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arithmétique écrite

Une application pour l'exploration, axée sur la compréhension, de l'addition et de la soustraction écrites.

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arithmétique écrite
Promoteur: Christian Urff
Prix: 0,99 €

L'application affiche chaque facture simultanément sous plusieurs formes :

  • notation: le tableau classique de numération avec les nombres, les reports et les souscriptions, tel qu'il est écrit dans le cahier.
  • Assiettes: un tableau de numération bidimensionnel dans lequel chaque valeur de position est représentée par sa propre colonne et les tuiles se déplacent visiblement lorsqu'elles sont groupées ou dégroupées.
  • Dienes 3DUne vue isométrique composée de cubes, de barres, de plaques et de milliers de cubes. Elle rend immédiatement visible la relation spatiale entre les valeurs positionnelles : une dizaine est dix fois plus grande qu’une unité, une centaine dix fois plus grande qu’une dizaine.
  • Soutien linguistiqueChaque étape est accompagnée d'instructions orales, à la fois par écrit et par synthèse vocale.

Modifier un chiffre dans la notation entraîne immédiatement la modification correspondante dans les autres représentations. Le processus de regroupement et de dégroupement est non seulement décrit, mais aussi animé. Dix unités se regroupent en une seule dizaine, et une centaine est dégroupée en dix barres de dix.

Méthode de soustraction

L'application prend en charge les deux méthodes de soustraction couramment utilisées en Allemagne :

  • Dégroupage (Méthode de soustraction) : Le chiffre immédiatement supérieur du minuende est diminué de un, et dix unités sont ajoutées à la colonne actuelle.
  • Développer (Méthode de remplissage) : Le soustracteur est augmenté de un dans la colonne supérieure suivante, le minuende reste inchangé.

Les deux méthodes peuvent être utilisées alternativement au sein d'une même tâche. Même la plus complexe. dégroupage en cascade (par exemple, à) 900 − 191, où une unité empruntée doit se déplacer à travers plusieurs lieux) est entièrement animée et commentée.

Tâches de prédiction

L'application peut, en option, poser une question à choix multiple avant chaque étape ou exiger une action directe sur les représentations : „Que va-t-il se passer ensuite?“ L'enfant prédit l'étape suivante. L'application n'exécute cette étape qu'après coup. Les distracteurs illustrent délibérément des erreurs de raisonnement courantes, comme „ le plus grand moins le plus petit “ ou l'oubli du report.

Contexte didactique

cadre de politique éducative

Depuis l'adoption des normes mathématiques révisées de la KMK (Conférence permanente des ministres de l'Éducation et des Affaires culturelles) pour 2022, l'importance accordée aux méthodes de calcul écrit a considérablement évolué. Alors que les normes de 2004 identifiaient les algorithmes écrits comme une compétence fondamentale à l'école primaire, les nouvelles normes mettent davantage l'accent sur… arithmétique semi-écrite et attribuer une fonction en s'appuyant sur les procédures écrites. Les modifications essentielles sont expliquées dans un article connexe de la Society for Didactics of Mathematics (Barzel et al., 2023). Trois points sont particulièrement pertinents pour notre question :

  1. L'arithmétique semi-écrite prend de l'importance. Les stratégies semi-écrites sont considérées comme une étape préalable essentielle pour permettre aux enfants d'apprendre à structurer leurs calculs, à visualiser les étapes intermédiaires et à comprendre leurs propres processus de réflexion. Les algorithmes écrits ne sont introduits qu'une fois ces bases solidement établies (KMK 2022 ; Brochure de mise en œuvre KMK 2023).
  2. La compréhension devient le principe directeur. „Le principe “ Comprendre avant d’automatiser » est intégré de manière systématique dans la brochure de mise en œuvre.

