克里斯蒂安·乌尔夫 2025 （更新文本版本 2011)
介绍
数学工具是核心的教学工具，它使学生能够通过动手互动探索基础数学概念（Krauthausen，2012，2022）。与学习者可以用双手操作的实体工具（例如，移动、倾斜或旋转物体）不同，虚拟工具的“真实”操作选项仅限于数字交互。在传统的台式电脑和笔记本电脑上，交互主要通过鼠标点击或键盘输入进行，而平板电脑的触摸屏则可以通过多点触控手势实现直接的触觉反馈（Agostinho 等人，2015）。如今，AR 眼镜还可以使用自然手势（手指放置、旋转等）进行输入。
虚拟工具中的实际操作由计算机执行并以视觉方式呈现——用户只需提供执行该操作的目标指令。以虚拟二十方格场地为例，这一点显而易见：翻转棋子可以虚拟地进行，但并非通过物理方式进行；相反，翻转操作由软件通过点击或触摸手势执行，并显示翻转操作的动画。此类由计算机执行但由用户发起的操作被称为 计算机辅助行动 （Urff，2010）计算机辅助操作的特点是操作由用户发起，但执行的很大一部分是由计算机支持的。
虚拟工具与有形工具之间的关系
限制和要求
首先，有人可能会认为，在虚拟动作中，具体可感知的动作选项，以及由此带来的动作体验，都受到了严重限制。如果只考虑触觉体验，这种说法确实成立（Moyer-Packenham & Bolyard，2016）。孩子无法在物理上感受到虚拟的翻转棋子，翻转棋子的动作与棋子本身的运动没有直接联系。
这种限制是虚拟工具被考虑的关键原因之一 延续与扩展 它们应该作为使用实体工具的补充，而不是替代（Krauthausen，2022；Bouck 等人，2020a）。这对于小学和学龄前儿童的学习尤其如此，因为在这个发展阶段，初级经验在理解的建立中起着核心作用。儿童可能只有亲自操作过车削件，或者至少在实体工具上观察过这一操作，才能正确理解计算机上的虚拟车削操作。
目前的研究表明，将实体资源与虚拟资源（即所谓的“混合式教具”）相结合尤其有效，并能提升学习成果（Ahmad 等人，2024；Yakubova 等人，2024）。先实体资源，后虚拟资源，这种先后顺序和相互联系在教学中仍然至关重要。但为什么除了实体资源之外，还要提供虚拟探索机会呢？
计算机辅助行动的教学潜力
如果更仔细地考察虚拟动作的视听和交互体验可能性，计算机支持的动作作为真实动作的延续，通过技术可能性提供了新的教学潜力：
1. 通过自动执行动作来缓解和转变认知
通过让计算机接管动作的执行，可以为实际的数学学习保留更多的认知资源（Sweller，2020；Paas & van Merriënboer，2020）。动作冲动与执行的分离可以减少儿童与学习无关的运动和认知负荷（Skulmowski & Xu，2022）。这符合“减少”的原则。 无关认知负荷 源自认知负荷理论（Castro-Alonso，2020）。
计算字段示例： 在实体二十格游戏中，孩子们需要用手将方块推入格子，并专注于这一动作，而电脑上的操作则完全自动化。在虚拟二十格游戏中，点击或触摸即可自动生成一个或多个方块的插入动画。孩子们无需担心方块的移动是否正确——这与数学概念的形成无关——而是可以观察插入操作及其效果，并将注意力集中在符号层面的变化（总和增加）上，从而通过实验更好地理解其中的联系。精心设计的虚拟操作器实际上可以通过这种部分自动化来减轻认知负荷，同时促进学习，尤其是在“如果……会发生什么？”这样的问题上，尝试不同的选项变得更加容易。
2. 动作执行的概念控制
虽然物理工作设备上的操作不仅允许具有数学意义的操作（例如，放置瓷砖），而且还允许没有数学概念等价的操作（例如，重叠瓷砖、错位、不匹配的表示），但计算机辅助操作可能仅限于概念上一致的数学操作（Moyer 等人，2002 年；Bouck 和 Park，2018 年）。
这确保了只提供那些对学习者发展和发现具有教学意义的结构属性至关重要的操作。所有其他原本可以通过模拟工具实现的操作，由于其物理属性而受到限制。例如，虚拟二十个字段确保：
- 场地上最多可放置 20 块瓷砖，
- 红色瓷砖总是以连贯的方式构造，因此更容易理解（如果自动构造已打开），
