Comprendre les nombres comme des composés.
Un Application d'apprentissage pour l'initiation aux mathématiques pour la ponte, la capture,
Décomposition et assemblage d'ensembles dans la plage numérique jusqu'à 10.

Application web à tester: démanteler.urff.app

Public cible : Enseignement initial, 1re année, incluant le soutien et la thérapie d'apprentissage
Plage de nombres : jusqu'à 10

De quoi s'agit-il ?

Un nombre est plus qu'une simple position dans la suite numérique. Sept, par exemple, peut être…
Ils peuvent être considérés comme un tout, mais aussi comme une composition de 5 et 2, 4 et 3, ou 6 et 1. Ceux qui comprennent de telles relations partie-tout peuvent utiliser les nombres avec souplesse, déterminer les parties manquantes et, de plus en plus, déduire des problèmes d'addition et de soustraction à partir de relations numériques connues, au lieu de compter chaque résultat à nouveau.

L'application Démonter unterstützt Kinder dabei, dieses Teile-Ganzes-Verständnis als wichtige Grundlage aufzubauen und zu vertiefen. Als Veranschaulichungsmittel wird ein in Fünfer strukturierter Zehnerstreifen verwendet. Plättchen werden gelegt, Mengen auf einen Blick erfasst, durch einen verschiebbaren Trennstrich in zwei Teile zerlegt und wieder zu einem Ganzen zusammengesetzt. Die App verbindet dabei vier Zugänge:

• l'action sur le matériel virtuel (ajout et suppression, déplacement d'une ligne)
• l'image de quantité structurée avec ligne de séparation,
• la description linguistique et
• La représentation symbolique utilisant des nombres et des symboles mathématiques.

Toutes les instructions et les retours destinés à l'enfant sont vocaux. L'application peut ainsi être utilisée même par les enfants qui ne savent pas encore lire. Le choix des nombres, la complexité des tâches, le rythme d'élocution et les options d'entraînement peuvent être adaptés au niveau d'apprentissage de chaque enfant dans l'espace enseignant. Les enfants peuvent notamment…

• Anzahlen im Zehnerstreifen legen und passende Ziffern zuordnen,
• Saisir de plus en plus de quantités sans compter, en utilisant la structure à cinq et à dix.,
• diviser un tout en deux parties et trouver différentes décompositions d'un même nombre,
• reconnaître que les parties peuvent changer tandis que le tout reste le même,
• déterminer la partie manquante d'un tout et d'une partie connue,
• compléter mentalement les quantités cachées,
• alterner entre la notation matérielle, l'image de quantité, le trio numérique et la notation symbolique,
• Comprendre l'addition comme une combinaison et la soustraction comme la détermination d'une partie,
• Reconnaître les tâches d'échange et les tâches inverses comme une famille de tâches apparentées et
• utiliser avec une confiance et une aisance croissantes les décompositions numériques comprises dans trois jeux.

Cette application est principalement conçue pour l'apprentissage précoce, la transition entre la maternelle et l'école primaire, et convient à un accompagnement individualisé à tout âge. Elle peut être utilisée dans les écoles primaires et spécialisées, dans les groupes d'apprentissage inclusifs, en thérapie d'apprentissage ou à domicile.

Concept didactique

1. Le concept partie-tout comme base de l'arithmétique

Le concept de partie-tout repose sur l'idée qu'une quantité ou un nombre peut être divisé en parties de diverses manières et réassemblé à partir de ces parties. Le tout demeure intact tant que seule sa division est modifiée. Ainsi, 7 est le tout ; 5 et 2 en sont des parties. De même, 4 et 3 sont des parties de ce même tout.

Cette idée est essentielle à une compréhension relationnelle des nombres. Les nombres ne sont pas seulement perçus comme des positions successives – „ six, sept, huit “ – mais comme des quantités interdépendantes. Le concept de partie-tout constitue un fondement fondamental pour la notion de nombre, l'addition, la soustraction et les stratégies de calcul qui en découlent.Lenz et Wittmann, 2023).

Interventionsstudien berichten positive Lernwirkungen einer gezielten Teile-Ganzes-Förderung im Kindergarten und im Anfangsunterricht. In einer Kindergartenstudie zeigte ein explizites Teil-Teil-Ganzes-Curriculum größere Lernzuwächse als ein vorwiegend auf Zählen und Beziffern gerichtetes Angebot (Fischer, 1990Une autre étude a constaté une amélioration des compétences en addition et en soustraction après un enseignement qui visualisait les relations numériques (Kullberg et al., 2020Dans une étude expérimentale, la promotion de stratégies de décomposition a conduit à un taux de résolution plus élevé, à des stratégies plus flexibles et à un comptage moins fréquent (Cheng, 2012).

