克里斯蒂安·乌尔夫 2025 （更新文本版本 2011)
介绍
数学工具是教学和学习的核心工具，使学生能够亲身探索基本的数学概念（Krauthausen，2012，2022）。与学生可以用手操作的实体工具（例如，移动、转动或旋转物体）不同，与虚拟工具进行交互的„真实“可能性仅限于数字交互。在传统的台式电脑和笔记本电脑上，交互主要通过鼠标点击或键盘输入实现，而平板电脑的触摸屏则可以通过多点触控手势提供直接的触觉反馈（Agostinho et al.，2015）。如今，增强现实（AR）眼镜也支持使用自然的手势（捏合、旋转等）进行输入。.
使用虚拟工具时，实际操作由计算机执行并以视觉方式呈现——用户发起操作。一个虚拟的二十方格网格的例子就清楚地说明了这一点：计数器可以虚拟翻转，但不能通过实际的物理旋转来实现。软件通过点击或触摸手势执行翻转操作，并显示相应的动画。我将这种由计算机执行但由用户发起的操作称为…… 基于计算机或虚拟的行为 （Urff，2010）。计算机辅助操作的特点是操作由用户发起，但执行过程中很大一部分由计算机支持。.
虚拟行为与物理行为之间的关系
限制和要求
最初有人可能会认为，虚拟行动中具体的行动可能性，以及由此产生的行动体验，都受到了显著的限制。如果仅考虑触觉体验，这种说法确实如此（Moyer-Packenham & Bolyard，2016）。儿童无法真切地感受到虚拟的鳍状肢，也无法闻到它的气味，而且翻转鳍状肢的动作与鳍状肢本身的运动也没有直接的联系。.
这一局限性正是我们应该尽可能使用虚拟工具的决定性原因。 延续与扩展 虚拟学习工具应作为实体学习材料的补充，而非替代（Krauthausen，2022；Bouck 等，2020a）。这一点在小学和学前教育中尤为重要，因为早期经验在这一发展阶段对理解能力的培养起着至关重要的作用。儿童只有在亲身翻转过实体计数器或观察过使用实体工具进行此操作之后，才有可能正确理解计算机上的虚拟翻转操作。.
现有研究表明，将实体学习工具和虚拟学习工具相结合（即所谓的„混合式教具“）可能特别有效（Ahmad et al., 2024; Yakubova et al., 2024）。先使用实体/物理工具，再使用虚拟工具的顺序和整合方式在教学上仍然具有重要意义。但是，为什么除了实体工具之外，还需要提供虚拟学习机会呢？
计算机辅助行动的教学潜力
如果更仔细地考察虚拟行动的视觉、听觉和互动体验的可能性，就会发现，作为通过技术手段对真实行动的延续，计算机行动具有一定的教学潜力，可以扩展具体的物理行动体验：
1. 通过自动执行动作来缓解和转变认知
通过让计算机处理动作的执行，可以释放更多认知资源用于实际的数学学习（Sweller，2020；Paas & van Merriënboer，2020）。将行动冲动与其执行过程分离，可以降低儿童与学习无关的运动和认知负荷（Skulmowski & Xu，2022）。就认知负荷理论而言，这符合降低认知负荷的原则。 无关认知负荷, 即，与学习不一定相关的认知负荷（Castro-Alonso，2020）。.
计算字段示例： 实体二十方格棋盘需要手动将方块滑入网格，让孩子参与到这项精细的动作活动中，而虚拟二十方格棋盘则实现了这一过程的自动化。只需点击或触摸，即可自动插入一个或多个方块。孩子无需担心方块移动是否正确——至少在足够的基础经验下，这对于数学概念的形成并不重要——而是可以观察插入操作及其效果，并将注意力集中在符号层面的变化（总和增加）上。这使得孩子可以进行实验，并有可能更好地理解各种关系，因为他们有更多的认知资源可以用来观察操作的效果。因此，精心设计的虚拟学习工具，结合合适的任务，可以通过这种部分自动化来降低认知负荷，并促进对学习情境的操作性理解，因为尝试不同的操作选项（例如„如果……会发生什么？“）变得非常简单。.
