Comprendre les nombres comme des composés.
Une application web d'apprentissage pour l'enseignement précoce des mathématiques, permettant de créer, d'enregistrer,
Décomposition et assemblage d'ensembles dans la plage numérique jusqu'à 10.
Lien vers l'application iOS bientôt disponible (actuellement en cours d'examen par Apple)
Application Web : démanteler.urff.app
Public cible : Enseignement initial, 1re année, incluant le soutien et la thérapie d'apprentissage
Plage de nombres : jusqu'à 10
De quoi s'agit-il ?
Un nombre est plus qu'une simple position dans la suite numérique. Sept, par exemple, peut être…
Ils peuvent être considérés comme un tout, mais aussi comme une composition de 5 et 2, 4 et 3, ou 6 et 1. Ceux qui comprennent de telles relations peuvent utiliser les nombres avec souplesse, déterminer les parties manquantes et, de plus en plus, déduire des problèmes d'addition et de soustraction à partir de relations numériques connues, au lieu de compter chaque résultat à nouveau.
L'application Démonter Elle aide les enfants à développer progressivement la compréhension de la relation partie-tout, une base essentielle. L'accent est mis sur une bande de dix éléments structurée en groupes de cinq. Les éléments sont placés, les quantités sont perçues d'un coup d'œil, divisées en deux parties par une ligne de séparation mobile, puis réassemblées pour former un tout. L'application combine quatre approches :
- l'action sur le matériel virtuel (ajout et suppression, déplacement d'une ligne)
- l'image de la quantité structurée,
- la description linguistique et
- La représentation symbolique utilisant des nombres et des symboles mathématiques.
Toutes les instructions et les retours destinés à l'enfant sont vocaux. L'application peut ainsi être utilisée même par les enfants qui ne savent pas encore lire. Le choix des nombres, la complexité des tâches, le rythme d'élocution et les options d'entraînement peuvent être adaptés au niveau d'apprentissage de chaque enfant dans l'espace enseignant. Les enfants peuvent notamment…
- Inscrivez les quantités dans la bande de dix et attribuez-les aux chiffres correspondants.,
- Saisir de plus en plus de quantités sans compter, en utilisant la structure à cinq et à dix.,
- diviser un tout en deux parties et trouver différentes décompositions d'un même nombre,
- reconnaître que les parties peuvent changer tandis que le tout reste le même,
- déterminer la partie manquante d'un tout et d'une partie connue,
- compléter mentalement les quantités cachées,
- alterner entre la notation matérielle, l'image de quantité, le trio numérique et la notation symbolique,
- Comprendre l'addition comme une combinaison et la soustraction comme la détermination d'une partie,
- Reconnaître les tâches d'échange et les tâches inverses comme une famille de tâches apparentées et
- utiliser avec une confiance et une aisance croissantes les décompositions numériques comprises dans trois jeux.
L'application est principalement conçue pour l'enseignement primaire précoce, la transition entre la maternelle et l'école primaire, et l'accompagnement individualisé. Elle peut également être utilisée dans les établissements d'enseignement spécialisé, les groupes d'apprentissage inclusifs, les séances de thérapie d'apprentissage ou à domicile.
Concept didactique
1. Le concept partie-tout comme base de l'arithmétique
Le concept de partie-tout repose sur l'idée qu'une quantité ou un nombre peut être divisé en parties de diverses manières et réassemblé à partir de ces parties. Le tout demeure intact tant que seule sa division est modifiée. Ainsi, 7 est le tout ; 5 et 2 en sont des parties. De même, 4 et 3 sont des parties de ce même tout.
Cette idée est essentielle à une compréhension relationnelle des nombres. Les nombres ne sont pas seulement perçus comme des positions successives – „ six, sept, huit “ – mais comme des quantités interdépendantes. Le concept de partie-tout constitue un fondement fondamental pour la notion de nombre, l'addition, la soustraction et les stratégies de calcul qui en découlent.Lenz et Wittmann 2023).
Implémentation dans l'application : Sur une bande de dix points, chaque point représente l'ensemble, divisé en deux parties visibles par la ligne rouge. Cette ligne peut être déplacée sans ajouter ni retirer de tuiles. L'invariance de l'ensemble apparaît ainsi immédiatement : une partie augmente d'une unité, tandis que l'autre diminue d'une unité.