Implémentation dans l'application : Punkte auf einem Zehnerstreifen zeigen stets die Menge als ein Ganzes, die durch den roten Trennstrich in zwei sichtbare Teile gegliedert wird. Der Strich kann verschoben werden, ohne dass Plättchen hinzukommen oder verschwinden. So wird die Invarianz des Ganzen unmittelbar erfahrbar: Ein Teil wird um eins größer, während der andere um eins kleiner wird.

2. Enregistrement structuré des quantités

Les grandes quantités sont plus faciles à compter lorsqu'elles sont divisées en sous-ensembles gérables. La bande de dix bandes utilise donc… Le pouvoir des cinq: Nach dem fünften Platz ist eine Markierung. Acht kann so als „fünf und drei“ oder als „zwei weniger als zehn“ gesehen werden. Bei richtigen Lösungen hebt die App passende Fünfer- oder Zehnerbeziehungen visuell hervor und benennt sie sprachlich. Bei Fehlern zählt sie größere Mengen bewusst nicht einfach vor. Stattdessen pulsiert die Menge als Gruppe und die Aufmerksamkeit wird auf die Struktur gelenkt. Nur bei sehr kleinen Anzahlen, für die ein Fünfer- oder Zehneranker wenig hilfreich wäre, wird punktweise unterstützt. Diese Gestaltung greift die mathematikdidaktische Forderung auf, Mengen strukturiert wahrzunehmen und Zahlbeziehungen für die Ablösung vom zählenden Rechnen zu nutzen. Sie verhindert das Zählen nicht technisch – das wäre weder möglich noch sinnvoll –, macht aber wiederholt andere, langfristig tragfähigere Sichtweisen zugänglich.

3. Lier l'action, l'image, le langage et le symbole

Déplacer une simple ligne de séparation ne suffit pas à acquérir une compréhension mathématique. L'essentiel est que l'enfant associe l'action à la représentation de la quantité, aux nombres impliqués et à une correspondance linguistique appropriée, et qu'il comprenne mentalement le processus. C'est pourquoi l'application utilise systématiquement des expressions comme :

„ Sept se divise en trois et quatre. “
„Trois et quatre font sept.“
„ Sept moins quatre égale trois. “

L'ensemble est bleu, les parties sont marquées en rouge. Cette même attribution de rôle apparaît sur la bande de dix, dans le trio de nombres, dans la maison des nombres et dans les familles de problèmes. La couleur n'est pas destinée à remplacer la réflexion comme moyen mnémotechnique, mais plutôt à attirer l'attention sur le rôle mathématique d'un nombre : est-il…
Cette situation, dans son intégralité ou en partie ?

Les différents exercices nécessitent délibérément des changements de représentation : de la bande visible aux nombres partiels, du trio de nombres au matériau, de la partie cachée à l’addition, et enfin de l’image structurée à l’équation.

4. Trouvez toutes les décompositions, ordonnez-les et décrivez leurs relations.

Dans l'exercice „ Diviser la foule “ Les enfants ne cherchent pas n'importe quelle décomposition, mais toutes les décompositions d'un nombre choisi. Les décompositions trouvées sont rassemblées de manière organisée dans une « maison des nombres ». Cela permet le développement d'une approche systématique par essais et erreurs. La recherche et le classement systématiques sont importants car ils permettent aux enfants de reconnaître les relations entre les décompositions. L'application offre un environnement dynamique à cet effet ; la description et l'explication des décompositions lors des discussions en classe restent la responsabilité des enfants et de l'enseignant. Les décompositions incluant zéro peuvent être activées ou désactivées dans l'espace enseignant.
Une fois activée, cette fonction révèle que „ 0 et 7 “ représentent également une décomposition possible de sept.
est.

5. L'addition et la soustraction comme relations liées

Die App bezieht Plus und Minus und ihr Zusammenspiel aus dem Teile-Ganzes-Verständnis heraus ein. Beim Ajoutez à cela Deux parties sont assemblées pour former un tout. Emporter ist der andere Teil des Ganzen gesucht. In der Übung „"Entrée et sortie à nouveau"“ L'enfant ajoute initialement beaucoup et
Ensuite, il supprime exactement cette partie à nouveau. Les carreaux supprimés
Elles ne disparaissent pas sans laisser de trace, mais demeurent comme de pâles „ carreaux fantômes “.“
Cela est évident. L'ensemble initial, la partie retirée et la partie restante peuvent être reconstitués simultanément. La relation inverse entre l'addition et la soustraction devient tangible et visible grâce à ces actions. L'application propose également des exercices dont le but n'est pas d'additionner ou de soustraire, mais plutôt de déterminer la partie masquée.

