克里斯蒂安·乌尔夫 2025 （更新文本版本 2011)
介绍
数学教具是核心的教与学工具，通过它们可以以具身操作的方式探索基本的数学关联（Krauthausen, 2012, 2022）。与学习者可以用双手操纵的实体教具（例如移动、重新摆放、翻转物体）相比，虚拟教具中„真实的“操作可能性受限于数字交互。在使用传统的台式机和笔记本电脑时，交互主要通过鼠标点击或键盘输入来进行，而平板电脑中的触摸屏则通过多点触控手势提供直接的触觉反馈（Agostinho et al., 2015）。通过AR眼镜，最近也实现了使用自然手势（手指并拢、旋转等）进行输入。.
使用虚拟工具时，实际操作由计算机执行并以视觉方式呈现——用户发起操作。一个虚拟的二十方格网格的例子就清楚地说明了这一点：计数器可以虚拟翻转，但不能通过实际的物理旋转来实现。软件通过点击或触摸手势执行翻转操作，并显示相应的动画。我将这种由计算机执行但由用户发起的操作称为…… 基于计算机或虚拟的行为 (Urff, 2010)。计算机辅助操作的特点是，操作的发起由用户完成，但执行的很大一部分由计算机承担。.
虚拟行为与物理行为之间的关系
限制和要求
最初有人可能会认为，虚拟行动中具体的行动可能性，以及由此产生的行动体验，都受到了显著的限制。如果仅考虑触觉体验，这种说法确实如此（Moyer-Packenham & Bolyard，2016）。儿童无法真切地感受到虚拟的鳍状肢，也无法闻到它的气味，而且翻转鳍状肢的动作与鳍状肢本身的运动也没有直接的联系。.
这一限制是虚拟工作设备之所以尽可能被视为 延续与扩展 虚拟学习工具应作为实体学习材料的补充，而非替代（Krauthausen，2022；Bouck 等，2020a）。这一点在小学和学前教育中尤为重要，因为早期经验在这一发展阶段对理解能力的培养起着至关重要的作用。儿童只有在亲身翻转过实体计数器或观察过使用实体工具进行此操作之后，才有可能正确理解计算机上的虚拟翻转操作。.
最新研究表明，结合具体教具与虚拟教具（即„混合操作教具“）效果尤为显著（Ahmad 等人，2024 年；Yakubova 等人，2024 年）。其顺序与互联——先具体实物，后虚拟操作——在教学法上依然具有重要意义。然而，为什么除了具体的教具之外，还应当提供虚拟的操作方式呢？
计算机辅助行动的教学潜力
如果更仔细地审视虚拟行为的视听觉和交互式体验可能性，作为现实行为延伸的计算机辅助行为，通过其技术可能性提供了一些能够拓展具象物理行为体验的教学潜力：
1. 通过自动执行动作来缓解和转变认知
通过让计算机接管动作的执行，更多的认知资源可以用于实际的数学学习（Sweller, 2020; Paas & van Merriënboer, 2020）。动作冲动与执行的解耦可以减少儿童与学习无关的运动和认知负担（Skulmowski & Xu, 2022）。用认知负荷理论的话来说，这对应于减少……的原则 无关认知负荷, 即，与学习不一定相关的认知负荷（Castro-Alonso，2020）。.
计算字段示例： 而实物二十格阵需要手动将圆片推到格子上，孩子需要进行这种肌肉运动，而在计算机上则是自动化的。在虚拟的二十格阵中，通过点击或触摸，会自动呈现一个或多个圆片插入动作的动画。孩子不必操心圆片移动操作是否正确——这对于数学概念的形成来说（至少在有足够的基础经验的前提下）是无关紧要的——而是可以观察插入操作及其影响，并将注意力集中在符号层面的变化上（总数增加），从而通过实验在思维上更好地理解各种联系，因为有更多的认知资源可用于观察行动的影响。因此，设计良好的虚拟学习工具在与合适的任务相结合时，通过这种部分自动化，具有降低认知负荷和促进对学习情境进行操作性理解的潜力，因为以„如果……会发生什么？“的形式对各种操作选项进行实验会变得明显容易得多。.