Les Länder fédéraux ont mis en œuvre cette mesure de manière incohérente. Le Bavière, par exemple, CurriculumPLUS Pour l'école primaire, par exemple, voici ce qui est explicitement écrit pour la soustraction : Méthode de déduction (= dégroupage) et désigne les centaines d'assiettes, les dizaines de barres et les unités comme matériel pédagogique clé (Ministère bavarois de l'Éducation et des Affaires culturelles, 2024). Le programme de Rhénanie-du-Nord-Westphalie, quant à lui, laisse le choix de la méthode ouvert et délègue la décision aux établissements scolaires (PIKAS, 2024).

Cela signifie un logiciel d'apprentissage utilisable à l'échelle nationale les deux procédures Il doit au moins être possible de la représenter afin de permettre le lien avec le manuel correspondant. De plus, cela permet même un examen comparatif, axé sur la compréhension, des deux méthodes.

Que signifie „ axé sur la compréhension “ ?

Ce concept est au cœur de l'enseignement des mathématiques en Allemagne depuis la seconde moitié des années 2010 et a été développé notamment par Susanne Prediger et Christoph Selter (TU Dortmund) (Prediger & Selter 2014 ; Selter et al. 2014). L'enseignement des mathématiques axé sur la compréhension se caractérise par trois aspects interdépendants :

  • Priorité aux idées plutôt qu'aux calculs. Avant d'introduire les règles formelles de l'arithmétique, il est indispensable d'acquérir une solide compréhension des nombres et des opérations. Ce n'est qu'à partir de cette base que les procédures peuvent être condensées en schémas (Prediger & Selter 2014).
  • Changement constant de représentation. Les concepts et les opérations sont interconnectés à travers de multiples niveaux de représentation (concret, iconique, symbolique, linguistique), permettant aux enfants de tester et d'affiner leurs propres idées lorsqu'ils passent d'un niveau à l'autre.
  • Concepts structurels et intra-mathématiques. La promotion vise non seulement à motiver les contextes d’application, mais aussi à reconnaître les structures mathématiques, par exemple la logique de regroupement du système de numération positionnelle (Prediger 2024).

L'application est donc conçue comme un outil qui, au sens de Développer des idées et Exigez un changement de représentation ce qui est utile et apporte un soutien linguistique qui sert de modèle pour le traitement communicatif.

Procédures écrites en tant que procédures de regroupement

Les algorithmes écrits sont tirés directement de système de numération décimale positionnelle Dérivé. Chaque colonne d'un tableau de numération représente un niveau de groupement ; l'addition écrite se fait alors en deux étapes par colonne : on additionne les éléments, et si le total est supérieur ou égal à 10, on regroupe les éléments restants dans une unité de la valeur positionnelle supérieure. La recopie consiste simplement à écrire ce groupe (Padberg & Benz 2021, chapitre 8).

La soustraction écrite se déroule en deux étapes : on compare les unités de la position supérieure et, si cette dernière est insuffisante, on convertit une unité de la position immédiatement supérieure en dix unités de la colonne courante. La méthode employée (suppression du minuende ou augmentation du soustrait suivie d’une multiplication par dix) est une question de procédure ; mathématiquement, les deux opérations sont équivalentes (Padberg & Benz, 2021).

Pour que les enfants comprennent véritablement cette logique et ne se contentent pas de calculer machinalement avec des chiffres en colonnes, ils ont besoin d'un Compréhension du regroupement au niveau enactif et iconique, avant qu'ils ne travaillent (purement) symboliquement avec la notation.

Obstacles typiques à la compréhension

ajout

La littérature didactique spécifique à la discipline documente principalement les stratégies d'erreur suivantes pour l'addition écrite (PIKAS (2024) et Padberg & Benz (2021)) :

  • Erreurs de transcription partielle ou complèteL'enfant additionne les colonnes (par exemple, 8 + 7 = 15) et écrit le nombre entier à deux chiffres dans la colonne des unités, au lieu d'écrire 5 et de reporter 1.
  • J'ai oublié de transférerLes colonnes sont correctement ajoutées, mais la valeur reportée de la colonne précédente n'est pas prise en compte.
  • Gestion incorrecte du zéro: Colonnes avec 0 sont mal interprétées (par exemple,. 0 + n = 0), ou une retenue à zéro n'est pas effectuée.
  • inversion de la valeur de positionLorsque les opérandes ont un nombre de chiffres différent, les chiffres sont écrits l'un au-dessus de l'autre, alignés à gauche au lieu d'être alignés à droite.