2. 动作执行的概念控制
虽然物理工作设备上的操作不仅允许具有数学意义的操作（例如，放置瓷砖），而且还允许没有数学概念等价的操作（例如，重叠瓷砖、错位、不匹配的表示），但计算机辅助操作可能仅限于概念上一致的数学操作（Moyer 等人，2002 年；Bouck 和 Park，2018 年）。
这确保了只有那些对学习者发展和发现具有教学意义的结构属性，从而实现理解至关重要的操作才会被提供。其他一些操作，尽管由于模拟工具的物理特性，也能实现，但却受到限制。例如，使用虚拟二十格框时，可以确保：
- 场地上最多可放置 20 块瓷砖，
- 红色瓷砖总是以连贯的方式构造，因此更容易理解（如果自动构造已打开），
- 自动考虑 5 和 10 结构，并且
- 标志性和象征性的表现总是相互匹配的。
这 概念结构 利用数字工具进行概念支架式教学能够有效支持学习，尤其对有学习困难的儿童而言更是如此（Park et al., 2022; Yakubova et al., 2024）。尤其是在缺乏深刻理解的情况下，错误操作会导致根本性的误解。例如，如果一个实物二十方格上的方块放置错误导致图形表征和符号表征错位（例如，方格内有14个方块，但数字15却在它们旁边），儿童往往会在事后试图合理化这种差异，有时在这个过程中会构建出错误的心理模型。虚拟工具能够更好地预防此类误解，因为它只允许概念上正确的操作，并自动确保所有表征层面的一致性。.
3. 跨多个表示级别的同步表示
计算机辅助执行动作使得跨多个表征层级的动作同步成为可能（Krauthausen，2012，2022）。这使得 动态网络 不同的表示形式是深入理解数学的核心要素（Moyer-Packenham & Bolyard，2016）。.
例子： 如果计算字段上的加数减少一，则：
- 相应的数字减少（符号级别），
- 总和减少一，
- 同时，在标志性级别上，从二十个字段中移除一块瓷砖，
- 总可见数量减少了一个元素。
这种辅助执行和动态可视化将跨越多个表征层级的动作体验联系起来。这创造了重要的学习机会，有助于全面理解基本的数学运算。对于儿童来说尤其如此，尽管他们能够独立完成这种迁移，但仍然容易出错。通过这些操作，他们可以扩展、验证、修改和纠正他们对表征之间关系的心理模型——前提是给他们布置合适的任务（例如：„如果我在二十格框中添加五个红色方块，会发生什么？先思考一下，然后检查一下。“）。然而，这种相互关联、同步的表征必须在视觉元素的范围和设计方面保持平衡，因为同时跨越多个表征层级也会增加认知负荷。通常情况下，少即是多：因此建议一次只使用几个相互关联的表征。.
4. 实现客观上不可能实现的具有教学价值的行动
特别值得关注的是，如何将能够说明数学教育核心概念的动作过程可视化，而这些动作过程要么完全无法实现，要么只能通过实物教具付出不成比例的巨大努力才能实现。.
例如“五的力量”： 虽然在实体二十方格网格上同时放置五个数字并不容易，但在虚拟环境中却完全可行（Krauthausen，1995，2012）。在虚拟的二十方格网格上，可以插入五个数字和一个数字的组合。这能让孩子亲身体验到，用一个五格棋盘和一个单独的棋子组合成六个棋子，比直接插入六个单独的棋子效率更高（也需要更少的点击次数）。.