2. 动作执行的概念控制
虽然物理工作设备上的操作不仅允许具有数学意义的操作（例如，放置瓷砖），而且还允许没有数学概念等价的操作（例如，重叠瓷砖、错位、不匹配的表示），但计算机辅助操作可能仅限于概念上一致的数学操作（Moyer 等人，2002 年；Bouck 和 Park，2018 年）。
因此，只有那些对于学习者获取和发现具有教学意义的结构特征、从而对于理解至关重要的操作才被作为行为提供。由于物理特性而在类似教具中仍然可能发生的其他行为则受到限制。例如，在虚拟二十格阵中可以确保：
- 场地上最多可放置 20 块瓷砖，
- 红色瓷砖总是以连贯的方式构造，因此更容易理解（如果自动构造已打开），
- 自动考虑 5 和 10 结构，并且
- 标志性和象征性的表现总是相互匹配的。
这 概念结构 利用数字工具进行概念支架式教学能够有效支持学习，尤其对有学习困难的儿童而言更是如此（Park et al., 2022; Yakubova et al., 2024）。尤其是在缺乏深刻理解的情况下，错误操作会导致根本性的误解。例如，如果一个实物二十方格上的方块放置错误导致图形表征和符号表征错位（例如，方格内有14个方块，但数字15却在它们旁边），儿童往往会在事后试图合理化这种差异，有时在这个过程中会构建出错误的心理模型。虚拟工具能够更好地预防此类误解，因为它只允许概念上正确的操作，并自动确保所有表征层面的一致性。.
3. 跨多个表示级别的同步表示
计算机辅助执行动作使得跨多个表征层级的动作同步成为可能（Krauthausen，2012，2022）。这使得 动态网络 不同的表示形式是深入理解数学的核心要素（Moyer-Packenham & Bolyard，2016）。.
例子： 如果计算字段上的加数减少一，则：
- 相应的数字减少（符号级别），
- 总和减少一，
- 同时，在标志性级别上，从二十个字段中移除一块瓷砖，
- 总可见数量减少了一个元素。
通过这种受支持的操作和动态可视化，行动体验在多个表征层面得到了耦合。这为培养对基本数学运算的全面理解可能具有重要意义的学习机会创造了条件。特别是对那些原则上自己能够进行这种迁移，但其过程仍容易出错的儿童来说，这里存在着特殊的学习机会。通过这些操作，他们可以扩展、验证、修改和纠正自己关于不同表征之间联系的心智模型——前提是相关的任务能够激发这种思考（例如：„如果我放上五个红色磁片，二十格阵会发生什么变化？请先自己思考，然后再验证。“）。然而，这种互联的同步表征在视觉元素的数量和设计上必须保持良好的平衡，因为跨多个表征层面的同时互联也可能产生额外的认知负担。这里通常“少即是多”：因此，建议将同时相互关联的表征数量减少到少数几个。.
4. 实现客观上不可能实现的具有教学价值的行动
特别值得关注的是，如何将能够说明数学教育核心概念的动作过程可视化，而这些动作过程要么完全无法实现，要么只能通过实物教具付出不成比例的巨大努力才能实现。.
„五力“示例： While the physical twenty-frame does not readily allow for quantities to be placed simultaneously in portions of five onto the grid, this is quite possible virtually (Krauthausen, 1995, 2012). With the virtual twenty-frame, portions of five and individual units can be inserted. This allows the child to experience vividly that it is more effective (and requires fewer „clicks“) to compose six double-sided counters from a five-group and a single counter, rather than inserting individual counters six times.
百方位值系统示例： 例如，在这里，数量可以以十为一组或以个为单位插入，从而使位值记数法在不同的表示层次上都清晰可见。一些应用程序（例如 www.lernsoftware-mathematik.de/zahlen）甚至可以动态地可视化分组和拆分过程，例如，自动将十个单位组合成一个十。.