2. Enregistrement structuré des quantités au lieu d'un comptage rigide.
Les grandes quantités sont plus faciles à compter lorsqu'elles sont divisées en sous-ensembles gérables. La bande de dix bandes utilise donc… Le pouvoir des cinqAprès la cinquième place, la structure est clairement visible. Huit peut ainsi être interprété comme „ cinq et trois “ ou comme „ deux de moins que dix “. Les tuiles individuelles restent visibles, mais il ne faut plus les compter une à une.
Pour les réponses correctes, l'application met en évidence visuellement les relations pertinentes entre les nombres de cinq ou dix et les nomme verbalement. En cas d'erreur, elle évite délibérément de simplement dénombrer les grandes quantités. Au lieu de cela, la quantité apparaît comme un groupe, attirant l'attention sur sa structure. Ce n'est qu'avec les très petits nombres, pour lesquels un repère basé sur cinq ou dix serait peu utile, qu'une aide est fournie à des moments précis. Cette conception répond à l'exigence de l'enseignement des mathématiques de percevoir les quantités de manière structurée et d'utiliser les relations numériques pour dépasser le simple calcul par dénombrement. Elle n'empêche pas techniquement de compter – ce qui serait impossible et absurde – mais rend accessibles de manière récurrente d'autres perspectives, plus pertinentes.
3. Lier l'action, l'image, le langage et le symbole
Déplacer une simple ligne de séparation ne suffit pas à acquérir une compréhension mathématique. L'essentiel est que l'enfant associe l'action à la représentation de la quantité, aux nombres impliqués et à une correspondance linguistique appropriée. C'est pourquoi l'application utilise systématiquement des expressions telles que :
„ Sept se divise en trois et quatre. “
„Trois et quatre font sept.“
„ Sept moins quatre égale trois. “
L'ensemble est bleu, les parties sont marquées en rouge. Cette même attribution de rôle apparaît sur la bande de dix, dans le trio de nombres, dans la maison des nombres et dans les familles de problèmes. La couleur n'est pas destinée à remplacer la réflexion comme moyen mnémotechnique, mais plutôt à attirer l'attention sur le rôle mathématique d'un nombre : est-il…
Cette situation, dans son intégralité ou en partie ?
Les différents exercices nécessitent des changements ciblés dans la représentation : de la bande visible aux nombres partiels, du trio de nombres au matériau, de la partie cachée à l’addition, et enfin de l’image structurée à l’équation.
4. Trouvez toutes les décompositions, ordonnez-les et décrivez leurs relations.
Dans l'exercice „ Diviser la foule “ Les enfants ne cherchent pas n'importe quelle décomposition, mais toutes les décompositions d'un nombre choisi. Les décompositions qu'ils trouvent sont ensuite rassemblées de manière organisée dans une « maison des nombres ». Cela permet le développement d'une approche systématique par essais et erreurs. Cette recherche et cette organisation systématiques sont importantes car elles permettent aux enfants de reconnaître les liens entre les décompositions. L'application offre un environnement dynamique à cet effet ; cependant, la description et l'explication des résultats lors des discussions en classe restent la responsabilité des enfants et de l'enseignant.
Les décompositions avec zéro peuvent être activées ou désactivées dans l'espace enseignant.
Une fois activée, cette fonction révèle que „ 0 et 7 “ représentent également une décomposition possible de sept.
est.
5. L'addition et la soustraction comme relations liées
L'application introduit les notions de plus et de moins basées sur le concept partie-tout.
Ajoutez à cela Deux parties sont assemblées pour former un tout. Emporter
On recherche l'autre partie de l'ensemble.
Dans l'exercice „"Entrée et sortie à nouveau"“ L'enfant ajoute initialement beaucoup et
Ensuite, il supprime exactement cette partie à nouveau. Les carreaux supprimés
Elles ne disparaissent pas sans laisser de trace, mais demeurent comme de pâles „ carreaux fantômes “.“
Cela est évident. L'ensemble initial, la partie retirée et la partie restante peuvent être reconstitués simultanément. La relation inverse entre l'addition et la soustraction devient tangible et visible à travers ces actions.
L'exercice „"Famille de tâches"“ puis combine un démontage avec le
équations associées :
3 + 4 = 7 4 + 3 = 7
7 − 4 = 3 7 − 3 = 4
Chaque ligne résolue est vérifiée à l'aide du matériel. Dans les soustractions, le tout est toujours écrit en premier. Ceci afin d'éviter que la famille de problèmes ne se réduise à un simple réarrangement de trois chiffres, mais reste ancrée dans la relation fondamentale partie-tout.
6. Commentaires axés sur la compréhension
Une mauvaise réponse n'est pas simplement marquée comme „ fausse “. L'application attire l'attention sur le problème.
