クリスチャン・ウルフ 2025 （テキストを更新したバージョン 2011)

導入

数学ツールは、数学の基礎概念を実践的に探求することを可能にする、教育・学習の中心的なツールです（Krauthausen, 2012, 2022）。学習者が自分の手で操作できる物理的なツール（例：物体の移動、回転、回転）とは異なり、仮想ツールとの「現実的な」インタラクションの可能性はデジタルインタラクションに限られます。従来のデスクトップパソコンやノートパソコンでは、インタラクションは主にマウスクリックやキーボード入力によって行われますが、タブレットのタッチスクリーンでは、マルチタッチジェスチャーによる直接的な触覚フィードバックが得られます（Agostinho et al., 2015）。ARグラスでは、自然な手のジェスチャー（つまむ、回転など）による入力も可能になっています。.

仮想ツールでは、実際の動作はコンピュータによって実行され、視覚的にレンダリングされます。つまり、ユーザーが動作を開始するのです。これは、仮想的な20マスのグリッドの例で明確に示されています。カウンターは仮想的に反転できますが、実際に物理的に回転させることはできません。その代わりに、ソフトウェアがクリックまたはタッチジェスチャーで反転操作を実行し、その動作のアニメーションを表示します。このようなコンピュータによって実行されるがユーザーが開始する操作を、私は「」と呼びます。 コンピュータベースまたは仮想アクション （Urff, 2010）。コンピュータ支援アクションは、アクション自体がユーザーによって開始されるものの、実行の大部分はコンピュータによってサポートされるという特徴があります。.

仮想行動と物理的行動の関係

制限事項と要件

仮想行動においては、具体的な行動の可能性、ひいては行動経験が著しく制限されているとまず主張できるかもしれません。触覚・触覚体験のみを考慮すると、これは確かに当てはまります（Moyer-Packenham & Bolyard, 2016）。子どもは仮想のフリッパーを物理的に触ったり、匂いを嗅いだりすることはできません。また、フリッパーをひっくり返すという行為は、フリッパー自体の運動動作と直接結びついていません。.

この制限こそが、可能な限り仮想ツールを使用するべきである決定的な理由です。 継続と拡大 仮想化された学習ツールは、物理的な学習教材を置き換えるのではなく、補完するものとして利用されるべきです（Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020a）。これは特に小学校および就学前教育において当てはまります。なぜなら、この発達段階における理解を育むには、初等教育の経験が極めて重要な役割を果たすからです。子どもがコンピューター上で仮想的に表されたカウンターをひっくり返す操作を正しく理解できるのは、実際に物理的なカウンターを自分でひっくり返したことがある、あるいは物理的なツールでこの動作が行われているのを観察したことがある場合に限られます。.

最新の研究では、具体的な学習ツールとバーチャルな学習ツール（いわゆる「ブレンド型教具」）を組み合わせることが特に効果的であることが示されています（Ahmad et al., 2024; Yakubova et al., 2024）。最初に具体的な／物理的な学習ツール、次にバーチャルな学習ツールという順序と統合は、教育上依然として重要です。しかし、なぜ具体的なツールに加えてバーチャルな学習機会を提供する必要があるのでしょうか？

コンピュータ支援アクションの教育的可能性

仮想アクションの視覚的・聴覚的およびインタラクティブな体験の可能性をさらに詳しく調べると、コンピューターベースのアクションは、技術的な可能性を通じて現実のアクションの延長として、物理的で具体的なアクションの体験を拡張できる教育的な可能性を提供します。

1. 自動化されたアクション実行による認知的緩和とシフト

コンピュータに行動の実行を任せることで、より多くの認知資源が実際の数学学習に利用可能となる（Sweller, 2020; Paas & van Merriënboer, 2020）。行動への衝動とその実行を切り離すことで、子どもの学習に関連しない運動負荷と認知負荷を軽減することができる（Skulmowski & Xu, 2022）。認知負荷理論の観点から言えば、これは学習に関連しない運動負荷と認知負荷を軽減するという原理に対応する。 余分な認知負荷, つまり、学習に必ずしも関連しない認知負荷です（Castro-Alonso、2020）。.

計算フィールドの例: 物理的な20マスのマス目では、タイルをグリッド上に手動でスライドさせる必要があり、子どもはこの運動活動に取り組む必要がありますが、このプロセスはコンピュータ上で自動化されています。仮想の20マスのマス目では、クリックまたはタッチするだけで、1つまたは複数のタイルが自動的に挿入されます。子どもはタイルの動きが正しいかどうか（少なくとも十分な初歩的な経験があれば、数学的概念の形成には無関係です）を気にする必要はありません。挿入操作とその効果を観察し、記号レベルの変化（合計が増加する）に注意を集中することができます。これにより、より多くの認知資源を行動の効果の観察に利用できるため、実験が可能になり、関係性をより深く理解できる可能性があります。したがって、適切に設計された仮想学習ツールは、適切なタスクと組み合わせることで、認知負荷を軽減し、学習状況の操作的理解を促進する可能性があります。例えば、「もし…だったら…はどうなる？」といった様々な行動オプションを試すことが大幅に簡素化されます。.