百方位值系统示例： 例如，在这里，数量可以以十为一组或以个为单位插入，从而使位值记数法在不同的表示层次上都清晰可见。一些应用程序（例如 www.lernsoftware-mathematik.de/zahlen）甚至可以动态地可视化分组和拆分过程，例如，自动将十个单位组合成一个十。.
虽然这些操作理论上可以用实物完成，但却需要大量的认知资源。将个位组合成十位，首先需要识别出十个个位，将它们组合在一起，然后再用十位棒进行交换。等到完成这个操作时，孩子很可能已经忘记了位值的概念。.
5. 自适应支持和差异化学习路径
除了纯粹的实验环境之外，虚拟工具还可以提供支持和差异化服务，例如：
- 实质性任务这指的是鼓励独立探索和研究各种联系的任务。这些任务（例如，以研究问题的形式）既可以在应用程序内提供，也可以在应用程序外提供。一个好的（虚拟）学习工具是否适合以理解为导向的学习，取决于其配套任务的质量！
- 备注和反馈： 在探索过程中，系统可以针对用户采取的行动提供即时反馈——既可应用户要求提供，也可由数字学习系统主动提供。反馈形式可以是视觉的，也可以是文本的，例如，在学习过程的适当阶段，通过视觉提示（例如，闪烁的数字方块、为材料添加视觉结构特征）或启发性问题（例如，„你为什么不试试这个……“、„想想看……“）来提供反馈。 人工智能辅助学习指导 这可以作为教师探索虚拟学习工具时的一个有益补充，以减轻他们的负担。.
- 复杂表示和运算的分解： 复杂的操作可以分解成各个步骤，从而更容易理解和操作。也可以将复杂的表示形式分解成相互关联的子表示形式。.
- 可调节难度级别： 虚拟学习工具的元素和功能可以根据学习水平手动调整，或者在自适应学习系统中自动适应孩子的学习水平和进度。.
- 学习路径的记录 通过录制和回放操作，可以将实验操作的瞬时呈现转化为持久的文档单元（静态——图像或文本）或操作序列（动态——视频或描述），以便后续进行分析和讨论。即使教学工具本身不提供这些功能（例如„Rechenfeld“应用程序），也可以借助屏幕录制、屏幕截图、笔记或录音等永久可用的工具来实现这一点。文档单元的收集为教师提供了后续的学习过程，例如整理文档、展示结果、探索策略以及提供诊断选项（Wollring，2008）。.
这些选项允许虚拟工具个性化以满足学习者的学习需求。
用于扩展虚拟行动体验的最新发展和技术
触摸技术和具身学习
具备多点触控功能的设备能够提供比传统鼠标控制更直接的触觉交互。因此，触控设备在教育领域，尤其是在小学，非常普及。手指描绘和滑动等手势可以作为生物学基础知识的输入，从而降低认知负荷（Agostinho et al., 2015; Ginns et al., 2020）。例如，使用两根手指，通过直观的滑动或缩放手势，即可快速动态地改变虚拟数轴上的刻度。这种交互方式是模拟静态媒体无法实现的。.
人工智能和自适应系统
现代虚拟学习工具可以通过基于人工智能的系统实现自适应学习路径，该系统能够自动适应每个学生的学习水平和需求（Haryana 等人，2022）。此类系统可以动态调节认知负荷，创造最佳学习条件。然而，该领域的研究仍处于起步阶段。许多悬而未决的问题仍然存在，尤其是关于如何有效地整合生成式人工智能，以支持学习，而不是取代或阻碍学习。
增强现实和虚拟现实
增强现实（AR）和虚拟现实（VR）技术为空间-物理虚拟交互开辟了新的可能性，通过实现对虚拟物体的三维操控和基于运动的学习，将运动与学习融为一体（Altmeyer et al., 2024）。此类技术在空间推理方面展现出尤为广阔的应用前景。此外，AR和VR技术也使得具身学习方法成为可能，在这种方法中，身体运动能够以一种综合的方式促进数学理解，例如将现实世界的体验与虚拟体验相结合。.