Revenons à la matière : un sous-ensemble pertinent se révèle, une zone manquante apparaît, ou une relation cinq/dix est mise en évidence. La solution n’est pas donnée prématurément. L’enfant peut ainsi poursuivre sa réflexion et agir à nouveau.
Pour l'évaluation des progrès d'apprentissage, seule la première tentative est prise en compte. La tâche est ensuite poursuivie jusqu'à l'obtention de la solution correcte. Cela permet à l'enseignant d'évaluer avec précision les compétences que l'enfant maîtrise déjà de manière autonome, sans que des erreurs ne freinent sa progression vers la réussite. Cette évaluation est un outil d'observation et d'accompagnement, et non un test standardisé ou un critère de notation.
7. Automatisez seulement après avoir compris.
Les jeux comme „"Les chiffres en amour"“, „ Construire des maisons “ et „ Bulles familiales “ Ces jeux permettent de consolider les décompositions et les familles de problèmes déjà acquises. Nombres et images de quantités structurées alternent ; l’enfant doit trouver, additionner ou associer les pièces correspondantes à une famille de problèmes. Ces jeux ne doivent être utilisés que lorsque l’enfant est capable d’expliquer la décomposition correspondante à l’aide du matériel. La rapidité et le score peuvent favoriser la confiance et l’aisance, mais ne remplacent pas la compréhension. C’est pourquoi les résultats des jeux ne sont pas pris en compte dans la grille de compétences des exercices.
Aperçu des zones de formation
| Objectifs d'apprentissage | Exercices appropriés | Question centrale |
|---|---|---|
| Les quantités sont définies et enregistrées. | Disposition du plateau · Localisation du plateau · Coup d'œil rapide · Mise en place et déploiement | „ Comment peut-on obtenir ce nombre sans compter chaque tuile individuellement ? “ |
| Quantités de changement | Ajouter la quantité · Ajouter puis supprimer | „ Qu’est-ce qui est ajouté ? Que reste-t-il lorsqu’on enlève à nouveau la même partie ? “ |
| Examiner les démontages par action | Diviser l'ensemble · Diviser et trouver les nombres · Décaler et prédire · Diviser en trois parties | „ En quelles deux parties le tout est-il divisé ? Comment trouver toutes les possibilités ? Comment les parties changent-elles si je modifie la ligne ? “ |
| Déterminer les parties et le tout | Entiers et parties · Combien sont cachés ? · Aperçu rapide avec parties | „ Quelle partie est connue ? Quelle partie manque ? Quel est le tout ? “ |
| Intérioriser les idées | Décomposez le nombre | „ Pouvez-vous d'abord déterminer mentalement la partie manquante, puis la vérifier sur la bandelette ? “ |
| Comprendre les relations opérationnelles | famille de tâches | „ À quels problèmes d'addition et de soustraction correspondent ces trois nombres ? “ |
| Explorez librement | Environnement expérimental | „ Qu’est-ce qui change lorsque la ligne est déplacée – et qu’est-ce qui reste identique ? “ |
| Consolider et automatiser | Les chiffres en amour · Construction de maisons · Bulles familiales · Escalier · Balances numériques · Maison bancale · Recherche de couples · Arrêt de bus | „ Quelles décompositions et familles de tâches pouvez-vous déjà identifier avec certitude ? “ |
Principes didactiques pour l'enseignement
Avant la première utilisation
Il ne faut pas lancer l'application comme un jeu d'apprentissage aléatoire sans une introduction partagée au contenu. Commencez par faire explorer aux enfants le sens du mot „ démonter “ à l'aide d'objets concrets et de vocabulaire courant : une tablette de chocolat peut être démontée en morceaux ; six tuiles peuvent être démontées en quatre et deux tuiles. Le vocabulaire utilisé est important, par exemple :
„ Six est le tout. Quatre et deux en sont des parties. Ensemble, ils forment à nouveau six. “
Utilisez la bande de dix et ses graduations de cinq unités de manière stratégique avec la structure fournie. Demandez aux enfants de décrire comment ils peuvent rapidement reconnaître une quantité. Des exercices avec des flashcards et un crayon servant de ligne de décomposition mobile peuvent également convenir.
Scénarios d'apprentissage recommandés
Selon le niveau d'apprentissage, les phases peuvent être répétées, raccourcies ou proposées en parallèle.
