教授能力 教師は依然として中心です。

結論と展望

適切な設計により、仮想アクティビティは、数学学習における行動と経験の機会を創出するために利用することができ、非仮想ツールを用いたアクティビティと比較して、真の教育的付加価値をもたらすことができる（Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020b）。それらは 意味のある追加と継続 現実の行動の代替ではなく、現実の行動の代替です。仮想ツールと仮想行動を効果的に活用するための重要な条件は、物理的な作業材料を用いたアナログな一次経験に基づいて解釈し、意味のある応用を行うことです。

1. 科目教授法の基礎: 実証済みの数学教育概念と原則へのオリエンテーション
2. デザイン品質: マルチメディアと教科教授法の原則を用いた学習から得られた知見に基づいた仮想教材の慎重な設計（Urff、2014）
3. アナログとデジタルの統合: 仮想アクションは、物理的なツールを使った体験に基づいて構築されます。
4. 教師の専門化: 教師はデジタルメディアを反省的に活用するスキルが必要
5. 差別化: 適応型学習パスのための技術的可能性の活用

仮想作業ツールとアクションオファーを設計する際には、主題教育の観点から次の設計原則が指針となります (Urff、2012 を参照)。

• 仮想ツールを設計することで、ユーザーが行動を起こす際に数学的概念の形成に関係のない活動から解放されるようにしましょう。これにより、可能な限り多くの認知資源を数学的探究に利用できるようになります。
• 仮想アクションのオファーと視覚化を使用して、促進される数学的（思考）操作を可能な限り最適に描写する試み。
• 異なる表現間のつながりが子供にとって理解しやすいように仮想リソースを設計します。
• 具体的な作業ツールでは実現が困難または非常に困難なアクションを可能にします。

デジタル化と、それに伴う教育におけるデジタル化の進展は、様々な機会をもたらしますが、無批判なテクノロジーへの陶酔に陥るべきではありません。目標は、従来のツールを置き換えることではなく、教育のレパートリーを拡大することです。 賢明に拡大する （クラウトハウゼン、2022年）。今後の研究では、どのような条件下で、どのような物理的学習ツールと仮想学習ツールの組み合わせが、どのような学習目標と対象グループに最適であるかを継続的に調査する必要があります。

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文学

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