- 自动考虑 5 和 10 结构，并且
- 标志性和象征性的表现总是相互匹配的。
这 概念结构 使用数字工具搭建概念支架有助于学习，尤其对有学习障碍的儿童而言（Park 等人，2022；Yakubova 等人，2024）。尤其是在尚未形成深刻理解的情况下，错误的操作可能会导致根本性的误解。例如，如果在二十块瓷砖的混凝土方格上放置错误，导致图标和符号表征不匹配（例如，方格上有 14 块瓷砖，但旁边是数字 15），儿童通常会试图合理化这种差异，并构建错误的心智模型。虚拟工具通过仅允许概念上正确的操作并自动确保所有表征层级之间的一致性来避免此类错误。
3. 跨多个表示级别的同步表示
计算机辅助执行动作使得跨多个表征层级的动作同步成为可能（Krauthausen，2012，2022）。这使得 动态网络 不同的表示形式是深入数学理解的核心要素（Moyer-Packenham & Bolyard，2016）。
例子： 如果计算字段上的加数减少一，则：
- 相应的数字减少（符号级别），
- 总和减少一，
- 同时，在标志性级别上，从二十个字段中移除一块瓷砖，
- 总可见数量减少了一个元素。
通过这种支持性执行和动态可视化，动作体验在多个表征层面之间建立联系。这创造了学习机会，对于加深对基本数学运算的理解至关重要。对于那些尚未完全掌握信息或容易犯错的孩子来说尤其如此。他们可以通过动作来验证、修改和纠正他们的心智模型。然而，这种联网的同步表征必须在视觉元素的范围和设计方面保持良好的平衡，因为跨多个表征层面的联网也会导致额外的认知负荷。在这种情况下，少即是多：建议一次将互联的表征精简为几个。
4. 实现客观上不可能实现的具有教学价值的行动
特别有趣的是，将动作过程可视化，阐明数学教育的核心概念，但这根本无法通过物理工作材料实现，或者需要付出很大的努力才能实现。
例如“五的力量”： 虽然在实体的二十方格棋盘上同时放置五块数量并不容易，但在虚拟棋盘上却很容易做到（Krauthausen，1995，2012）。在虚拟的二十方格棋盘上，可以插入“五”和“一”的数量。这让孩子生动地体验到，将六块由五块和一块单块组成的可翻转棋子组合起来比插入六块单块棋子更有效（而且需要的点击次数更少）。
百方位值系统示例： 在这里，数量可以以十位和个位的形式输入，从而能够在所有显示层级上清晰地体验位值符号。一些应用程序甚至可以动态地可视化捆绑和拆分过程，例如，自动将十个一合并为一个十。
5. 自适应支持和差异化学习路径
除了纯粹的实验环境之外，虚拟工具还可以提供支持和差异化服务，例如：
- 实质性任务：这些任务鼓励学生独立探索和研究其中的联系。这些任务（研究问题）可以在应用程序内部或外部进行。
- 备注和反馈： 在探索过程中，可以根据要求或通过数字学习系统主动提供已完成操作的即时反馈。反馈可以通过视觉或文本形式呈现，例如，在学习过程中的适当时机提供视觉提示（例如，闪烁显示图块数量、在材料中添加视觉结构特征）或提出启发性问题（“试试这个……”，“想一想……”）。
- 逐渐揭示： 复杂的操作可以分解为单独的步骤，也可以将复杂的表示分解为相互关联的子表示。
- 可调节难度级别： 可以根据孩子的学习水平调整各种显示选项，或者在自适应学习系统中，可以自动适应孩子的学习水平和学习进度。
- 学习路径的记录 通过录制和回放。实验动作的短暂呈现可以转换为重要的记录单元（静态 - 图像或文本）或动作序列（动态 - 视频或描述）的非易失性集合。即使工具本身不提供此功能（例如“Rechenfeld”应用程序），也可以使用屏幕录制、屏幕截图和录音等永久可用的工具来实现这一点。记录单元的集合支持后续的学习过程，例如构建集合、呈现结果、策略探索以及为教师提供诊断选项（Wollring，2008）。
这些选项允许虚拟工具个性化以满足学习者的学习需求。
当前的发展和技术
触摸技术和具身学习
与传统的鼠标控制相比，具有多点触控功能的设备能够实现更直接的触觉交互。手指追踪和滑动手势可以作为生物学上的原始知识，从而减轻认知负荷（Agostinho 等人，2015；Ginns 等人，2020）。例如，虚拟数轴上的刻度可以通过直观的两指滑动或放大/缩小手势快速动态地改变。此类操作在模拟媒体上是无法实现的。