- Représentations quantitatives des bâtiments : Commencez par „ Disposez le jeu “, „ Trouvez le jeu “.“
et une approche lente et „ éclair “. Commencez par choisir seulement quelques chiffres, comme 4, 5 et 6. - Le démontage en tant qu'action : Utiliser l'environnement expérimental et
„ Divisez la quantité. “ Demandez-vous quel est le tout et ses deux parties. - Systématisation des décompositions : Trouver toutes les décompositions d'un nombre et
Disposez les nombres dans la maison des nombres. Comparez les étages adjacents. - Identifier les parties manquantes : Passez à „ Entier et parties “, „ Combien y en a-t-il ? »
caché ? “ et „ aperçu de pièces “. - Intérioriser les idées : Insérez „ Décomposer le nombre “. Le matériel
Il semble désormais servir principalement au suivi et au retour d'information. - Combinez plus et moins : Modifiez „ Ajouter et supprimer “, puis „ Famille de tâches “.
- Sécuriser et automatiser : Utilisez les jeux et tous les autres exercices une fois que les relations peuvent être comprises et décrites verbalement.
Pour la plupart des enfants, des séances courtes et régulières d'environ 10 à 15 minutes sont plus bénéfiques que des séances d'entraînement longues et peu fréquentes.
Sujets de conversation
Les questions appropriées comprennent, par exemple :
- „ Quel est l'ensemble ici ? Quelles sont les parties ? “
- „ Comment as-tu repéré la foule si vite ? “
- „ Où voyez-vous les cinq ? Combien d'autres seront ajoutés ? “
- „Que se passe-t-il à la partie gauche si vous déplacez la ligne d'un cran ?“
- „ Qu’est-ce qui change ? Qu’est-ce qui reste pareil ? “
- „ Avez-vous déjà trouvé toutes les dissections ? Comment pouvez-vous en être sûr ? “
- „ Quelle est la décomposition en échanges correspondant à ceci ? “
- „ Quel problème d'addition correspond à l'image ? Quel problème de soustraction ? “
- „ Pourquoi le nombre entier doit-il figurer au début d'une soustraction ? “
- „ Peux-tu prédire la réponse avant de la vérifier sur la bandelette ? “
Il est essentiel que les enfants ne se contentent pas d'énoncer des résultats, mais qu'ils décrivent et expliquent également les relations entre les résultats. La synthèse vocale de l'application fournit un modèle linguistique à cet effet. Toutefois, elle ne peut remplacer les échanges mathématiques avec les autres enfants ou l'enseignant.
Ce que les enseignants peuvent observer
| observation | Interprétation possible et prochaine impulsion |
|---|---|
| L'enfant compte chaque tuile individuellement. | Concentrez-vous sur la structure en cinq parties : „ Montrez-moi d’abord les cinq. Que voyez-vous d’autre ? “ |
| Une décomposition déplacée est interprétée comme un tout nouveau. | Analysez l'invariance de l'approche et comparez l'ensemble avant et après le changement : „ Qu'est-ce qui a changé ? Qu'est-ce qui est resté identique ? “ |
| Les décompositions sont répétées de manière non systématique. | Documentez les décompositions, même sur papier, puis donnez la consigne suivante : „ Rangez les décompositions que vous avez trouvées de manière logique. Comment les avez-vous organisées ? “ Vous pouvez aussi leur demander de poursuivre ou de compléter un ordre existant. Expliquez verbalement toute modification. |
| L'enfant ne peut retrouver la partie manquante qu'en racontant l'histoire en entier. | Identifiez une partie connue et faites-la compléter à partir de l'ancrage à cinq ou dix points. Utilisez les relations (un de plus, un de moins, relations d'échange). |
| 3 + 4 et 4 + 3 sont traités comme des problèmes complètement distincts. | Comparez les deux séquences d'impulsions sur la même bande et décrivez la relation d'échange. |
| En cas de signe moins, les nombres partiels sont permutés aléatoirement. | Clarifier les rôles : L’ensemble est au premier plan ; les parties retirées et restantes se complètent pour former l’ensemble. |
| On peut accomplir des tâches symboliques, mais pas une représentation adéquate. | Revenez au trio de nombres et passez à la bande de dix ; faites démontrer l’équation à l’aide du matériel. |
L'aperçu des progrès d'apprentissage personnalisé de l'application indique, pour chaque niveau, les domaines non encore abordés, partiellement abordés ou entièrement réalisés. Cet outil est utile aux enseignants pour planifier les activités d'apprentissage et pour évaluer les progrès de l'enfant. Toutefois, les échecs, les durées et les couleurs ne doivent jamais être interprétés isolément ; leur sens n'est possible que s'ils sont mis en perspective avec les observations et les explications fournies.