2. 行動実行の概念的制御

物理的な作業機器に対するアクションでは、数学的に意味のあるアクション（タイルの配置など）だけでなく、数学的概念的に同等なものがないアクション（タイルの重なり、配置ミス、表現の不一致など）も可能になりますが、コンピューター支援によるアクションは概念的に一貫した数学的アクションに限定できます（Moyer et al.、2002; Bouck & Park、2018）。

これにより、学習者が教育的に重要な構造特性を発達させ発見し、ひいては理解を深めるために重要な操作のみが提供されるようになります。アナログツールでは物理的な特性上可能な他の操作も、制限されます。例えば、仮想20フレームでは、以下のことが保証されます。

• フィールドに配置できるタイルは20枚までです。
• 赤いタイルは常に一貫した方法で構造化されているため、理解しやすくなります（自動構造化がオンになっている場合）。
• 5と10の構造は自動的に考慮され、
• 象徴的な表現と象徴的な表現は常に一致します。

これ 概念構造化 デジタルツールを用いた概念的足場構築は、特に学習障害のある子どもたちの学習をサポートします（Park et al., 2022; Yakubova et al., 2024）。特に深い理解が欠如している場合、誤った行動は根本的な誤解につながる可能性があります。例えば、物理的な20マスのマス目における配置ミスにより、象徴的表現と記号的表現がずれてしまう場合（例えば、マス目に14個のタイルがあるのに、その隣には15という数字があるなど）、子どもたちは後からこの矛盾を合理化しようと試み、その過程で誤ったメンタルモデルを構築してしまうことがあります。仮想ツールは、概念的に正しい操作のみを許可し、すべての表現レベルにおける一貫性を自動的に確保することで、このような誤解をより効果的に防ぐことができます。.

3. 複数の表現レベルにわたる同期表現

コンピュータ支援による行動実行は、複数の表現レベルにまたがる行動の同期を可能にする（Krauthausen, 2012, 2022）。これにより、 動的ネットワーキング さまざまな表現形式は、数学を深く理解するための中心的な要素です (Moyer-Packenham & Bolyard、2016)。.

例： 計算フィールドの加数が 1 減少した場合、次のようになります。

• 対応する数字が減る（記号レベル）、
• 合計は1つ減ります。
• 同時に、象徴的なレベルでは、20のフィールドからタイルが1つ取り除かれ、
• 表示される合計量は 1 つの要素だけ減少します。

このサポートされた実行と動的な視覚化は、複数の表象レベルを跨いで行動体験を結び付けます。これにより、基本的な数学演算の包括的な理解を育む上で重要な学習機会が創出されます。これは特に、この転移を自分で実行できるものの、依然として誤りを犯しやすい子どもたちに当てはまります。適切な課題（例えば、「赤いタイルを5つ追加すると、20のフレームはどうなるでしょうか？まず考えてから確認しましょう。」）が与えられれば、子どもたちはこれらの行動を通して、表象間の関係性に関するメンタルモデルを拡張、検証、修正、修正することができます。しかし、この相互接続された同期的な表象は、視覚要素の範囲とデザインの観点からバランスが取れていなければなりません。複数の表象レベルを同時に繋げると、認知負荷が増加する可能性があるためです。ここでは、少ない方がより効果的であることが多いため、一度に相互接続された表象の数を少数に減らすことが推奨されます。.

4. 客観的には不可能だが、教訓的に価値のある行動の実現

特に興味深いのは、数学教育における中核概念を説明するアクション プロセスの視覚化ですが、これは物理的な教材を使用してはまったく実現できないか、または不釣り合いなほど高い労力をかけてのみ実現できます。.

「Power of Five」の例: 物理的な20マスのグリッドに5個の数字を同時に置くのは簡単ではありませんが、仮想的には十分可能です（Krauthausen, 1995, 2012）。仮想の20マスのグリッドには、5個と1個の数字をそれぞれ挿入することができます。これにより、子どもは、5個のマスと1個の数字を組み合わせて6個の数字を組み立てる方が、1個の数字を6個ずつ挿入するよりも効率的（そして「クリック」回数が少ない）であることを直接体験することができます。.