虽然这些操作理论上可以用实物完成，但却需要大量的认知资源。将个位组合成十位，首先需要识别出十个个位，将它们组合在一起，然后再用十位棒进行交换。等到完成这个操作时，孩子很可能已经忘记了位值的概念。.
5. 自适应支持和差异化学习路径
除了纯粹的实验环境之外，虚拟工具还可以提供支持和差异化服务，例如：
- 实质性任务这指的是鼓励独立探索和研究各种联系的任务。这些任务（例如，以研究问题的形式）既可以在应用程序内提供，也可以在应用程序外提供。一个好的（虚拟）学习工具是否适合以理解为导向的学习，取决于其配套任务的质量！
- 备注和反馈： 在探索过程中，可以对所执行的操作提供即时反馈——既可以按需提供，也可以由数字学习系统主动提供。这可以通过视觉或文本语言的方式来实现，例如通过视觉提示（例如闪烁的图块数量、在材料中添加视觉结构特征）或在学习过程中的合适时机提出启发式问题（„试一试……“，„想一想……“）。此外 人工智能辅助学习指导 可以作为在此的一个有意义的补充，以在教师使用虚拟学习工具进行探究的过程中为其减轻负担并提供辅助。.
- 复杂表示和运算的分解： 复杂的操作可以分解成各个步骤，从而更容易理解和操作。也可以将复杂的表示形式分解成相互关联的子表示形式。.
- 可调节难度级别： 虚拟工作辅助工具的元素和功能可以根据学习进度进行自主调整，或者在自适应学习系统中根据儿童的学习进度和学习轨迹自动调整。.
- 学习路径的记录 通过记录和重现操作。实验操作的稍纵即逝的呈现可以被转化为非易失性的文档单元（静态的——图像或文本）或操作序列（动态的——视频或描述）集合，以便于后续的分析和讨论。借助屏幕录制、截图、笔记或录音等永久可用的工具，即使工作母机本身不提供此功能（例如在„计算域“应用程序中），这也是可行的。通过收集文档单元，可以实现后续的学习过程，例如对收集内容的结构化整理、结果展示、策略探索以及教师的诊断可能性（Wollring, 2008）。.
这些选项允许虚拟工具个性化以满足学习者的学习需求。
用于扩展虚拟行动体验的最新发展和技术
触摸技术和具身学习
具备多点触控功能的设备比传统的鼠标控制能实现更直接的触控交互。因此，触控技术设备在学校教育中，特别是小学阶段，现在非常受欢迎。手指描摹和滑动姿势可以作为生物学上的初级知识（biologically primary knowledge）来利用，从而减少认知负荷（Agostinho 等人，2015 年；Ginns 等人，2015 年）。例如，可以通过直观的滑动或双指放大/缩小手势，快速且动态地改变虚拟数轴上的缩放。此类操作方式是传统的静态模拟媒介无法实现的。.
人工智能和自适应系统
现代虚拟工作手段可以通过基于人工智能的系统实现自适应学习路径，这些路径能够自动根据单个学生的学习进度和需求进行调整（Haryana et al., 2022）。此类系统可以动态调节认知负荷，并创造最佳的学习条件。然而，该领域的研究所处阶段仍属初期。仍有许多悬而未决的问题，尤其是关于如何合理整合生成式人工智能以支持学习，而不是取代或阻碍学习。.
增强现实和虚拟现实
AR和VR技术为空间-物理虚拟行动方式开辟了新的可能性，通过实现对虚拟物体的三维操作和具身学习，将运动与学习融为一体（Altmeyer等人，2024年）。特别是在空间想象力方面，此类技术展现出了广阔的应用潜力。具身学习（embodied learning）方法——其中身体运动以整合的方式促进数学理解，例如通过将真实体验与虚拟体验相融合——也由于AR和VR技术而成为可能。.