Fondements théoriques et empiriques
Le concept didactique repose notamment sur les constats suivants :
- La décomposition des nombres révèle les relations entre les nombres. Le concept de décomposition en parties repose sur l'idée qu'un nombre peut être décomposé de diverses manières et reconstitué à partir de ses parties. Il sert de base à l'interprétation des relations entre l'addition, la soustraction et les opérations.
(Lenz et Wittmann, 2023). - Les diagrammes de quantités structurés soutiennent les approches non basées sur le comptage. Les structures basées sur les groupes de cinq et de dix nous permettent de percevoir les grandes quantités comme des unités segmentées. Mahiko souligne l'importance de comprendre les décompositions jusqu'à dix pour les calculs ultérieurs au-delà de dix, tout en mettant en garde contre le risque de passer trop rapidement de la manipulation du matériau à la simple pratique de l'addition.
(Mahiko/DZLM). - L'action, l'ordre et le langage sont indissociables. PIKAS recommande d'effectuer les démontages avec différents matériaux et d'envisager diverses possibilités.
et d'accompagner les actions linguistiquement (PIKAS). - Les études d'intervention font état d'effets d'apprentissage positifs grâce à un soutien ciblé partie-tout. Dans une étude menée en maternelle, un programme d'études explicite basé sur la structure partie-partie-tout a montré de meilleurs résultats d'apprentissage qu'une approche axée principalement sur le comptage et la numérotation (Fischer, 1990Une autre étude a constaté une amélioration de l'addition et
Opérations de soustraction (Kullberg et al., 2020Dans une étude expérimentale, la promotion de stratégies de décomposition a conduit à un taux de résolution plus élevé, à des stratégies plus flexibles et à un comptage moins fréquent (Cheng, 2012).
Ces résultats justifient le choix du contenu mathématique et des principes didactiques. Cependant, ils sont aucune preuve d'efficacité pour l'application elle-même. Les effets de cet environnement d'apprentissage numérique spécifique en contexte scolaire seront étudiés dans le cadre d'une étude complémentaire comprenant des questionnaires avant, après et suite à l'intervention. Si vous souhaitez participer, veuillez contacter christian.urff@ph-weingarten.de
Rôle de l'application en classe
L'application Le démontage ne saurait remplacer l'action concrète ou les discussions mathématiques. La force de cette application réside notamment dans sa capacité à visualiser de manière dynamique et cohérente les relations mathématiques, à varier les tâches de façon ciblée, à proposer des modèles linguistiques et à permettre des parcours d'apprentissage personnalisés. Son intérêt didactique est maximal lorsqu'elle est combinée à des manipulations, au dessin, à l'expression orale, au raisonnement et à la réflexion collaborative. L'application est donc particulièrement adaptée…
- comme environnement d'apprentissage guidé pour l'introduction des décompositions numériques,
- pour des phases d'exercice courtes et régulières,
- pour le travail en binôme et les discussions mathématiques,
- pour un soutien ciblé en cas de difficultés avec les relations numériques ou l'arithmétique basée sur le dénombrement et
- pour sécuriser et automatiser les démontages déjà compris.
Documents et autres ressources
PIKAS inclus : Tâches de base et tâches avancées „ Décomposition des nombres “
Cheng, Z.-J. (2012). Enseigner aux jeunes enfants des stratégies de décomposition pour résoudre des problèmes supplémentaires : une étude expérimentale. Journal du comportement mathématique,
31(1), 29–47. DOI
Fischer, FE (1990). Un programme d'enseignement des nombres en maternelle basé sur la méthode partie-partie-tout. Journal de recherche en éducation mathématique, 21(3), 207–215.
DOI
Gerster, H.-D. & Schultz, R. (2004). Difficultés d'acquisition des concepts mathématiques dans l'enseignement primaire.
Texte intégral
Kullberg, A., Björklund, C., Brkovic, I. et Runesson Kempe, U. (2020). Effets de l'apprentissage de l'addition et de la soustraction en maternelle en rendant visibles les dix premiers nombres et leurs relations grâce à des schémas de doigts. Études pédagogiques en mathématiques,
103, 157–172. DOI
Lenz, K. & Wittmann, G. (2023). Pour développer la notion de partie-tout dans l'enseignement précoce des mathématiques : quelles opportunités d'apprentissage les manuels scolaires offrent-ils en première année ? Journal de didactique des mathématiques.
DOI