soustraction

L'éventail des obstacles est nettement plus large en soustraction. Les erreurs les plus fréquentes sont (KIRA 2024) :

  1. Difficultés liées au transfert (aucun report saisi, aucun report dans les espaces vides, un report de trop).
  2. Erreur avec zéro („ 0 − x = 0 „, « x − 0 = 0 », pas de retenue à zéro ou au-delà).
  3. Erreur de direction du calcul (en comptant de gauche à droite).
  4. Opération d'échange (Addition au lieu de soustraction).
  5. Différenciation par colonne „ plus grand moins plus petit “ comme l'erreur systématique la plus courante.
  6. Compréhension erronée de l'importance.
  7. Mélanger plusieurs procédés — par exemple, l’application simultanée de l’expansion et du dégroupage dans une même tâche.
  8. Une erreur de type 1 plus 1 (Erreur de numérotation dans la colonne elle-même).

La fréquence de „Erreur “ plus grand moins plus petit ». Dans une étude à grande échelle menée auprès de 31 classes de CM1 dans la région de Bielefeld, Schipper a constaté dès 1983 que cette erreur représente environ 30 % de toutes les erreurs de soustraction et constitue donc l'erreur systématique la plus fréquente (Schipper, 1983 ; cité dans Padberg et Benz, 2021). Wartha et Schulz (2014) montrent que cette erreur est systématiquement corrélée à une faible compréhension de la valeur positionnelle des chiffres.

En se basant sur ces erreurs courantes, l'application a spécifiquement adapté les impulsions et les prédictions pour chaque étape et les a en outre visualisées afin de remédier à ces erreurs et idées fausses et d'offrir des opportunités d'apprentissage pour surmonter ces idées fausses grâce à la mise en réseau représentative.

Erreurs de procédure

Un autre obstacle se présente lorsque les enfants grandissent et se déballent. mélanger. Cette erreur se produit empiriquement lorsque les manuels scolaires et le soutien à domicile utilisent des méthodes différentes (Schipper, 2009). Cela s'explique en partie par le fait que de nombreux parents se souviennent encore de la méthode d'approfondissement, tandis que leurs enfants apprennent désormais principalement par la méthode de décomposition (Padberg et Benz, 2021).

Développement versus dégroupage : un débat didactique spécifique à une discipline

Les deux méthodes de soustraction couramment utilisées dans les écoles primaires allemandes font l'objet de débats controversés depuis des décennies. La situation actuelle peut se résumer ainsi :

Déballage (méthode de traction)

Logique de justification : Le chiffre immédiatement supérieur du minuende est diminué de un ; l'unité empruntée est ajoutée à la colonne actuelle sous forme de dix unités.

Renforcer (Padberg & Benz 2021 ; Krauthausen 2018 ; Ministère d'État bavarois 2024) :

  • Lien direct avec l'activité du matériau énactif : une tige de dix est divisée en dix cubes d'un pouce.
  • Logique cohérente : seul le minuende change, le soustrahende reste le même.
  • L'emprunt en cascade peut être représenté comme un mouvement spatial.

Affaiblir:

  • La notation („ barrer les dizaines, écrire −1 à côté “) devient confuse, surtout lorsqu'on emprunte plusieurs fois.
  • Pour des tâches telles que 1000 − 1 Une unité doit être répartie en cascade sur trois emplacements.

Expansion (processus de remplissage)

Logique de justification : La constance de la différence : Si vous ajoutez la même valeur aux deux nombres (10 unités = 1 dizaine), la différence reste la même.

Renforcer (Schipper 2009 ; Padberg et Benz 2021) :

  • Notation propre, sans suppressions.
  • Lien avec le Ajouter à („ 6 plus combien font 13 ? “), ce qui est cognitivement plus accessible à de nombreux enfants que la soustraction.