人工智能和自适应系统
现代虚拟学习工具可以通过基于人工智能的系统实现自适应学习路径，该系统能够自动适应每个学生的学习水平和需求（Haryana 等人，2022）。此类系统可以动态调节认知负荷，创造最佳学习条件。然而，该领域的研究仍处于起步阶段。许多悬而未决的问题仍然存在，尤其是关于如何有效地整合生成式人工智能，以支持学习，而不是取代或阻碍学习。
增强现实和虚拟现实
AR 和 VR 技术通过实现对虚拟对象的三维操控，为空间几何学习内容开辟了新的可能性（Altmeyer 等人，2024）。这类技术为空间想象提供了尤其广阔的潜力。例如，通过融合现实生活体验与虚拟体验，身体运动可以促进数学理解，而 AR 和 VR 技术也能够实现具身学习方法。
AR 数轴示例：在 AR 数轴应用中，孩子们可以在虚拟数轴上执行操作。该数轴可以直接投影到环境中的参考平面上，并可能无限延伸。这可以建立数量的基数、它们在数轴上的位置以及真实环境（例如，学校走廊、校园）中的长度比之间的关系。
批判性反思与局限性
尽管描述了潜力，但仍然需要批判性地看待虚拟工作工具，特别是在其设计和嵌入实质性学习环境方面。
并非所有虚拟操作都同样有效
关于虚拟教具有效性的研究结果并不一致。例如，最近的一项研究表明，在某些领域（例如分数），具体的操作工具比虚拟操作工具能带来更好的学习效果（Al Mutawah 等人，2024）。然而，这并不适用于所有教具。正如选择和使用实体视觉教具有标准一样，它们的使用也应更多地基于学科特定的教学标准，而非技术本身。 设计质量 虚拟工具至关重要（Moyer-Packenham & Bolyard，2016），将其融入适当设计的学习环境和问题中也同样重要。
认知超负荷的危险
矛盾的是，设计不良的数字学习环境也会导致认知负荷增加——例如，不必要的动画、分散注意力的元素或过于复杂的用户界面（Skulmowski & Xu，2022）。减少额外的认知负荷需要精心的教学设计。
教师的重要性
虚拟教学材料并不能取代教师提供的专业学科教学。恰恰相反：虚拟教学材料只有在适当的任务、准备和后续活动以及讨论情境的支持下才能充分发挥其潜力。研究表明，教师使用虚拟教具的方式对于学习成功至关重要（Larkin，2016）。 数学教学能力 教师仍然是中心。
结论与展望
通过适当的设计，虚拟活动可以用来创造数学学习中的行动和体验机会，与使用非虚拟工具的活动相比，可以提供真正的教学附加值（Krauthausen，2022；Bouck 等人，2020b）。它们 有意义的补充和延续 虚拟工具和虚拟行动并非真实行动的替代，而是真实行动的补充。它们通常需要以实体工作材料为基础的模拟性初步经验，作为解读和有意义应用的基础。虚拟工具和虚拟行动盈利的关键条件是：
- 学科教学基础： 面向经过验证的数学教学概念和原则
- 设计质量： 根据多媒体学习结果和学科教学原则精心设计虚拟工作材料（Urff，2014）
- 模拟和数字集成：虚拟动作建立在物理工具的经验之上。
- 教师专业化： 教师需要具备反思性使用数字媒体的技能
- 区分： 利用技术可能性实现自适应学习路径
在设计虚拟工作工具和行动方案时，从学科教学角度来看，以下设计原则具有指导意义（参见Urff，2012）：
- 设计虚拟工具时，应使用户在执行操作时无需进行与数学概念形成无关的活动。这样可以尽可能多地利用认知资源进行数学探索。
- 尝试使用虚拟动作和可视化来尽可能好地描述要推广的数学（思维）运算。
- 设计虚拟资源，以便儿童能够理解不同表现形式之间的联系。
- 实现那些无法通过具体工作工具实现或很难通过具体工作工具实现的操作。
数字化及其带来的教育数字化进步带来了机遇，但不应导致不加批判的技术狂喜。目标并非取代传统工具，而是拓展教学内容。 明智扩张 （Krauthausen，2022）。未来的研究应继续探讨在何种条件下，何种实体和虚拟学习工具的组合对于何种学习目标和目标群体而言是最佳的。
文学
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