百マスと位取り記数法の例: 例えば、ここでは数量を10単位の束にしたり、単位として挿入したりすることで、異なる表現レベルにわたって位取り記法を明確に表現できます。一部のアプリ（例：www.lernsoftware-mathematik.de/zahlen）では、例えば10単位を1つの10に自動的にまとめるなど、束ねる過程と束ねない過程を動的に視覚化することもできます。.

これらの動作は理論的には物理的な材料を用いて可能ですが、かなりの認知資源を必要とします。1を10にまとめるには、まず10個の1を識別し、それらをまとめ、10の棒と交換する必要があります。この動作が完了する頃には、子供は位取りの概念を失っている可能性が高いでしょう。.

5. 適応型サポートと差別化された学習パス

純粋な実験環境に加えて、仮想ツールには次のようなサポートや差別化の提供も含まれます。

• 実質的なタスクこれは、関連性についての自主的な探求と調査を促すタスクを指します。これらのタスク（例えば、リサーチクエスチョンの形式）は、アプリ内または外部で提供できます。優れた（バーチャル）学習ツールは、付随するタスクと同様に、理解重視の学習に適しています。
• メモとフィードバック: 探索プロセス中に行われた行動に対する即時フィードバックは、リクエストに応じて、またはデジタル学習システムによって事前に提供されます。これは、視覚的またはテキスト形式で提供され、例えば、視覚的なヒント（点滅するタイルの数、教材に視覚的な構造化要素を追加するなど）や、学習プロセスの適切な時点での刺激的な質問（「これを試してみませんか…」「考えてみてください…」など）を通して提供されます。 AIによる学習支援 これは、仮想学習ツールを使った探索中に教師の負担を軽減し、補助するのに役立つ追加機能です。.
• 複雑な表現と演算の分解: 複雑な操作を個々のステップに分解することで、理解と操作が容易になります。また、複雑な表現を相互に関連するサブ表現に分解することも可能です。.
• 調整可能な難易度: 仮想学習ツールの要素と機能は、学習レベルに応じて手動で調整することも、適応型学習システムで子供の学習レベルと進捗状況に自動的に適応することもできます。.
• 学習パスのドキュメント 行動の記録と再生を通して。実験行動の瞬間的な表現は、後で分析や議論を行うために、記録単位（静的 - 画像またはテキスト）または行動シーケンス（動的 - 動画または説明）の永続的なコレクションに変換できます。これは、教育ツール自体がこれらの機能を提供していない場合（「Rechenfeld」アプリなど）でも、画面録画、スクリーンショット、メモ、音声録音などのツールが常時利用できるため可能です。記録単位のコレクションは、教師がコレクションの構造化、結果の提示、戦略の検討、診断オプションの提供など、その後の学習プロセスを可能にします（Wollring, 2008）。.

これらのオプションにより、学習者の学習ニーズに合わせて仮想ツールをカスタマイズできます。

仮想アクション体験を拡張するための現在の開発と技術

タッチテクノロジーと体現型学習

マルチタッチ機能を備えたデバイスは、従来のマウス操作よりも直接的な触覚インタラクションを可能にします。そのため、タッチ技術を備えたデバイスは、特に小学校をはじめとする教育現場で非常に人気があります。指でなぞったりスワイプしたりするジェスチャーは、生物学的に基本的な知識として活用できるため、認知負荷を軽減できます（Agostinho et al., 2015; Ginns et al., 2020）。例えば、仮想の数直線上のスケールは、2本指を使った直感的なスワイプやズームイン/アウトのジェスチャーで、迅速かつ動的に変更できます。このようなインタラクションの可能性は、アナログで静的なメディアでは実現できません。.

人工知能と適応システム

現代の仮想学習ツールは、個々の生徒の学習レベルとニーズに自動的に適応するAIベースのシステムを通じて、適応型学習パスを可能にします（Haryana et al., 2022）。このようなシステムは、認知負荷を動的に調整し、最適な学習環境を作り出すことができます。しかし、この分野の研究はまだ初期段階にあります。特に、生成AIを学習に取って代わったり妨げたりするのではなく、学習を支援するためにどのように効果的に統合すべきかなど、多くの未解決の課題が残っています。

拡張現実と仮想現実

ARおよびVR技術は、仮想オブジェクトの3次元操作と動作に基づく学習を可能にすることで、動きと学習を統合した空間的・物理的な仮想インタラクションの新たな可能性を切り開きます（Altmeyer et al., 2024）。これらの技術は、特に空間推論において有望な可能性を秘めています。例えば、現実世界の経験と仮想世界の経験を融合させることで、物理的な動きが統合的な方法で数学的理解を促進する、身体化された学習アプローチも、ARおよびVR技術によって可能になります。.