AR数轴示例：在AR数轴应用程序中，孩子们可以在虚拟数轴上进行各种操作。这条数轴可以直接投影到他们周围环境中的参考面上，并且可以无限延伸。通过沿着虚拟AR数轴前后移动的直观体验，孩子们可以建立集合大小、它们在数轴上的位置以及真实环境（例如学校走廊、操场）中长度比例之间的关系。.
批判性反思与局限性
尽管虚拟行动的可能性已经显现，但仍有必要对其进行批判性审视，尤其是在其设计和融入实质性学习环境方面。.
并非所有虚拟工具都能自动生效。
关于虚拟学习工具有效性的研究结果并不一致。例如，最近一项研究表明，在某些领域（例如分数），实体学习工具比虚拟工具能带来更好的学习效果（Al Mutawah et al., 2024）。然而，这些结果不能推广到所有学习工具或技术本身。正如选择和使用实体教具需要遵循一定的标准一样，虚拟学习工具的使用也应该更多地遵循学科特定的教学标准，而不是技术本身。 设计质量 虚拟工具至关重要（Moyer-Packenham & Bolyard，2016），将其融入适当设计的学习环境和问题中也同样重要。
认知超负荷的危险
矛盾的是，设计不佳的数字学习环境也会导致认知负荷增加——例如，通过不必要的动画、分散注意力的元素或过于复杂的用户界面（Skulmowski & Xu，2022）。.
教师的重要性
虚拟学习工具并不能取代教师提供的专业学科教学支持。恰恰相反：当虚拟学习工具的使用与适当的任务、准备和后续跟进以及学习环境相结合时，它们才能充分发挥其潜力。研究表明，教师使用虚拟学习工具的方式对学习的成功至关重要（Larkin，2016）。 数学教学能力 教师仍然是中心。
结论与展望
通过适当的设计，虚拟活动可以为数学学习创造行动和体验的机会，与使用非虚拟工具的活动相比，这些机会具有显著的教学潜力（Krauthausen，2022；Bouck 等，2020b）。它们被认为 有意义的补充和延续 虚拟行动不应被视为现实世界行动的替代品。作为解释和有效应用的基础，虚拟行动通常需要使用实际工作材料进行初步的、类似的实践经验。成功使用虚拟工具和虚拟行动的关键条件包括：
- 学科教学基础： 教学工具中虚拟操作的设计应基于数学教育中已被证明的概念和原则。.
- 设计质量： 根据多媒体学习的见解和学科特定的教学原则，精心设计虚拟学习工具至关重要（Urff，2014）。
- 物理与数字的相互作用 （双重实物）：虚拟行动建立在有形工具的经验之上，也可以有效地作为„双重实物“一起使用（Bonow，2020）。.
- 教师专业化： 教师需要具备反思性地使用数字媒体的技能，以便利用数字学习材料和活动的具体可能性，而不是简单地将其作为模拟媒体的替代品。.
在设计虚拟工作工具和行动方案时，从学科教学角度来看，以下设计原则具有指导意义（参见Urff，2012）：
- 设计虚拟工具时，应使用户在执行操作时无需进行与数学概念形成无关的活动。这样可以尽可能多地利用认知资源进行数学探索。
- 尝试使用虚拟动作和可视化来尽可能好地描述要推广的数学（思维）运算。
- 设计虚拟资源，以便儿童能够理解不同表现形式之间的联系。
- 实现那些无法通过具体工作工具实现或很难通过具体工作工具实现的操作。
数字化及其带来的教育数字化进步带来了机遇，但不应导致不加批判的技术狂喜。目标并非取代传统工具，而是拓展教学内容。 明智扩张 （Krauthausen，2022）。因此，未来的研究和实践应该继续批判性地考察在哪些条件下，哪些具体工具和虚拟工具的组合对于哪些学习目标和目标群体来说是最佳的。.
文学
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