L'exercice „"Famille de tâches"“ puis combine un démontage avec le
équations associées :

3 + 4 = 7 4 + 3 = 7
7 − 4 = 3 7 − 3 = 4

Chaque ligne résolue est vérifiée à l'aide du matériel. Dans les soustractions, le tout est toujours écrit en premier. Ceci afin d'éviter que la famille de problèmes ne se réduise à un simple réarrangement de trois chiffres, mais reste ancrée dans la relation fondamentale partie-tout.

6. Commentaires axés sur la compréhension

Une réponse incorrecte n'est pas signalée comme telle. L'application met en évidence les erreurs.
Revenons à la matière : un sous-ensemble pertinent apparaît brièvement, une zone manquante est mise en évidence, une relation cinq/dix est soulignée ou une indication verbale est ajoutée. La solution n’est pas donnée prématurément. L’enfant peut continuer à réfléchir et réessayer. Pour l’évaluation des progrès, seule la première tentative est prise en compte. Ensuite, la tâche est poursuivie jusqu’à ce que la solution correcte soit trouvée. Cela permet à l’enseignant d’avoir une idée précise de ce que l’enfant maîtrise déjà de façon autonome, sans que des erreurs ne l’empêchent d’atteindre la réussite. Cette évaluation est un outil d’observation et de soutien, et non un test standardisé ou un critère de notation.

7. Automatisez seulement après avoir compris.

Les jeux comme „"Les chiffres en amour"“, „ Construire des maisons “ et „ Bulles familiales “ Ces jeux permettent de consolider les décompositions et les familles de problèmes déjà acquises. Nombres et images de quantités structurées alternent ; l’enfant doit trouver, additionner ou associer les pièces correspondantes à une famille de problèmes. Ces jeux ne doivent être utilisés que lorsque l’enfant est capable d’expliquer la décomposition correspondante à l’aide du matériel. La rapidité et le score peuvent favoriser la confiance et l’aisance, mais ne remplacent pas la compréhension. C’est pourquoi les résultats des jeux ne sont pas pris en compte dans la grille de compétences des exercices.

Aperçu des zones de formation

Objectifs d'apprentissage	Exercices appropriés	Question centrale
Les quantités sont définies et enregistrées.	Disposition du plateau · Localisation du plateau · Coup d'œil rapide · Mise en place et déploiement	„ Comment peut-on obtenir ce nombre sans compter chaque tuile individuellement ? “
Quantités de changement	Ajouter la quantité · Ajouter puis supprimer	„ Qu’est-ce qui est ajouté ? Que reste-t-il lorsqu’on enlève à nouveau la même partie ? “
Examiner les démontages par action	Diviser l'ensemble · Diviser et trouver les nombres · Décaler et prédire · Diviser en trois parties	„In welche zwei Teile ist das Ganze zerlegt? Wie findest du alle Möglichkeiten? Wie verändern sich die Teile, wenn ich den Strich verändere?“
Déterminer les parties et le tout	Entiers et parties · Combien sont cachés ? · Aperçu rapide avec parties	„ Quelle partie est connue ? Quelle partie manque ? Quel est le tout ? “
Intérioriser les idées	Décomposez le nombre	„ Pouvez-vous d'abord déterminer mentalement la partie manquante, puis la vérifier sur la bandelette ? “
Comprendre les relations opérationnelles	famille de tâches	„ À quels problèmes d'addition et de soustraction correspondent ces trois nombres ? “
Explorez librement	Environnement expérimental	„ Qu’est-ce qui change lorsque la ligne est déplacée – et qu’est-ce qui reste identique ? “
Consolider et automatiser	Les chiffres en amour · Construction de maisons · Bulles familiales · Escalier · Balances numériques · Maison bancale · Recherche de couples · Arrêt de bus	„ Quelles décompositions et familles de tâches pouvez-vous déjà identifier avec certitude ? “