示例AR数轴：在AR数轴应用程序中，儿童可以在虚拟数轴上进行操作。该数轴可以直接投射到周围环境的参考面上，并且可以潜在地无限延伸。通过在虚拟AR数轴上亲自体验向前和向后的运动，可以将集合的大小、在数轴上的定位以及真实环境（例如学校走廊、学校操场）中的长度比例联系起来。.
批判性反思与局限性
尽管虚拟行动的可能性已经显现，但仍有必要对其进行批判性审视，尤其是在其设计和融入实质性学习环境方面。.
并非所有虚拟工具都能自动生效。
关于虚拟教具有效性的研究结果并不一致。例如，一项最新研究表明，在某些领域（如分数运算），具体教具比虚拟教具能带来更好的学习效果（Al Mutawah 等，2024）。然而，此类结果不能直接推广应用于教具或技术本身。正如存在用于选择和使用实物直观教具的标准一样，教具的使用与其说取决于技术，不如说应根据学科教学法标准来进行定向。 设计质量 虚拟工具至关重要（Moyer-Packenham & Bolyard，2016），将其融入适当设计的学习环境和问题中也同样重要。
认知超负荷的危险
矛盾的是，设计不佳的数字学习环境也会导致认知负荷增加——例如，通过不必要的动画、分散注意力的元素或过于复杂的用户界面（Skulmowski & Xu，2022）。.
教师的重要性
虚拟教具不能替代教师专业的学科教学法指导。恰恰相反：虚拟教具只有在通过相应的任务设计、课前准备与课后巩固以及学习环境进行框定和引导时，才能发挥其潜力。研究表明，教师使用虚拟教具的方式对学习成功与否具有决定性作用（Larkin, 2016）。 数学教学能力 教师仍然是中心。
结论与展望
通过适当的设计，虚拟活动可以为数学学习创造行动和体验的机会，与使用非虚拟工具的活动相比，这些机会具有显著的教学潜力（Krauthausen，2022；Bouck 等，2020b）。它们被认为 有意义的补充和延续 虚拟行动不应被视为现实世界行动的替代品。作为解释和有效应用的基础，虚拟行动通常需要使用实际工作材料进行初步的、类似的实践经验。成功使用虚拟工具和虚拟行动的关键条件包括：
- 学科教学基础： 虚拟操作在工作介质上的设计应遵循行之有效的数学教学法概念和原则。.
- 设计质量： 根据多媒体学习理论和学科教学法原则对虚拟工作教具进行精心设计是必不可少的（Urff，2014）。.
- 物理与数字的相互作用 （人工制品二重奏）：虚拟操作建立在对实体工作手段的经验基础之上，也可以作为一个„人工制品二重奏“（Duo of Artifacts）有效地共同使用（Bonow，2020）。.
- 教师专业化： 教师需要具备反思性地使用数字媒体的技能，以便利用数字学习材料和活动的具体可能性，而不是简单地将其作为模拟媒体的替代品。.
在设计虚拟工作工具和行动方案时，从学科教学角度来看，以下设计原则具有指导意义（参见Urff，2012）：
- 设计虚拟工作手段，使用户在执行操作时免于从事与数学概念形成无关的活动。从而为数学探索腾出尽可能多的认知资源。.
- 尝试通过虚拟操作活动和可视化，尽可能好地映射出需要培养的数学（思维）运算。.
- 设计虚拟资源，以便儿童能够理解不同表现形式之间的联系。
- 实现那些无法通过具体工作工具实现或很难通过具体工作工具实现的操作。
数字化及其带来的教育数字化进步带来了机遇，但不应导致不加批判的技术狂喜。目标并非取代传统工具，而是拓展教学内容。 明智扩张 （Krauthausen, 2022）。因此，未来的研究和实践应继续批判性地探讨，在什么条件下，具体工作手段与虚拟工作手段的何种组合对于哪些学习目标和目标群体才是最优的。.
文学
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延伸阅读
未在文中引用，但与主题相关。.
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