Affaiblir:

  • Le raisonnement („ on ajoute 10 au début et il faut compenser cela à la fin “) est complexe et plus difficile à démontrer avec le matériel réel. Selter (1995) décrit cet écart entre l'opération réelle et l'opération enregistrée comme étant typique. Piège de la fiction.

L'application propose des visualisations pour les deux méthodes afin de faciliter leur compréhension. Dans la méthode de suppression, une tuile de la valeur immédiatement supérieure est barrée, laissant apparaître 10 tuiles de la valeur immédiatement inférieure. Dans la méthode d'extension, une tuile „ moins “ (tuile qui disparaît) est ajoutée, et pour compenser, 10 tuiles de valeurs inférieures sont ajoutées.

Mise en œuvre dans l'application : choix de conception didactique

Les décisions de conception suivantes sont basées sur les principes didactiques spécifiques à la discipline décrits ci-dessus.

Représentations multiples synchrones

La décision didactique centrale est la couplage synchrone Plusieurs niveaux de représentation : chaque action (modifier un chiffre, effectuer une étape) affecte simultanément la notation, les tuiles 2D ou les diènes 3D, et la description linguistique. C’est précisément ce que Bruner (1966) décrit comme un déplacement représentationnel et ce que Krauthausen (2018) identifie comme la tâche centrale des logiciels d’apprentissage numérique : non pas l’animation comme une fin en soi, mais… structurellement identiques Animer les relations mathématiques.

Les volets roulants situés au-dessus de chaque panneau permettent aux enseignants de sélectionner un L'objectif est de masquer un niveau de compréhension et d'obliger les enfants à traduire à partir des autres. Ceci correspond aux exigences de la didactique opératoire (Wittmann & Müller, 1990 et suiv.) qui consiste à exiger activement et à anticiper progressivement les changements de représentation. Il en résulte une grande variété de tâches basées sur le principe « donné-requis ».

Choix explicite de la procédure

Étant donné que les programmes d'études fédéraux et étatiques privilégient des procédures différentes, l'application les deux procédures comme options tout aussi valables. Cela permet également de surmonter l'obstacle du mélange mentionné au point 4.3 : les enseignants peuvent définir la procédure de leur propre manuel et simultanément rendre visible la procédure alternative à des fins de comparaison, car les enfants ne peuvent souvent pas clairement associer leur propre stratégie mentale à une procédure spécifique.

La sortie vocale comme langage modèle

La sortie vocale utilise de manière constante Termes techniquement correctsLes termes „ grouper “, „ dégrouper “, „ reporter “, „ minuende “ et „ soustrahende “ sont utilisés. Cela transforme l'algorithme en une séquence explicative que les enfants peuvent utiliser comme guide linguistique. Ils peuvent se servir de ce modèle linguistique pour le traduire avec leurs propres mots. Ceci correspond au principe QuaMath. Promouvoir la communication (QuaMath 2024) et celui dans Je suis tout à fait capable de faire des maths.pratique propagée, Verbalisation à considérer comme une partie centrale de la compréhension mathématique (Selter et al. 2014).

Tâches de prédiction

L'optionnel prévision Avant chaque étape, le Prédire-Observer-Expliquer-format de l'enseignement des sciences (White & Gunstone, 1992). Au lieu d'une simple animation à regarder, chaque étape est encadrée par des questions pertinentes : Que se passe-t-il ? Que dois-je faire ? Quel distracteur est plausible mais faux ?

Les éléments perturbateurs de l'application reflètent délibérément les stratégies d'erreur documentées, par exemple : „ le plus grand moins le plus petit “, retenue oubliée, inversion des valeurs de position, confusion procédurale, d'après la littérature sur l'analyse des erreurs (Schipper 1983, 2009 ; Padberg & Benz 2021 ; Wartha & Schulz 2014 ; KIRA 2024). Cela entraîne un Activation cognitive (QuaMath 2024) a lieu.