Einsatz im Mathematikunterricht

Avant la première utilisation

Die App sollte nicht ohne gemeinsame inhaltliche Einführung als beliebiges Lernspiel gestartet werden. Lass zunächst an realem Material und in Alltagssprache erkunden, was „zerlegen“ bedeutet: Eine Tafel Schokolade kann in Teile zerlegt werden; sechs Plättchen können in vier und zwei Plättchen zerlegt werden. Wichtig ist die sprachliche Begleitung wie:

„ Six est le tout. Quatre et deux en sont des parties. Ensemble, ils forment à nouveau six. “

Nutze den Zehnerstreifen und seine Fünfermarkierung gezielt mit der angebotenen Struktur. Lass die Kinder beschreiben, woran sie eine Menge schnell erkennen. Hierfür eignen sich ebenfalls Blitzblickübungen und ein Stift als Zerlegungsstrich, der verschoben werden kann.

Empfohlene Lernszenarien

Selon le niveau d'apprentissage, les phases peuvent être répétées, raccourcies ou proposées en parallèle.

1. Représentations quantitatives des bâtiments : Beginne mit „Lege die Menge“, „Finde die Menge“
   und langsamem „Blitzblick“. Wähle zunächst wenige Zahlen, etwa 4, 5 und 6.
2. Le démontage en tant qu'action : Nutze die Experimentierumgebung und
   „Teile die Menge“. Frage nach dem Ganzen und den beiden Teilen.
3. Systématisation des décompositions : Lass alle Zerlegungen einer Zahl finden und
   im Zahlenhaus ordnen. Vergleiche benachbarte Stockwerke.
4. Identifier les parties manquantes : Tout d'abord, déterminez les parties recouvertes ensemble dans l'environnement expérimental sans les compter, puis dans „ Tout et parties “, „ Combien sont
   “ Caché ? „ et “ Aperçu furtif avec des parties » s'approfondissent
5. Intérioriser les idées : Par exemple, utilisez „ Décomposer le nombre “. Le matériel
   Il semble désormais servir principalement au suivi et au retour d'information.
6. Combinez plus et moins : „ Entrer et sortir à nouveau “, puis la „ famille de tâches “.
7. Sécuriser et automatiser : Nutze die Spiele und alle weiteren Übungen, wenn die Beziehungen verstanden und sprachlich beschrieben werden können.

Pour la plupart des enfants, des séances courtes et régulières d'environ 10 à 15 minutes sont plus bénéfiques que des séances d'entraînement longues et peu fréquentes.

Sujets de conversation

Les questions appropriées comprennent, par exemple :

• „ Quel est l'ensemble ici ? Quelles sont les parties ? “
• „ Comment as-tu repéré la foule si vite ? “
• „ Où voyez-vous les cinq ? Combien d'autres seront ajoutés ? “
• „Que se passe-t-il à la partie gauche si vous déplacez la ligne d'un/deux/... emplacement(s) ?“
• „ Qu’est-ce qui change ? Qu’est-ce qui reste pareil ? “
• „ Avez-vous déjà trouvé toutes les dissections ? Comment pouvez-vous en être sûr ? “
• „ Quelle est la décomposition en échanges correspondant à ceci ? “
• „ Quel problème d'addition correspond à l'image ? Quel problème de soustraction ? “
• „ Pourquoi le nombre entier doit-il figurer au début d'une soustraction ? “
• „ Peux-tu prédire la réponse avant de la vérifier sur la bandelette ? “

Il est essentiel que les enfants ne se contentent pas d'énoncer des résultats, mais qu'ils décrivent et expliquent également les relations entre les résultats. La synthèse vocale de l'application fournit un modèle linguistique à cet effet. Toutefois, elle ne peut remplacer les échanges mathématiques avec les autres enfants ou l'enseignant.