AR数直線の例：AR数直線アプリでは、子どもたちは仮想の数直線上で操作を行うことができます。この数直線は、周囲の参照面に直接投影することができ、無限に拡張することも可能です。仮想AR数直線に沿って前後に移動する具体的な体験を通して、集合の大きさ、数直線上の位置、そして現実環境（例：学校の廊下、校庭）における長さの比率との関係性を理解することができます。.

批判的反省と限界

説明した可能性にもかかわらず、特にその設計と実質的な学習環境への統合に関しては、仮想アクションの可能性を批判的に検討することが依然として必要です。.

すべての仮想ツールが自動的に効果的であるとは限りません。

バーチャル学習ツールの有効性に関する研究結果は一貫していません。例えば、最近の研究では、分数など特定の分野において、物理的な学習ツールはバーチャルツールよりも優れた学習成果につながる可能性があることが示されています（Al Mutawah et al., 2024）。しかし、この結果は学習ツールやテクノロジーそのものに一般化できるものではありません。実体のある教材の選択と使用には基準があるように、その使用はテクノロジーそのものよりも、教科特有の教育的基準に基づいて判断されるべきです。 デザイン品質 仮想ツールの有用性は極めて重要であり (Moyer-Packenham & Bolyard、2016)、適切に設計された学習環境や質問への統合も重要です。

認知過負荷の危険性

逆説的ですが、デジタル学習環境の設計が不十分だと、不要なアニメーション、気を散らす要素、過度に複雑なユーザーインターフェースなどによって認知負荷が増加する可能性もあります (Skulmowski & Xu、2022)。.

教師の重要性

バーチャル学習ツールは、教師による専門的かつ教科に特化した教育的サポートに取って代わるものではありません。むしろ、バーチャル学習ツールは、適切な課題、準備とフォローアップ、そして学習環境が整った環境で使用することで、その潜在能力を最大限に発揮します。研究によると、教師がバーチャル学習ツールをどのように活用するかが、学習の成功に非常に重要であることが示されています（Larkin, 2016）。 数学の教授能力 教師は依然として中心です。

結論と展望

適切な設計により、仮想的な活動は、数学学習における行動と経験の機会を創出し、非仮想的なツールを用いた活動と比較して、大きな教育的可能性をもたらす可能性がある（Krauthausen, 2022; Bouck et al., 2020b）。仮想的な活動は、 意味のある追加と継続 仮想行動は現実世界の行動の代替として捉えるべきではありません。解釈と有意義な応用の基盤として、仮想行動は多くの場合、実体のある作業材料を用いた一次的かつ類似の経験を必要とします。仮想ツールと仮想行動を効果的に活用するための重要な条件は次のとおりです。

1. 科目教授法の基礎: 教育ツール上の仮想アクションの設計は、数学教育の実証された概念と原則に基づく必要があります。.
2. デザイン品質: マルチメディア学習と科目固有の教授原則からの洞察に基づいた仮想学習ツールの慎重な設計が不可欠である（Urff、2014）
3. 物理とデジタルの相互作用 （アーティファクトのデュオ）：仮想アクションは、実体のあるツールを使った体験に基づいて構築され、「アーティファクトのデュオ」として一緒に効果的に使用することもできます（Bonow、2020）。.
4. 教師の専門化: 教師は、デジタル学習教材や行動を単にアナログメディアの代わりとして使うのではなく、その特有の可能性を活用するために、デジタルメディアを反省的に使うスキルが必要です。.

仮想作業ツールとアクションオファーを設計する際には、主題教育の観点から次の設計原則が指針となります (Urff、2012 を参照)。

• 仮想ツールを設計することで、ユーザーが行動を起こす際に数学的概念の形成に関係のない活動から解放されるようにしましょう。これにより、可能な限り多くの認知資源を数学的探究に利用できるようになります。
• 仮想アクションのオファーと視覚化を使用して、促進される数学的（思考）操作を可能な限り最適に描写する試み。
• 異なる表現間のつながりが子供にとって理解しやすいように仮想リソースを設計します。
• 具体的な作業ツールでは実現が困難または非常に困難なアクションを可能にします。

デジタル化と、それに伴う教育におけるデジタル化の進展は、様々な機会をもたらしますが、無批判なテクノロジーへの陶酔に陥るべきではありません。目標は、従来のツールを置き換えることではなく、教育のレパートリーを拡大することです。 賢明に拡大する （クラウトハウゼン、2022年）。したがって、今後の研究と実践では、どのような条件下で、どのような具体的なツールと仮想ツールの組み合わせが、どのような学習目標と対象グループに最適であるかを批判的に検討し続ける必要があります。.

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