Générateur de tâches et difficulté adaptative

Le générateur de tâches propose plusieurs niveaux de difficulté et, en mode „ adaptatif “, ajuste la difficulté de la tâche suivante proposée („ lancée “) en fonction du taux de réussite de la prédiction.

Action virtuelle : remettre en question le rapport entre les représentations

Durant certaines phases (mise en place du report, saisie de la correction d'expansion), la question à choix multiple est remplacée par une Tâche de conseil Le texte ou la notation est remplacé(e). L'enfant pointe directement vers la colonne appropriée et travaille ainsi au niveau iconique-symbolique.

Limites, besoins en matière de recherche et recommandations pratiques

Aussi diverses que soient les possibilités de l'application, elle ne remplace pas le matériel tangible (Le cube de Dienes que l'on peut toucher) et ça Parlons des mathématiques dans l'espace social de la classe. Krauthausen (2018, p. 215 et suiv.) souligne que les animations numériques enrichissent l'expérience haptique Ajouter à, Elle ne saurait remplacer l’enseignement oral. Il en va de même pour le travail oral : la communication autour des mathématiques est essentielle et ne peut être déléguée (QuaMath 2024). Toutefois, l’application peut servir de complément, notamment pour la pratique autonome et dans le cadre de travaux de recherche (certaines idées y sont intégrées).

littérature

  • Barzel, B., Gasteiger, H., Greefrath, G., Maritzen, N., Nührenbörger, M. et Stanat, P. (2023). Poursuite du développement des normes éducatives en mathématiques pour l'enseignement primaire et le premier cycle du secondaire. Communications de la Société de didactique des mathématiques. https://ojs.didaktik-der-mathematik.de/index.php/mgdm/article/view/1113
  • Bruner, JS. (1966). Vers une théorie de l'instruction. Cambridge, MA : Harvard University Press.
  • Krauthausen, G. (2018). Introduction à la didactique des mathématiques — École primaire (4e éd.). Berlin/Heidelberg : Springer Spektrum.
  • Padberg, F. et Benz, C. (2021). Didactique de l'arithmétique — bien fondée, polyvalente, pratique (5e éd.). Berlin/Heidelberg : Springer Spektrum.
  • Prédicateur, S. (2024). „ Les mathématiques ne sont pas forcément une corvée. “ Article du Portail scolaire allemand. https://deutsches-schulportal.de/expertenstimmen/susanne-prediger-didaktik-mathematik-muss-nicht-wehtun/
  • Prediger, S. et Selter, C. (2014). Actualités en didactique des mathématiques — Perspectives actuelles pour la recherche sur l'enseignement et l'apprentissage et la formation des enseignants. https://wwwold.mathematik.tu-dortmund.de/prediger/veroeff/14-FuCo-Prediger-Selter.pdf
  • Schipper, W. (1983). Erreurs typiques des élèves dans la soustraction écrite de nombres naturels. Université de Bielefeld. https://pub.uni-bielefeld.de/record/1775198
  • Schipper, W. (2009). Manuel pour l'enseignement des mathématiques dans les écoles primaires. Braunschweig : Schroedel.
  • Selter, C. (1995). Sur le caractère fictif de l'‚ heure zéro ‘ dans l'enseignement initial de l'arithmétique. Pratique de l'enseignement des mathématiques, 16(2), 11–19.
  • Selter, C., Prediger, S., Nührenbörger, M. et Hußmann, S. (éd.) (2014). Maîtriser les mathématiques en toute confiance — Un concept de diagnostic et de soutien pour acquérir des compétences mathématiques de base. Module thématique „ Nombres naturels “. Berlin : Cornelsen.
  • Wartha, S. et Schulz, A. (2014). Prévenir les problèmes de calcul (2e éd.). Berlin : Cornelsen.
  • Blanc, R. et Gunstone, R. (1992). Comprendre en profondeur. Londres : Falmer Press.
  • Wittmann, E. Ch. et Müller, GN. (1990 et suiv.). Manuel d'exercices d'arithmétique productive, Tomes 1 et 2. Stuttgart : Klett.

documents de politique éducative

Plateformes en ligne et programmes de financement