Observations et impulsions

observation	Interprétation possible et prochaine impulsion
L'enfant compte chaque tuile individuellement.	Concentrez-vous sur la structure en cinq parties : „ Montrez-moi d’abord les cinq. Que voyez-vous d’autre ? “
Une décomposition déplacée est interprétée comme un tout nouveau.	Invarianz thematisieren und das Ganze vor und nach dem Verschieben vergleichen: „Was hat sich verändert? Was ist gleich geblieben?“
Les décompositions sont répétées de manière non systématique.	Möglichst viele Zerlegungen, auch auf Papier, dokumentieren und danach die Aufgabe geben: „Ordne die gefundenen Zerlegungen sinnvoll. Wie hast du geordnet?“ Evtl. auch bereits eine Ordnung vorgeben und weiterführen lassen. Veränderungen versprachlichen.
L'enfant ne peut retrouver la partie manquante qu'en racontant l'histoire en entier.	Identifiez une partie connue et faites-la compléter à partir de l'ancrage à cinq ou dix points. Utilisez les relations (un de plus, un de moins, relations d'échange).
3 + 4 et 4 + 3 sont traités comme des problèmes complètement distincts.	Beide Pulsfolgen am selben Streifen vergleichen und die Tauschbeziehung beschreiben und mit Unterstützung der Übung „Umdrehen und Tauschen“ vertiefen.
En cas de signe moins, les nombres partiels sont permutés aléatoirement.	Forscherauftrag geben: „Warum steht das Ganze bei Minus immer vorne?“ Das Ganze steht vorn; weggenommener und verbleibender Teil ergänzen sich zum Ganzen.
On peut accomplir des tâches symboliques, mais pas une représentation adéquate.	Revenez au trio de nombres et passez à la bande de dix ; faites démontrer l’équation à l’aide du matériel.

L'aperçu des progrès d'apprentissage de l'application, centré sur l'enfant, indique pour chaque niveau les compétences non encore acquises, partiellement acquises ou maîtrisées à plusieurs reprises. Il est utile aux enseignants pour planifier les activités d'apprentissage et fournit également un retour d'information aux enfants sur leurs progrès. Cependant, les tentatives infructueuses, les durées ou les indicateurs de couleur ne doivent jamais être interprétés isolément ; ils ne prennent tout leur sens que lorsqu'ils sont considérés conjointement avec l'observation des actions et les explications fournies.

Projet de recherche sur l'application

Les effets de cet environnement d'apprentissage numérique spécifique, en contexte scolaire, seront étudiés dans le cadre d'une étude complémentaire comprenant des évaluations avant, après et après l'intervention. Cette étude est relativement simple à mettre en œuvre (l'évaluation des progrès d'apprentissage peut être réalisée directement dans l'application). Si vous souhaitez participer, veuillez contacter christian.urff@ph-weingarten.de

Rôle de l'application en classe

L'application Le démontage ne saurait remplacer l'action concrète ou les discussions mathématiques. La force de cette application réside notamment dans sa capacité à visualiser de manière dynamique et cohérente les relations mathématiques, à varier les tâches de façon ciblée, à proposer des modèles linguistiques et à permettre des parcours d'apprentissage personnalisés. Son intérêt didactique est maximal lorsqu'elle est combinée à des manipulations, au dessin, à l'expression orale, au raisonnement et à la réflexion collaborative. L'application est donc particulièrement adaptée…

• comme environnement d'apprentissage guidé pour l'introduction des décompositions numériques,
• für kurze regelmäßige Übungsphasen (auch zu Hause),
• pour le travail en binôme et les discussions mathématiques,
• pour un soutien ciblé en cas de difficultés avec les relations numériques ou l'arithmétique basée sur le dénombrement et
• pour sécuriser et automatiser les démontages déjà compris.

Documents et autres ressources

PIKAS inclus : Tâches de base et tâches avancées „ Décomposition des nombres “

Cheng, Z.-J. (2012). Enseigner aux jeunes enfants des stratégies de décomposition pour résoudre des problèmes supplémentaires : une étude expérimentale. Journal du comportement mathématique,
31(1), 29–47. DOI

Fischer, FE (1990). Un programme d'enseignement des nombres en maternelle basé sur la méthode partie-partie-tout. Journal de recherche en éducation mathématique, 21(3), 207–215.
DOI

Gerster, H.-D. & Schultz, R. (2000). Schwierigkeiten beim Erwerb mathematischer Konzepte im Anfangsunterricht. Bericht zum Forschungsprojekt „Rechenschwäche – Erkennen, Beheben, Vorbeugen“. Pädagogische Hochschule Freiburg.
Texte intégral

Kullberg, A., Björklund, C., Brkovic, I. et Runesson Kempe, U. (2020). Effets de l'apprentissage de l'addition et de la soustraction en maternelle en rendant visibles les dix premiers nombres et leurs relations grâce à des schémas de doigts. Études pédagogiques en mathématiques,
103, 157–172. DOI

Lenz, K. & Wittmann, G. (2023). Pour développer la notion de partie-tout dans l'enseignement précoce des mathématiques : quelles opportunités d'apprentissage les manuels scolaires offrent-ils en première année ? Journal de didactique des mathématiques.
DOI

Mahiko/DZLM : Décomposition des nombres – Notions de base

PIKAS : Décomposition des nombres